Soal 01
Lingkaran dengan persamaan \(3x^2 + 3y^2 \:-\:60x + 30y\:-\:132 = 0\)
Pernyataan yang benar tentang lingkaran tersebut adalah…
(A) Lingkaran berpusat di titik \((10, 8)\)
(B) Panjang jari-jari lingkaran 24
(C) Lingkaran memotong sumbu X di satu titik
(D) Jarak pusat lingkaran ke titik asal (0, 0) adalah \(5\sqrt{5}\)
(E) titik (5, 0) berada di luar lingkaran
Jawaban: D
\(3x^2 + 3y^2 \:-\:60x + 30y\:-\:132 = 0\)
Bagi kedua ruas dengan 3
\(x^2 + y^2 \:-\:20x + 10y\:-\:44 = 0\)
Pusat lingkaran \(\left(-\dfrac{1}{2}(-20), -\dfrac{1}{2}(10)\right) = (10, -5)\)
Jari-jari lingkaran = \(\sqrt{10^2 + (-5)^2 \:-\:(-44)} = \sqrt{169} = 13\)
Jarak pusat lingkaran \( (10, -5)\) ke titik \((0,0)\) adalah:
\(\text{L} = \sqrt{(10\:-\:0)^2 + (-5\:-\:0)^2} = \sqrt{100 + 25} = 5\sqrt{5}\)
Lingkaran memotong sumbu X di dua titik yang berbeda
Titik (5, 0) berada di dalam lingkaran
Soal 02
Batas-batas nilai \(p\) agar titik \(\text{A}(p, p\:-\:2)\) berada di luar lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:2x + 4y \:-\:20=0\) adalah…
(A) \(-3 < p < 6\)
(B) \(-3 < p < 4\)
(C) \(p < – 1 \text{ atau } p > 2\)
(D) \(p < – 3 \text{ atau } p > 4\)
(E) \(p < – 4 \text{ atau } p > 3\)
Jawaban: D
Titik \(\text{A}(p, p\:-\:2)\) berada di luar lingkaran jika kuasanya lebih dari nol.
\(\text{K} > 0\)
\(x^2 + y^2 \:-\:2x + 4y \:-\:20 > 0\)
\(p^2 + (p\:-\:2)^2 \:-\:2p + 4(p\:-\:2) \:-\:20 > 0\)
\(p^2 + p^2 \:-\:4p + 4\:-\:2p + 4p\:-\:8\:-\:20 > 0\)
\(2p^2 \:-\:2p \:-\:24 > 0\)
Bagi kedua ruas dengan 2
\(p^2\:-\:p\:-\:12 > 0\)
\((p\:-\:4)(p + 3) > 0\)
\(p < – 3 \text{ atau } p > 4\)
Soal 03
Lingkaran \(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\) berpusat di \((5, 1)\) dan menyinggung garis \(x = 12\). Nilai dari \(A + B \:-\:2C = \dotso\)
(A) \(12\)
(B) \(24\)
(C) \(38\)
(D) \(40\)
(E) \(44\)
Jawaban: E
Jari-jari lingkaran = jarak antara pusat lingkaran \((5, 1)\) dengan garis singgung \(x = 12\),
Jari-jari lingkaran = \(12 \:-\: 5 = 7\)
Persamaan lingkaran yang berpusat di \((5, 1)\) berjari-jari 7 adalah:
\((x\:-\:5)^2 + (y\:-\:1)^2 = 7^2\)
\(x^2 \:-\:10x + 25 + y^2 \:-\:2y + 1 = 49\)
\(x^2 + y^2 \:-\:10x \:-\:2y \:-\:28 = 0\)
Nilai \(A = -10\), \(B = -2\), dan \(C = -28\)
\(A + B \:-\:2C = -10\:-\:2 + 2(28) = 44\)
Soal 04
Persamaan setengah lingkaran yang berpusat di titik \((0, 0)\) dinyatakan dengan \(y = \sqrt{p\:-\:x^2}\). Nilai \(p\) merupakan salah satu akar persamaan \(x^2 \:-\:3x \:-\: 4 = 0\). Jari-jari lingkaran tersebut adalah…
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Jawaban: B
\(x^2 \:-\:3x \:-\: 4 = 0\)
\((x\:-\:4)(x + 1) = 0\)
\(x\:-\:4 = 0 \rightarrow x_1 = 4\)
