A. Turunan Pertama Sinus

$$\bbox[5px, border: 2px solid red] {\dfrac{d}{dx}(\sin u) = \cos u \cdot \dfrac{du}{dx}}$$

Contoh 01

Tentukan turunan pertama dari \(y = \sin 3x^2\)

Solusi:

\(\dfrac{dy}{dx} = \color{red} 6x \color{white}\cdot \cos 3x^2\)

Note: \(6x\) adalah turunan pertama dari \(3x^2\)

Jadi, turunan pertama \(y = \sin 3x^2\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} =  6x \cdot \cos 3x^2\)

Contoh 02

Tentukan turunan pertama dari \(y = 3\sin^4 2x\)

Solusi:

\(y = 3\sin^4 2x\) dapat ditulis \(y = 3 [\sin 2x]^4\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 3 \cdot 4 \cdot [\sin 2x]^{(4\:-\:1)} \cdot \color{pink} 2\cdot \cos 2x\)

Note: \(2\cdot \cos 2x\) adalah turunan pertama dari \(\sin 2x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 12\cdot [\sin 2x]^3 \cdot \color{red} 2\cdot \cos 2x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 12\cdot 2\cdot [\sin 2x]^3 \cdot \cos 2x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 12\cdot 2\cdot \sin^3 2x \cdot \cos 2x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 12\cdot \sin^2 2x \cdot \color{cyan} 2 \cdot\sin 2x \cdot \cos 2x\)

Note: \(\color{cyan} \sin 4x = 2 \cdot\sin 2x \cdot \cos 2x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 12\cdot \sin^2 2x \cdot \sin 4x \)

Jadi, turunan pertama \(y = 3\sin^4 2x\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = 12\cdot \sin^2 2x \cdot \sin 4x \)

B. Turunan Pertama Cosinus

$$\bbox[5px, border: 2px solid red] {\dfrac{d}{dx}(\cos u) = -\sin u \cdot \dfrac{du}{dx}}$$

Contoh 01

Tentukan turunan pertama dari \(y = \cos 5x^3\)

Solusi:

\(\dfrac{dy}{dx} = \color{pink} 15x^2 \color{white}\cdot (-\sin 5x^3)\)

Note: \(15x^2\) adalah turunan pertama dari \(5x^3\)

\(\dfrac{dy}{dx} = -15x^2 \cdot \sin 5x^3\)

Jadi, turunan pertama \(y = \cos 5x^3\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = -15x^2 \cdot \sin 5x^3\)

Contoh 02

Tentukan turunan pertama dari \(y = 5\cos^3 x^2\)

Solusi:

\(y = 5\cos^3 x^2\) dapat ditulis \(y = 5 [\cos x^2]^3\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 5 \cdot 3 \cdot [\cos  x^2]^{(3\:-\:1)} \cdot \color{pink} -2x\cdot \sin x^2\)

Note: \(-2x\cdot \sin x^2\) adalah turunan pertama dari \(\cos x^2\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 15\cdot [\cos x^2]^2 \cdot \color{pink} -2x\cdot \sin x^2\)

\(\dfrac{dy}{dx} = -15\cdot 2x\cdot [\cos x^2]^2\cdot \sin x^2\)

\(\dfrac{dy}{dx} = -15\cdot 2x\cdot \cos^2 x^2 \cdot \sin x^2\)

\(\dfrac{dy}{dx} = -15x\cdot \cos x^2 \cdot \color{cyan} 2 \cdot\sin x^2 \cdot \cos x^2\)

Note: \(\color{cyan} \sin 2x^2 = 2 \cdot\sin x^2 \cdot \cos x^2\)

\(\dfrac{dy}{dx} = -15x\cdot \cos x^2 \cdot \sin 2x^2\)

Jadi, turunan pertama \(y = 5\cos^3 x^2\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = -15x\cdot \cos x^2 \cdot \sin 2x^2\)

C. Turunan Pertama Tangen

$$\bbox[5px, border: 2px solid red] {\dfrac{d}{dx}(\tan u) = \sec^2 u \cdot \dfrac{du}{dx}}$$

Contoh 01

Tentukan turunan pertama dari \(y = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\)

Solusi:

\(y = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\) dapat ditulis \(y = \tan 2x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = \color{pink} 2\color{white}\cdot \sec^2 2x\)

Note: \(2\) adalah turunan pertama dari \(2x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 2\sec^2 2x\)

Jadi, turunan pertama \(y = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = 2\sec^2 2x\)

Contoh 02

Tentukan turunan pertama dari \(y = \tan^2 3x\)

Solusi:

\(y = \tan^2 3x\) dapat ditulis \(y = [\tan 3x]^2\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot [\tan 3x]^{(2\:-\:1)}\cdot \color{pink} 3\sec^2 3x\)

Note:

\(3\sec^2 3x\) adalah turunan pertama dari \(\tan 3x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 6\cdot \tan 3x\cdot \sec^2 3x\)

Note:

\(\color{cyan} 1 + \tan^2 3x = \sec^2 3x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 6\cdot \tan 3x\cdot (1 + \tan^2 3x)\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 6\tan 3x + 6\tan^3 3x\)

Jadi, turunan pertama dari \(y = \tan^2 3x\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = 6\tan 3x + 6\tan^3 3x\)

D. Turunan Pertama Cosecant

$$\bbox[5px, border: 2px solid red] {\dfrac{d}{dx}(\csc u) = -\csc u \cdot \cot u \cdot \dfrac{du}{dx}}$$

Contoh 

Tentukan turunan pertama dari \(y = \csc 10x\)

Solusi:

\(\dfrac{dy}{dx} = \color{pink} 10\color{white}\cdot -\csc 10x \cdot \cot 10x\)

Note: \(10\) adalah turunan pertama dari \(10x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = -10\csc 10x \cdot \cot 10x\)

Jadi, turunan pertama \(y = \csc 10x\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = -10\csc 10x \cdot \cot 10x\)

E. Turunan Pertama Secant

$$\bbox[5px, border: 2px solid red] {\dfrac{d}{dx}(\sec u) = \sec u \cdot \tan u \cdot \dfrac{du}{dx}}$$

Contoh 

Tentukan turunan pertama dari \(y = \dfrac{2}{\cos 5x}\)

Solusi:

\(y = \dfrac{2}{\cos 5x}\) dapat ditulis \(y= 2\sec 5x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot \color{pink} 5\color{white}\cdot \sec 5x \cdot \tan 5x\)

Note: \(5\) adalah turunan pertama dari \(5x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = 10\sec 5x \cdot \tan 5x\)

Jadi, turunan pertama \(y = \dfrac{2}{\cos 5x}\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = 10\sec 5x \cdot \tan 5x\)

F. Turunan Pertama Cotangent

$$\bbox[5px, border: 2px solid red] {\dfrac{d}{dx}(\cot u) = -\csc^2 u \cdot \dfrac{du}{dx}}$$

Contoh 

Tentukan turunan pertama dari \(y =\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}\)

Solusi:

\(y =\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}\) dapat ditulis \(y= \cot 3x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = \color{pink} 3\color{white}\cdot -\csc^2 3x\)

Note: \(3\) adalah turunan pertama dari \(3x\)

\(\dfrac{dy}{dx} = -3\csc^2 3x\)

Jadi, turunan pertama \(y =\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}\) adalah \(\dfrac{dy}{dx} = -3\csc^2 3x\)