Gradien garis singgung kurva sama dengan turunan pertama kurva tersebut. Nilai gradien garis singgung ditentukan oleh absis (koordinat x) titik singgung pada kurva.
$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {\text{m}_{\text{gs}} = y’}$$
Contoh 01
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva \(y = e^{\sin 2x}\) melalui titik yang berabsis \(\dfrac{\pi}{4}\).
| Penyelesaian:
Langkah 1: menentukan gradien garis singgung \(\text{m}_{\text{gs}} = y’\) \(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cos 2x \cdot e^{\sin 2x}\) di titik berabsis \(\dfrac{\pi}{4}\). \(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cos (2\cdot \frac{\pi}{4}) \cdot e^{\sin (2\cdot \frac{\pi}{4})}\) \(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cdot e^{\sin \frac{\pi}{2}}\) \(\text{m}_{\text{gs}} = 0\)
Langkah 2: menentukan titik singgung \(x_1 = \dfrac{\pi}{4}\) disubstitusikan ke persamaan kurva \(y = e^{\sin 2x}\) \(y_1 = e^{\sin (2\cdot \frac{\pi}{4})}\) \(y_1 = e^{\sin \frac{\pi}{2}}\) \(y_1 = e^{1}\) Titik singgung berada di koordinat \(\left(\dfrac{\pi}{4}, e \right)\)
Langkah 3: menentukan persamaan garis singgung Persamaan garis singgung bergradien \(\textbf{m}_{\text{gs}}\) dan melalui titik \((x_1, y_1)\) adalah: \(\color{blue} y\:-\:y_1 = \text{m}_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)\) \(y\:-\:e = 0\cdot (x\:-\:\frac{\pi}{4})\) \(y\:-\:e = 0\) \(y = e\)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(y = e\). |
Contoh 02
Tentukan persamaan garis singgung kurva \(y = \cos 2x\), \(0 < x < \dfrac{2 \pi}{3}\) yang tegak lurus dengan garis \(y = -x + 1\).
| Penyelesaian:
Langkah 1: menentukan gradien garis singgung \(y = \cos 2x\) \(\text{m}_{\text{gs}} = y’\) \(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin 2x\)
Langkah 2: menentukan gradien garis \(y = -x + 1\) Karena persamaan umum garis \(y = mx + c\), maka gradien garis sama dengan koefisien \(x\). \(\textbf{m}_{\text{garis}} = -1\)
Langkah 3: menentukan koordinat titik singgung Garis singgung kurva tegak lurus dengan garis \(y = -x + 1\). \(\text{m}_{\text{gs}} \cdot \textbf{m}_{\text{garis}} = -1\) \( -2 \sin 2x \cdot (-1) = -1\) \(-2 \sin 2x = 1\) \(\sin 2x = -\dfrac{1}{2}\) \(\sin 2x = \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) Selesaikan persamaan fungsi sinus ini untuk batas \(0 < x < \dfrac{2 \pi}{3}\).
Kemungkinan 1: \(2x = -\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\) Bagi kedua ruas dengan 2 \(x = -\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \pi\) Untuk \(k = 0 \rightarrow x = -\dfrac{\pi}{12}\dotso \color{red} \text{TM}\) Untuk \(k = 1 \rightarrow x = \dfrac{11}{12}\pi\dotso \color{red} \text{TM}\)
Kemungkinan 2: \(2x = (\pi \:-\: (-\frac{\pi}{6})) + k \cdot 2\pi\) \(2x =\dfrac{7}{6}\pi + k \cdot 2\pi\) Bagi kedua ruas dengan 2 \(x =\dfrac{7}{12}\pi + k \cdot \pi\) Untuk \(k = 0 \rightarrow x =\dfrac{7}{12}\pi\dotso \color{blue} \text{memenuhi}\)
Jadi, absis titik singgung yang memenuhi adalah \(x =\dfrac{7}{12}\pi\). \(x_1 = \dfrac{7}{12}\pi \rightarrow y_1 = \cos \left(\cancel{2}\cdot \dfrac{7}{\cancelto{6}{12}}\pi \right)\) \(x_1 = \dfrac{7}{12}\pi \rightarrow y_1 = \left(-\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\right)\) Koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) = \(\left(\dfrac{7}{12}\pi, -\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\right)\)
Langkah 4: menentukan persamaan garis singgung Persamaan garis singgung bergradien \(\textbf{m}_{\text{gs}}\) dan melalui koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) adalah: \(\color{blue} y\:-\:y_1 = \text{m}_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)\) \(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin 2x\) \(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin 2\cdot \left(\dfrac{7}{12}\pi \right)\) \(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin \left(\dfrac{7}{6}\pi \right)\) \(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \cdot -\dfrac{1}{2} = 1\)
\(y\:-\: \left(-\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\right) =1\cdot \left (x\:-\:\left(\dfrac{7}{12}\pi \right)\right)\) \(y + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} = x \:-\: \dfrac{7}{12}\pi \) \(y\:-\: x = -\dfrac{7}{12}\pi \:-\: \dfrac{1}{2} \sqrt{3}\)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(y\:-\: x = -\dfrac{7}{12}\pi \:-\: \dfrac{1}{2} \sqrt{3}\). |
Contoh 03
Tentukan persamaan garis singgung kurva \(y = \sin^2 2x\), \(0 < x \leq \dfrac{\pi}{3}\) yang sejajar dengan garis \(y = -\sqrt{3}x + 1\).