\(x + 1 = 0 \rightarrow x_2 = -1\)
\(y = \sqrt{p\:-\:x^2}\)
Kuadratkan kedua ruas,
\(y^2 = p\:-\:x^2\)
\(x^2 + y^2 = p\)
\(p\) adalah salah satu akar, \(p = x_1 = 4\)
\(x^2 + y^2 =4\)
\(r^2 = 4 \rightarrow r = 2\)
Soal 05
Diketahui lingkaran \(x^2 + y^2 + 2px + 10y + 9 = 0\) memiliki jari-jari 5 dan menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut adalah…
(A) \((-5, -3)\)
(B) \((-5, 3)\)
(C) \((6, -5)\)
(D) \((-6, -5)\)
(E) \((3, -5)\)
Jawaban: E
\(x^2 + y^2 + 2px + 10y + 9 = 0\)
Pusat lingkaran = \(\left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)\)
Pusat lingkaran = \(\left(-\dfrac{1}{2}(2p), -\dfrac{1}{2}(10)\right)\)
Pusat lingkaran = \(\left(-p, -5\right)\)
\(r = \sqrt{(-p)^2 + (-5)^2\:-\:9}\)
Karena lingkaran menyinggung sumbu X, maka jari-jarinya sama dengan nilai mutlak dari ordinat titik pusat yaitu |−5| = 5
\(5 = \sqrt{(-p)^2 + (-5)^2\:-\:9}\)
Kuadratkan kedua ruas
\(25 = p^2 + 25 \:-\:9\)
\(25 = p^2 + 16\)
\(p^2 = 9\)
\(p = \pm 3\)
Pusat lingkaran = \(\left(-3, -5\right)\) atau \(\left(3, -5\right)\)
Soal 06
Persamaan garis singgung lingkaran \((x\:-\:3)^2 + (y\:-\:4)^2 = 25\) di titik (0, 0) adalah…
(A) \(y = x\)
(B) \(y = 11x\)
(C) \(y = -11x\)
(D) \(3x \:-\: 4y = 0\)
(E) \(3x + 4y = 0\)
Jawaban: E
Titik (0, 0) berada pada lingkaran karena nilai kuasanya nol sehingga titik (0, 0) merupakan titik singgung.
Persamaan garis singgung lingkaran \((x\:-\:3)^2 + (y\:-\:4)^2 = 25\) adalah \((x_1 \:-\:3)(x\:-\:3) + (y_1\:-\:4)(y\:-\:4) = 25\)
\((0 \:-\:3)(x\:-\:3) + (0\:-\:4)(y\:-\:4) = 25\)
\(-3x + 9\:-\:4y + 16 = 25\)
\(-3x \:-\:4y = 0\)
Bagi kedua ruas dengan \(-1\)
\(3x + 4y = 0\)
Soal 07
Garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 10\) di titik \((3, 1)\) menyinggung lingkaran \((x\:-\:4)^2 + (y\:-\:3)^2 = p\). Nilai \(p = \dotso\)
(A) \(\dfrac{2}{5}\)
(B) \(\dfrac{1}{2}\)
(C) \(\dfrac{3}{5}\)
(D) \(2\)
(E) \(2\dfrac{1}{2}\)
Jawaban: E
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 10\) di titik \((3, 1)\)
\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = 10\)
\(3x + y = 10\)
\(y = 10\:-\:3x\)
Substitusikan \(y = 10\:-\:3x\) ke persamaan lingkaran \((x\:-\:4)^2 + (y\:-\:3)^2 = p\)
\((x\:-\:4)^2 + (y\:-\:3)^2 = p\)
\((x\:-\:4)^2 + (10\:-\:3x \:-\:3)^2 = p\)
\(x^2 \:-\:8x + 16 + 49\:-\:42x + 9x^2 = p\)
\(10x^2 \:-\:50x + 65\:-\:p = 0\)
Syarat garis menyinggung kurva adalah \(b^2 \:-\:4ac = 0\)
\((-50)^2 \:-\:4(10)(65\:-\:p) = 0\)
\(2500\:-\:2600 + 40p = 0\)
\(-100 + 40p = 0\)
\(p = \dfrac{100}{40} = 2\dfrac{1}{2}\)
Soal 08
Persamaan garis singgung pada lingkaran \(x^2 + y^2\:-\:6x + 4y + 8 = 0\) dan sejajar garis \(4x \:-\:2y + 11 = 0\) adalah…
