Garis SinggungÂ
Persamaan garis singgung di titik \((x_1, y_1)\) dan bergradien \(m_{\text{gs}}\) pada kurva \(f(x)\) adalah:
$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {y\:-\:y_1 = m_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)}$$
Gradien garis singgung didapatkan dari turunan pertama \(f(x)\)
\(m_{\text{gs}} = f'(x)\)
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung kurva \(f(x) = 2x^3 + x^2\:-\:1\) di titik berabsis 1
Penyelesaian:
Untuk \(x_1 = 1\) maka \(y_1 = 2(1)^3 + (1)^2\:-\:1 = 2\)
Titik singgung berada di \((1, 2)\)
Gradien garis singgung di titik berabsis 1 adalah \(m_{\text{gs}} = f'(1)\)
\(f'(x) = 6x^2 + 2x\)
\(m_{\text{gs}} = 6(1)^2 + 2(1)\)
\(m_{\text{gs}} = 8\)
Persamaan garis singgung di titik \((1, 2)\) bergradien 8 adalah:
\(y\:-\:y_1 = m_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)\)
\(y\:-\:2 = 8(x\:-\:1)\)
\(y\:-\:2 = 8x\:-\:8\)
\(y\:-\:8x + 6 = 0\)
Jadi persamaan garis singgungnya adalah \(y\:-\:8x + 6 = 0\)
Garis Normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung pada titik singgung yang sama.
Karena garis normal dan garis singgung saling tegak lurus maka berlaku:
\(m_{\text{gn}} \cdot m_{\text{gs}} = -1\)
Persamaan garis normal di titik \((x_1, y_1)\) dan bergradien \(m_{\text{gn}}\) pada kurva \(f(x)\) adalah:
$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {y\:-\:y_1 = m_{\text{gn}}(x\:-\:x_1)}$$
Keterangan:
\(m_{\text{gn}}\) = gradien garis normal
\(m_{\text{gs}}\) = gradien garis singgung
Contoh:
Tentukan persamaan garis normal kurva \(f(x) = x^4 + 2x^3\:-\:x + 2\) di titik berabsis \(-1\)
Penyelesaian:
Untuk \(x_1 = -1\) maka \(y_1 = (-1)^4 + 2(-1)^3\:-\:(-1)+ 2 = 2\)
Titik singgung berada di \((-1, 2)\)
Gradien garis singgung di titik berabsis \(-1\) adalah \(m_{\text{gs}} = f'(-1)\)
\(f'(x) = 4x^3 + 6x^2\:-\:1\)
\(m_{\text{gs}} = 4(-1)^3 + 6(-1)^2\:-\:1\)
\(m_{\text{gs}} = -4 + 6 \:-\:1\)
\(m_{\text{gs}} = 1\)
Karena garis normal dan garis singgung saling tegak lurus maka berlaku:
\(m_{\text{gn}} \cdot m_{\text{gs}} = -1\)
\(m_{\text{gn}} \cdot (1) = -1\)
\(m_{\text{gn}}= -1\)
Persamaan garis normal di titik \((-1, 2)\) dan bergradien \(m_{\text{gn}} = -1\) pada adalah:
\(y\:-\:2= (-1)[x\:-\:(-1)]\)
\(y\:-\:2= -x\:-\:1\)
\(y + x\:-\:1 = 0\)
Jadi persamaan garis normalnya adalah \(\color{blue} y + x\:-\:1 = 0\)
LATIHAN SOAL
Soal 01
Kurva fungsi \(f(x) = \sqrt{x^2 + 3x}\) melalui titik yang berordinat 2. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik yang berordinat 2 tersebut.
Soal 02
Diketahui gradien garis singgung kurva fungsi \(f(x) = 3x^4 + (p + 1)x^3 \:-\:2x +p\) di titik berabsis 1 adalah 16. Tentukan nilai \(p\) yang memenuhi.
Soal 03
Tentukan persamaan garis normal kurva fungsi \(f(x) = 2x^4 \:-\:x^2\) di titik \((2, 28)\)
Soal 04
Titik P(1, 3) terletak pada kurva \(f(x) = ax^2 + bx + 4\). Jika garis singgung kurva di titik P sejajar dengan garis \(y = 2x\:-\:1\), tentukan nilai \(a\) dan \(b\).