| Penyelesaian:
Langkah 1: menentukan gradien garis singgung \(y = \sin^2 2x\) \(\text{m}_{\text{gs}} = y’\) \(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \sin 2x \cdot 2\cos 2x\) \(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cdot 2\sin 2x \cos 2x\) \(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \sin 4x\)
Langkah 2: menentukan gradien garis \(y = -\sqrt{3}x + 1\) Karena persamaan umum garis \(y = mx + c\), maka gradien garis sama dengan koefisien \(x\). \(\textbf{m}_{\text{garis}} = -\sqrt{3}\)
Langkah 3: menentukan koordinat titik singgung Garis singgung kurva sejajar dengan garis \(y = -\sqrt{3}x + 1\). \(\text{m}_{\text{gs}} = \textbf{m}_{\text{garis}}\) \( 2 \sin 4x = -\sqrt{3}\) \(\sin 4x = -\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\) \(\sin 4x = \sin (-\frac{\pi}{3})\) Selesaikan persamaan fungsi sinus ini untuk batas \(0 < x \leq \dfrac{\pi}{3}\).
Kemungkinan 1: \(4x = -\dfrac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi\) Bagi kedua ruas dengan 4 \(x = -\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{1}{2}\pi\) Untuk \(k = 0 \rightarrow x = -\dfrac{\pi}{12}\dotso \color{red} \text{TM}\) Untuk \(k = 1 \rightarrow x = \dfrac{5}{12}\pi\dotso \color{red} \text{TM}\)
Kemungkinan 2: \(4x = (\pi \:-\: (-\frac{\pi}{3})) + k \cdot 2\pi\) \(4x =\dfrac{4}{3}\pi + k \cdot 2\pi\) Bagi kedua ruas dengan 4 \(x =\dfrac{4}{12}\pi + k \cdot \dfrac{1}{2}\pi\) \(x =\dfrac{1}{3}\pi + k \cdot \dfrac{1}{2}\pi\) Untuk \(k = 0 \rightarrow x =\dfrac{1}{3}\pi\dotso \color{blue} \text{memenuhi}\)
Jadi, absis titik singgung yang memenuhi adalah \(x =\dfrac{1}{3}\pi\). \(x_1 = \dfrac{1}{3}\pi \rightarrow y_1 = \sin^2 2\cdot \frac{1}{2} \pi\) \(x_1 = \dfrac{1}{3}\pi \rightarrow y_1 = \sin^2 \pi\) \(x_1 = \dfrac{1}{3}\pi \rightarrow y_1 = 0\) Koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) = \(\left(\dfrac{1}{3}\pi, 0\right)\)
Langkah 4: menentukan persamaan garis singgung Persamaan garis singgung bergradien \(\textbf{m}_{\text{gs}}\) dan melalui koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) adalah: \(\color{blue} y\:-\:y_1 = \text{m}_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)\) \(\text{m}_{\text{gs}} = -\sqrt{3}\)
\(y\:-\: 0= -\sqrt{3}\cdot \left (x\:-\:\frac{1}{3}\pi\right)\) \(y = -\sqrt{3}x + \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\:\pi \) \(y+ \sqrt{3}x = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\:\pi \)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(y+ \sqrt{3}x = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\:\pi \). |