(A) \(y = 2x \:-\:5\) dan \(y = 2x + 5\)
(B) \(y = 2x \:-\:6\) dan \(y = 2x + 6\)
(C) \(y = 2x \:-\:5\) dan \(y = 2x + 7\)
(D) \(y = 2x \:-\:13\) dan \(y = 2x \:-\: 3\)
(E) \(y = 2x \:-\:11\) dan \(y = 2x \:-\:1\)
Jawaban: D
Menentukan gradien garis singgung \(m_2\)
Cari dulu gradien garis \(4x \:-\:2y + 11 = 0\), namakan \(m_1\)
\(2y = 4x + 11\)
\(y = 2x + \dfrac{11}{2}\)
\(m_1 = 2\)
Karena garis \(4x \:-\:2y + 11 = 0\) sejajar dengan garis singgung maka \(m_1 = m_2\)
Gradien garis singgung \(m_2 = 2\)
Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
\(x^2 + y^2\:-\:6x + 4y + 8 = 0\)
\(\text{P} = \left(-\dfrac{1}{2}(-6), -\dfrac{1}{2}(4)\right)\)
\(\text{P} = (3, -2)\)
\(\text{r} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 \:-\:8}\)
\(\text{r} = \sqrt{5}\)
Menentukan persamaan garis singgung
\(\color{blue} y\:-\:b = m(x\:-\:a) \pm r \sqrt{1 + m^2}\)
\(y\:-\:(-2) = 2(x\:-\:3) \pm \sqrt{5} \cdot\sqrt{1 + 2^2}\)
\(y + 2 = 2x\:-\:6 \pm 5\)
\(y = 2x\:-\:6 + 5\:-\:2\) atau \(y = 2x\:-\:6 \:-\: 5\:-\:2\)
\(y = 2x \:-\: 3\) atau \(y = 2x\:-\:13\)
Soal 09
Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik \((3, 4)\) dan garis \(x = -2\) adalah…
(A) \(y^2\:-\:8x + 10 y + 24 = 0\)
(B) \(y^2\:-\:8x \:-\:10y + 20 = 0\)
(C) \(y^2\:-\:10x \:-\:4y + 21 = 0\)
(D) \(y^2\:-\:10x \:-\:8y + 21 = 0\)
(E) \(y^2 + 10x \:-\:8y + 21 = 0\)
Jawaban: D
Jarak titik \((x, y)\) ke titik \((3, 4)\) = jarak titik \((x, y)\) ke garis \(x + 2 = 0\)
\(\sqrt{(x\:-\:3)^2 + (y\:-\:4)^2} = \left|\dfrac{x + 2}{\sqrt{1^2 + 0^2}}\right|\)
Kuadratkan kedua ruas
\(x^2 \:-\:6x + 9 + y^2 \:-\:8y + 16 = (x + 2)^2\)
\(\cancel{x^2} + y^2 \:-\:6x \:-\:8y + 25 =\cancel{ x^2} + 4x + 4\)
\(y^2\:-\:10x \:-\:8y + 21 = 0\)
Soal 10
Garis singgung yang bersudut 135° terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung-ujung diameter titik \((7, 6)\) dan \((1, -2)\) adalah…
(A) \(y = -x + 6 \pm 4\sqrt{2}\)
(B) \(y = -x + 6 \pm 5\sqrt{2}\)
(C) \(y = -x + 6 \pm 5\sqrt{3}\)
(D) \(y = -x + 8 \pm 5\sqrt{2}\)
(E) \(y = x + 10\pm 5\sqrt{2}\)
Jawaban: B
Lingkaran dengan ujung-ujung diameter titik \((7, 6)\) dan \((1, -2)\) memiliki pusat:
\(\text{P}\left(\dfrac{7 + 1}{2}, \dfrac{6\:-\:2}{2}\right)\)
\(\text{P}(4, 2)\)
Jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat \((4, 2)\) ke titik \((1, -2)\)
\(r = \sqrt{(4\:-\:1)^2 + (2 + 2)^2}\)
\(r = \sqrt{9 + 16}\)
\(r = \sqrt{25} = 5\)
Gradien garis singgung \(m = \tan 135^{\circ} = -1\)
Persamaan garis singgung bergradien \(m\) adalah:
\(\color{blue} y\:-\:b = m(x\:-\:a) \pm r\sqrt{1 + m^2}\)
\(y\:-\:2 = -1(x\:-\:4) \pm 5\sqrt{1 + (-1)^2}\)
\(y\:-\:2 = -x + 4 \pm 5\sqrt{2}\)
\(y = -x + 6 \pm 5\sqrt{2}\)
