Jika \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 + x \:-\:2 = 0\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah \(m^3 \:-\:n^2\) dan \(n^3\:-\:m^2\) adalah…
Jawaban: –
\(2x^2 + x \:-\:2 = 0\) memiliki akar-akar \(m\) dan \(n\)
\(\color{blue} m + n = -\dfrac{b}{a}\)
\(m + n = -\dfrac{1}{2}\)
\(\color{blue} mn = \dfrac{c}{a}\)
\(mn = \dfrac{-2}{-2} = -1\)
\(\color{blue} m^2 + n^2 = (m + n)^2 \:-\:2mn\)
\(m^2 + n^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \:-\:2(-1)\)
\(m^2 + n^2 = \dfrac{1}{4} + 2\)
\(m^2 + n^2 = \dfrac{9}{4}\)
\(\color{blue} m^3 + n^3 = (m + n)^3\:-\:3mn(m + n)\)
\(m^3 + n^3 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3\:-\:3(-1)\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(m^3 + n^3 = -\dfrac{1}{8}\:-\:\dfrac{3}{2}\)
\(m^3 + n^3 = -\dfrac{1}{8}\:-\:\dfrac{12}{8}\)
\(m^3 + n^3 = -\dfrac{13}{8}\)
\(\color{blue} m^5 + n^5 = (m^3 + n^3)(m^2 + n^2)\:-\:(mn)^2(m + n)\)
\(m^5 + n^5 = \left( -\dfrac{13}{8}\right)\left(\dfrac{9}{4}\right)\:-\:(-1)^2\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(m^5 + n^5 = -\dfrac{101}{32}\)
Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(m^3 \:-\:n^2\) dan \(n^3\:-\:m^2\) dapat dibentuk dengan rumus:
\(\color{blue} x^2 \:-\:\text{JA}x + \text{HA} = 0\)
\(\text{JA} = m^3 \:-\:n^2 + n^3\:-\:m^2\)
\(\text{JA} = m^3 + n^3 \:-\: (m^2 + n^2)\)
\(\text{JA} = -\dfrac{13}{8} \:-\: \dfrac{9}{4}\)
\(\text{JA} = -\dfrac{31}{8}\)
\(\text{HA} = (m^3 \:-\:n^2)(n^3\:-\:m^2)\)
\(\text{HA} = (mn)^3\:-\:(m^5 + n^5) + (mn)^2\)
\(\text{HA} = (-1)^3\:- \:\left(-\dfrac{101}{32}\right)+ (-1)^2\)
\(\text{HA} = \dfrac{101}{32}\)
Persamaan kuadrat yang baru:
\(x^2 \:-\:\left(-\dfrac{31}{8}\right)x + \dfrac{101}{32} = 0\)
\(32x^2 + 124x + 101 = 0\)
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(\color{purple} 32x^2 + 124x + 101 = 0\)
Diketahui \(p(x)\) dan \(g(x)\) adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan \(p(10) = m\) dan \(g(10) = n\). Jika \(p(x)\cdot h(x) = \left(\dfrac{p(x)}{g(x)}\:-\:1\right)(p(x) + g(x))\), \(h(10) = -\dfrac{16}{15}\), maka nilai maksimum dari \(|m + n| = \dotso\)
Jawaban: A
\(p(10)\cdot h(10) = \left(\dfrac{p(10)}{g(10)}\:-\:1\right)(p(10) + g(10))\)
\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \left(\dfrac{m}{n}\:-\:1\right)(m + n)\)
\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \left(\dfrac{m\:-\:n}{n}\right)(m + n)\)
\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \dfrac{m^2\:-\:n^2}{n}\)
\(-16mn = 15(m^2\:-\:n^2)\)
\(0 = 15m^2 + 16mn \:-\:15n^2\)
\(0 = (5m \:-\: 3n)(3m + 5n)\)
\(5m \:-\: 3n = 0\)
\(5m = 3n\)
\(\dfrac{m}{n} = \dfrac{3}{5}\)
Nilai \(m = 3\) dan \(n = 5\)
\(|m + n| = |3 + 5| = 8\)
\(3m + 5n = 0\)
\(3m = -5n\)
\(\dfrac{m}{n} = -\dfrac{5}{3}\)
Nilai \(m = -5\) dan \(n = 3\)
\(|m + n| = |-5 + 3| = 2\)
Jadi, nilai maksimum \(\color{purple}|m + n| = 8\)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(\log|x + 1| \geq \log 3 + \log |2x \:-\:1|\) adalah…
(A) \(\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}, x \neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)
Jawaban: A
Syarat numerus:
\(|x + 1| > 0\)
\(x \in R, x \neq 0\)
\(|2x \:-\:1| > 0\)
\(x \in R, x \neq \dfrac{1}{2}\)
\(\log|x + 1| \geq \log 3 + \log |2x \:-\:1|\)
\(\log|x + 1| \geq \log 3|2x \:-\:1|\)
