\(\color{yellow}\dfrac{1}{\sin x} = \csc x\)
\(\color{yellow}\dfrac{1}{\cos x} = \sec x\)
\(\color{yellow}\dfrac{1}{\tan x} = \cot x\)
\(\color{yellow}\dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x\)
\(\color{cyan}\sin^2x + \cos^2x = 1\)
\(\color{cyan}1 + \tan^2x = \sec^2x\)
\(\color{cyan}1 + \cot^2x = \csc^2x\)
Latihan Soal
Soal 01
\(\sin x \tan x \equiv \dfrac{1}{\cos x}\:-\:\cos x\)
Kita akan tunjukkan bahwa hasil penjabaran dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Ruas kiri:
\(\sin x \tan x\)
\(\sin x \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(\dfrac{\sin^2x}{\cos x}\)
Gunakan identitas \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), sehingga \(\sin^2x = 1\:-\:\cos^2x\)
\(\dfrac{1\:-\:\cos^2x}{\cos x}\)
\(\dfrac{1}{\cos x}\:-\:\dfrac{\cos^2x}{\cos x}\)
\(\dfrac{1}{\cos x}\:-\:\cos x\)
Ruas kanan:
\(\dfrac{1}{\cos x}\:-\:\cos x\)
Hasil dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Jadi, terbukti bahwa \(\sin x \tan x \equiv \dfrac{1}{\cos x}\:-\:\cos x\)
Soal 02
\(\dfrac{1 + \cos x }{\sin x } \equiv \dfrac{\sin x }{1\:-\:\cos x}\)
Kita akan tunjukkan bahwa hasil penjabaran dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Ruas kiri:
\(\dfrac{1 + \cos x }{\sin x }\times \color{red} \dfrac{1 \:-\: \cos x}{1 \:-\: \cos x}\)
\(\dfrac{1^2\:-\:\cos^2 x}{\sin x(1 \:-\: \cos x)}\)
Gunakan identitas \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), sehingga \( 1\:-\:\cos^2x = \sin^2x\)
\(\dfrac{\sin^2 x}{\sin x(1 \:-\: \cos x)}\)
\(\dfrac{\sin x}{1 \:-\: \cos x}\)
Ruas kanan:
\(\dfrac{\sin x}{1 \:-\: \cos x}\)
Hasil dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Jadi, terbukti bahwa \(\dfrac{1 + \cos x }{\sin x } \equiv \dfrac{\sin x }{1\:-\:\cos x}\)
Soal 03
\(\tan^2x\:-\:\sin^2x \equiv \tan^2 \sin^2x\)
Kita akan tunjukkan bahwa hasil penjabaran dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Ruas kiri:
\(\tan^2x\:-\:\sin^2x\)
\(\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}\:-\:\sin^2x\)
Samakan penyebut,
\(\dfrac{\sin^2x\:-\:\sin^2x \cos^2x}{\cos^2x}\)
\(\dfrac{\sin^2x(1\:-\:\cos^2x)}{\cos^2x}\)
\(\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}\cdot (1\:-\:\cos^2x)\)
Gunakan identitas \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), sehingga \( 1\:-\:\cos^2x = \sin^2x\)
\(\tan^2x \sin^2x\)
Ruas kanan:
\(\tan^2x \sin^2x\)
Hasil dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Jadi, terbukti bahwa \(\tan^2x\:-\:\sin^2x \equiv \tan^2 \sin^2x\)
Soal 04
\(\tan x + \dfrac{1}{\cos x} \equiv \dfrac{\cos x }{1\:-\:\sin x}\)
Kita akan tunjukkan bahwa hasil penjabaran dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Ruas kiri:
\(\tan x + \dfrac{1}{\cos x}\)
\(\dfrac{\sin x}{\cos x } + \dfrac{1}{\cos x}\)
\(\dfrac{\sin x + 1}{\cos x}\)
\(\dfrac{\sin x + 1}{\cos x} \times \color {red} \dfrac{\sin x \:-\: 1}{\sin x \:-\: 1}\)
\(\dfrac{\sin^2x \:-\:1^2}{\cos x (\sin x \:-\: 1)}\)
Gunakan identitas \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), sehingga \( \sin^2x\:-\:1 = -\cos^2x\)
\(\dfrac{-\cos^2x}{\cos x (\sin x \:-\: 1)}\)
\(\dfrac{-\cos x}{\sin x \:-\: 1}\)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan \(-1\)
\(\dfrac{\cos x}{1\:-\:\sin x}\)
Ruas kanan:
\(\dfrac{\cos x}{1\:-\:\sin x}\)
Hasil dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Jadi, terbukti bahwa \(\tan x + \dfrac{1}{\cos x} \equiv \dfrac{\cos x }{1\:-\:\sin x}\)
Soal 05
\(\dfrac{1}{1\:-\:\cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x} \equiv \dfrac{2}{\sin^2x}\)
Kita akan tunjukkan bahwa hasil penjabaran dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Ruas kiri:
\(\dfrac{1}{1\:-\:\cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x}\)
Samakan penyebut,
\(\dfrac{1 + \cos x +1\:-\:\cos x }{(1\:-\:\cos x)(1 + \cos x)}\)
\(\dfrac{2}{1^2 \:-\:\cos^2x}\)
Gunakan identitas \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), sehingga \( 1\:-\:\cos^2x = \sin^2x\)
\(\dfrac{2}{\sin^2x}\)
Ruas kanan:
\(\dfrac{2}{\sin^2x}\)
Hasil dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Jadi, terbukti bahwa \(\dfrac{1}{1\:-\:\cos x} + \dfrac{1}{1 + \cos x} \equiv \dfrac{2}{\sin^2x}\)
Soal 06
\(\dfrac{\cos x}{1\:-\:\cos x}\:-\:\dfrac{\cos x }{1 + \cos x } \equiv \dfrac{2}{\tan^2 x}\)
Kita akan tunjukkan bahwa hasil penjabaran dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Ruas kiri:
\(\dfrac{\cos x}{1\:-\:\cos x}\:-\:\dfrac{\cos x }{1 + \cos x }\)
Samakan penyebut,
\(\dfrac{\cos x (1 + \cos x)\:-\:\cos x(1\:-\:\cos x)}{(1\:-\:\cos x)(1 + \cos x)}\)
\(\dfrac{\cos x +\cos^2x\:-\:\cos x + \cos^2x}{1^2\:-\:\cos^2x}\)
\(\dfrac{2\cos^2x}{1\:-\:\cos^2x}\)
Gunakan identitas \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), sehingga \( 1\:-\:\cos^2x = \sin^2x\)
\(\dfrac{2\cos^2x}{\sin^2x}\)
\(2\cdot \dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}\)
\(2\cdot \cot^2x\)
\(\dfrac{2}{\tan^2x}\)
Ruas kanan:
\(\dfrac{2}{\tan^2x}\)
Hasil dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Jadi, terbukti bahwa \(\dfrac{\cos x}{1\:-\:\cos x}\:-\:\dfrac{\cos x }{1 + \cos x } \equiv \dfrac{2}{\tan^2 x}\)
