Titik stasioner adalah suatu titik pada kurva yang bergradien nol. Ini adalah suatu titik dimana turunan pertama fungsinya sama dengan nol.
Jika hasil uji turunan kedua bernilai negatif \(\color{blue}f”(x) < 0\), maka titik stasioner tersebut berjenis titik balik maksimum
Jika hasil uji turunan kedua bernilai positif \(\color{blue}f”(x) > 0\), maka titik stasioner tersebut berjenis titik balik minimum
Jika hasil uji turunan kedua sama dengan nol \(\color{blue} f”(x) = 0\), maka titik stasioner tersebut berjenis titik belok horizontal
Fungsi tidak pernah turun jika turunan pertama fungsi bernilai positif atau sama dengan nol \(f'(x) \geq 0\)
Fungsi tidak pernah naik jika turunan pertama fungsi bernilai negatif atau sama dengan nol \(f'(x) \leq 0\)
Tentukan titik-titik stasioner dari kurva fungsi \(f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 4\) dan tentukan juga jenis titik stasionernya.
Titik stasioner di dapat dari \(f'(x) = 0\)
\(3x^2 + 12x + 9 = 0\)
Bagi kedua ruas dengan 3,
\(x^2 + 4x + 3 = 0\)
\((x + 3)(x + 1) = 0\)
\(x + 3 = 0 \rightarrow x = -3\)
Untuk \(x = -3\) maka \(y = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) + 4 = 4\)
\(x + 1 = 0 \rightarrow x = -1\)
Untuk \(x = -1\) maka \(y = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) + 4 = 0\)
Titik-titik stasionernya adalah \((-3, 4)\) dan \((-1, 0)\)
Untuk mengetahui jenisnya gunakan uji turunan kedua
\(f”(x) = 6x + 12\)
Untuk \(x = -3\) maka \(f”(-3) = 6(-3) + 12 < 0 \)
Karena \(f”(-3)<0\) maka titik \((-3, 4)\) adalah titik balik maksimum
Untuk \(x = -1\) maka \(f”(-1) = 6(-1) + 12 > 0 \)
Karena \(f”(-1)>0\) maka titik \((-1, 0)\) adalah titik balik minimum
Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi \(f(x) = x^3 \:-\:\dfrac{3}{2}x^2 \:-\:6x + 1\) pada interval \(-2 \leq x \leq 0\).
Langkah 1: cek nilai dari titik stasionernya
Titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)
\(3x^2\:-\:3x\:-\:6 = 0\)
Bagi kedua ruas dengan 3
\(x^2\:-\:x\:-\:2 = 0\)
\((x\:-\:2)(x + 1) = 0\)
\(x\:-\:2 = 0 \rightarrow x_1 = 2\)
Karena \(x_1 = 2\) berada di luar interval \(-2 \leq x \leq 0\), maka tidak digunakan
\(x + 1 = 0 \rightarrow x_2 = -1\)
Karena \(x_2 = -1\) berada di dalam interval \(-2 \leq x \leq 0\), nilai \(f(-1) = (-1)^3 \:-\:\dfrac{3}{2}(-1)^2 \:-\:6(-1) + 1 = 4,5\:\:\color{red}\text{ max}\)
Langkah 2: cek nilai ujung-ujung interval
Untuk \(x = -2\) nilai \(f(-2) = (-2)^3 \:-\:\dfrac{3}{2}(-2)^2 \:-\:6(-2) + 1 = -1\:\:\color{red}\text{ min}\)
Untuk \(x = 0\) nilai \(f(0) = (0)^3 \:-\:\dfrac{3}{2}(0)^2 \:-\:6(0) + 1 = 1\)
Dari hasil di atas, nilai minimum fungsinya adalah −1 dan nilai maksimumnya adalah 4,5
Tentukan dimana interval fungsi \(f(x) = x^4 \:-\:2x^3 + x^2 + 10\) naik atau turun.
Menentukan turunan pertama fungsi
\(f'(x) = 4x^3\:-\:6x^2 + 2x\)
\(f'(x) = 2x(2x^2 \:-\:3x + 1)\)
\(f'(x) = 2x(2x\:-\:1)(x\:-\:1)\)
Menentukan interval fungsi naik
Fungsi naik jika \(f'(x) > 0\)
\( 2x(2x\:-\:1)(x\:-\:1) > 0\)
Pembuat nol:
\(2x = 0 \rightarrow x_1 = 0\)
\(2x\:-\:1 = 0 \rightarrow x_2 = \dfrac{1}{2}\)
\(x\:-\:1 = 0 \rightarrow x_3 = 1\)
Jadi interval dimana fungsi naik adalah \(0<x<\dfrac{1}{2}\) atau \(x>1\)
Menentukan interval fungsi turun
Fungsi turun jika \(f'(x) < 0\)
\( 2x(2x\:-\:1)(x\:-\:1) < 0\)
Pada garis bilangan di atas tadi tinggal kita pilih daerah yang bernilai negatif
Jadi interval dimana fungsi turun adalah \(x<0\) atau \(\dfrac{1}{2}<x<1\)
Tentukan batas-batas nilai \(p\) agar fungsi \(f(x) = 4x^3 + px^2 + (p + 9)x + 1\) selalu naik.
Kurva selalu naik maka \(f'(x) > 0\)
\(12x^2 + 2px + p + 9 > 0\)
Nilai fungsi turunan pertamanya selalu bernilai positif sehingga gunakan syarat definit positif.
Syarat definit positif:
(1) \(a > 0\)
(2) \(b^2 \:-\:4ac < 0\)
Syarat pertama sudah terpenuhi karena \(12>0\)
Syarat kedua:
\((2p)^2\:-\:4(12)(p + 9) < 0\)
\(4p^2\:-\:48p\:-\:432 < 0\)
\(4(p^2\:-\:12p\:-\:108)<0\)
Bagi kedua ruas dengan 4
\((p\:-\:18)(p + 6)<0\)
\(p\:-\:18 = 0 \rightarrow p = 18\)
\(p + 6 = 0 \rightarrow p = -6\)
Jadi batas-batas nilai \(p\) agar fungsi selalu naik adalah \(-6<p<18\)
Tentukan batas nilai \(m\) agar kurva \(g(x) = \dfrac{2}{3}x^3\:-\:mx^2 + mx\:-\:8\) tidak pernah turun untuk semua nilai \(x\) bilangan real.
Interval dimana kurva tidak pernah turun \(g'(x) \geq 0\)
\(2x^2 \:-\:2mx + m \geq 0\)
Fungsi \(y = 2x^2 \:-\:2mx + m\) selalu bernilai positif atau sama dengan nol
Syarat:
(1) \(a > 0\)
(2) \(b^2 \:-\:4ac \leq 0\)
(1) \(2 > 0\)
(2) \((-2m)^2 \:-\:4(2)(m) \leq 0\)
\(4m^2\:-\:8m \leq 0\)
\(4m(m\:-\:2) \leq 0\)
\(4m = 0 \rightarrow m_1 = 0\)
\(m\:-\:2 = 0 \rightarrow m_2 = 2\)
Jadi batas-batas nilai \(m\) adalah \(0 \leq m \leq 2\)