\(|x + 1| \geq 3|2x\:-\:1|\)
kuadratkan kedua ruas,
\((x + 1)^2 \geq 9(2x\:-\:1)^2\)
\(x^2 + 2x + 1 \geq 9(4x^2 \:-\:4x + 1)\)
\(x^2 + 2x + 1 \geq 36x^2\:-\:36x + 9\)
\(0 \geq 35x^2 \:-\:38x + 8\)
\(0 \geq (5x \:-\: 4)(7x \:-\: 2)\)
pembuat nol:
\(5x \:-\: 4 = 0 \rightarrow x = \dfrac{4}{5}\)
\(7x \:-\: 2 = 0 \rightarrow x = \dfrac{2}{7}\)
Daerah penyelesaian di atas kemudian diiris dengan syarat numerus, sehingga diperoleh himpunan penyelesaian:
\(\color{purple}\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}, x \neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)
Diketahui suatu barisan aritmetika \(\lbrace a_n \rbrace\) memiliki suku awal \(a > 0\) dan \(2a_{10} = 5a_{15}\). Nilai \(n\) yang memenuhi agar jumlah \(n\) suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah…
Jawaban: C
Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \(\color{blue} \text{U}_n = a + (n\:-\:1)b\)
\(2a_{10} = 5a_{15}\)
\(2(a + 9b) = 5(a + 14b)\)
\(2a + 18b = 5a + 70b\)
\(-3a = 52b\)
\(a = -\dfrac{52}{3}b\)
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{52}{-3}\)
\(a = 52\) dan \(b = -3\)
Barisan aritmetika tersebut adalah: \(52, 49, 46, 43, 40, \dotso\)
Jumlah n suku pertama dari barisan tersebut akan maksimum jika penjumlahannya dari suku pertama sampai dengan suku positif yang terakhir.
Suku positif terakhir:
\(\text{U}_n > 0\)
\(a + (n\:-\:1)b > 0\)
\(52 + (n\:-\:1)(-3) > 0\)
\(52 \:-\:3n + 3 > 0\)
\(55 \:-\:3n > 0\)
\(-3n > -55\)
\(n < \dfrac{55}{3}\)
\(n < 18,333\)
Suku positif terakhir adalah suku ke-18
Jadi, nilai \(n\) yang memenuhi adalah 18
Misalkan diberikan vektor \(\vec{b} = (y, -2z, 3x)\) dan \(\vec{c} = (2z, 3x, -y)\). Diketahui vektor \(\vec{a}\) membentuk sudut tumpul dengan sumbu \(y\) dan \(||\vec{a}|| = 2 \sqrt{3}\). Jika \(\vec{a}\) membentuk sudut yang sama dengan \(\vec{b}\) maupun \(\vec{c}\), dan tegak lurus dengan \(\vec{d} = (1, -1, 2)\), maka \(\vec{a} = \dotso\)
Jawaban: E
Perhatikan bahwa panjang vektor \(\vec{a}\) haruslah \(2 \sqrt{3}\)
Dari pilihan jawaban yang tersedia terdapat dua opsi jawaban (B) \((-2, -2, -2)\) atau (E) \((2, -2, -2)\), karena vektor-vektor tersebut memiliki panjang \(2 \sqrt{3}\).
Diketahui juga bahwa \(\vec{a}\) tegak lurus dengan \(\vec{d}\)
Syarat dua buah vektor saling tegak lurus adalah \(\vec{a}\cdot \vec{d} = 0\)
Opsi B salah,
\((-2, -2, -2)\cdot (1, -1, 2) \neq 0\)
Opsi E benar,
\((2, -2, -2)\cdot (1, -1, 2) = 0\)
Jadi, vektor \(\color{purple} \vec{a} = (2, -2, -2)\)
Banyaknya nilai x dengan \(0 \leq x \leq 2014\pi\) yang memenuhi \(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0\) adalah…
Jawaban: B
\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0\)
\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\left(\dfrac{\cos x + 1}{2}\right) = 0\)
\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:2\cos x \:-\: 2 = 0\)
\((\cos x + 1)(\cos^2 x \:-\:2) = 0\)
\(\cos x + 1 = 0\)
\(\cos x = -1\)
\(\cos x = \cos \pi\)
Penyelesaian 1
\(x = \pi + k\cdot 2\pi\)
\(k = 0 \rightarrow x = \pi\)
\(k = 1 \rightarrow x = 3\pi\)
\(k = 2 \rightarrow x = 5\pi\)
\(k = 3 \rightarrow x = 7\pi\)
\(k = 4 \rightarrow x = 9\pi\)
\(\dotso\)
\(k =1006 \rightarrow x = 2013\pi\)
Perhatikan bahwa nilai-nilai x yang memenuhi membentuk barisan aritmetika.
\(\text{U}_n = a + (n \:-\:1)b\)
\(2013\pi = \pi + (n\:-\:1)2\pi\)
\(2013 = 1 + 2n \:-\:2\)
\(2013 = 2n\:-\:1\)
\(2014 = 2n\)
\(n = 1007\)
Penyelesaian 2
\(x = -\pi + k\cdot 2\pi\)
\(k = 1 \rightarrow x = \pi\)
\(k = 2 \rightarrow x = 3\pi\)
\(k = 3 \rightarrow x = 5\pi\)
\(k = 4 \rightarrow x =7\pi\)
\(\dotso\)
\(k =1007 \rightarrow x = 2013\pi\)
solusi yang diperoleh dari penyelesaian 2 ini sudah ada di penyelesaian 1
Jadi, terdapat 1007 nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
Semua nilai x yang memenuhi \(^{\sin x}\log \left(\dfrac{1}{2}\sin 2x\right) = 2\) adalah…
Jawaban: A
Pada persamaan logaritma, terdapar syarat basis dan syarat numerus.
Syarat basis:
\(\sin x > 0 \text{ dan } \sin x \neq 1\)
Syarat numerus:
\(\sin 2x > 0\)
Selanjutnya, ubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponen.
\(\color{blue} ^a\log b = c \rightarrow b = a^c\)
\(\dfrac{1}{2}\sin 2x = \sin^2 x\)
\(\dfrac{1}{2}\cdot 2 \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x\)
\(\sin x \cdot \cos x = \sin^2 x\)
\(0 = \sin^2 x \:-\: \sin x \cdot \cos x\)
\(0 = \sin x (\sin x \:-\:\cos x)\)
\(\sin x = 0 \text{ tidak memenuhi}\)
\(\sin x = \cos x\)
\(\sin x = \sin (\frac{\pi}{2}\:-\:x)\)
solusi 1
\(x = \frac{\pi}{2}\:-\:x + k\cdot 2\pi\)
\(2x = \frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)
\(x = \frac{\pi}{4} + k\cdot \pi\)
Agar memenuhi syarat basis dan numerus, maka dipilih konstanta \(2k\), sehingga solusi persamaan logaritma tersebut adalah \(\color{purple} x = \frac{\pi}{4} + 2k\cdot \pi\)
Jika \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{\frac{1}{3}Ax^3 + \frac{1}{2}Bx^2 \:-\:3x}{x^3\:-\:2x^2\:-\:8x + 16} = -\dfrac{3}{10}\), maka nilai \(20A + 15B = \dotso\)
Jawaban: C
Bentuk awal hasil limit tersebut setelah mengganti x dengan 2 adalah \(\dfrac{0}{0}\), artinya nilai pembilangnya sama dengan nol.
\(\frac{1}{3}Ax^3 + \frac{1}{2}Bx^2 \:-\:3x = 0\)
Substitusi x = 2
\(\frac{1}{3}A(2)^3 + \frac{1}{2}B(2)^2 \:-\:3(2) = 0\)
\(\frac{8}{3}A + 2B \:-\:6 = 0\)
Kali kedua ruas dengan \(\frac{15}{2}\)
\(20A + 15B \:-\:45= 0\)
Jadi, nilai \(\color{purple} 20A + 15B = 45\)
Misalkan \(f(1) = 2, f'(1) = -1, g(1) = 0\) dan \(g'(1) = 1\). Jika \(F(x) = f(x)\cos(g(x))\), maka \(F'(1)=\dotso\)
Jawaban: D
\(F(x) = f(x)\cos(g(x))\)
\(F'(x) = f'(x)\cdot \cos (g(x)) + f(x)\cdot \sin (g(x)) \cdot g'(x)\)
\(F'(1) = f'(1)\cdot \cos (g(1)) + f(1)\cdot \sin (g(1)) \cdot g'(1)\)
\(F'(1) = -1_\cdot \cos 0 + 2\cdot \sin 0 \cdot 1\)
\(F'(1) = -1_\cdot 1 + 2\cdot 0 \cdot 1\)
\(F'(1) = -1\)
\(\begin{cases}\int_{0}^{1} f(x)\: dx + \left(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\right)^2 = 3& x = 0\\\\f(x) = 3x^2+ 4x + \int_{0}^{2} g(x)\: d(x) & x > 0\end{cases}\)
dengan \(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x) \neq 0\). Nilai \(f(1) = \dotso\)
Jawaban: E
Misalkan \(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x) = p\) dengan \(p \neq 0\), maka
\(f(x) = 3x^2+ 4x + \int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\)
\(f(x) = 3x^2+ 4x + p\)
\(\int_{0}^{1} f(x)\: dx + \left(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\right)^2 = 3\)
\(\int_{0}^{1} (3x^2+ 4x + p)\: dx + p^2 = 3\)
\(\left.x^3 + 2x^2 + px \right|_0^1 + p^2 = 3\)
\(1 + 2 + p + p^2 = 3\)
\(p^2 + p = 0\)
\(p(p + 1) = 0\)
Karena \(p \neq 0\) maka \(p = -1\) yang dipilih
\(f(x) = 3x^2 + 4x\:-\:1\)
\(f(1) = 3(1)^2 + 4(1) \:-\:1\)
Jadi, nilai \(\color{purple}f(1) = 6\)
