Jawaban: E
\((2x + 1)^2 \:-\:4(x^2 \:-\:3)\)
Ingat penjabaran \(\color{blue} (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\(4x^2 + 4x + 1\:-\:4x^2 + 12\)
\(4x + 13\)
Jawaban: C
Ingat rumus eksponen:
\(\color{blue} (a^m)^n = a^{mn}\)
\(\color{blue} a^m \cdot a^n = a^{m + n}\)
\(\color{blue} \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m\:-\:n}\)
\((-2x^2y)^3 \div (xy^2z)^2 \times (-yz)^2\)
\(-8x^6 y^3 \div x^2y^4z^2 \times y^2z^2\)
\(\dfrac{-8x^{6\:-\:2} y^3}{\cancel{z^2}} \times y^2 \cancel{z^2}\)
\(-8x^4 y^{3 + 2}\)
\(-8x^4 y^5\)
Jika fungsi \(f(x) = \dfrac{3x + 1}{2x + 1}\), \(g(x) = \dfrac{px + 1}{2x\:-\:3}\) memenuhi hubungan \(f(g(x)) = x\), \(x \neq -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\), maka konstanta \(p = \dotso\).
\(f(g(x)) = x\) artinya fungsi \(f\) dan \(g\) saling invers satu sama lain.
Rumus invers fungsi pecahan:
\(\color{blue} f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \rightarrow f^{-1}(x) = \dfrac{dx\:-\:b}{-cx + a}\)
\(f(x) = \dfrac{3x + 1}{2x + 1} \rightarrow f^{-1}(x) = \dfrac{x \:-\:1}{-2x + 3}\)
\(f^{-1}(x) = \dfrac{\cancel{-}(-x + 1)}{\cancel{-}(2x\:-\:3)}\)
\(f^{-1}(x) = \dfrac{-x + 1}{2x\:-\:3}\)
\(f^{-1}(x) = g(x)\)
\(\dfrac{-x + 1}{2x\:-\:3} = \dfrac{px + 1}{2x\:-\:3}\)
Samakan bagian pembilang,
\(-1\cdot x + 1 = p\cdot x + 1\)
\(p = -1\)
Jadi, nilai \(p\) adalah \(-1\).
Jika \(a = \sqrt{5} + \sqrt{3}\) dan \(b = \sqrt{5}\:-\:\sqrt{3}\), nilai dari \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dotso\)
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab}\)
\(ab = (\sqrt{5} + \sqrt{3})( \sqrt{5}\:-\:\sqrt{3})\)
Gunakan rumus \((a + b)(a\:-\:b) = a^2 \:-\:b^2\)
\(ab = 5\:-\:3 = 2\)
\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 \:-\:2ab\)
\(a^2 + b^2 = (\sqrt{5} + \cancel{\sqrt{3}} + \sqrt{5}\:-\:\cancel{\sqrt{3}})^2 \:-\:2(2)\)
\(a^2 + b^2 = (2\sqrt{5})^2 \:-\:4\)
\(a^2 + b^2 = 20\:-\:4 = 16\)
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab}\)
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{16}{2}\)
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \color{red} 8\)
Jawaban = 12
Pelajari sifat-sifat logaritma pada link berikut:
Sifat-Sifat Logaritma
\(^3\log 6 \:-\: ^{3^2}\log x^1 = \dfrac{1}{2}\)
\(^3\log 6 \:-\: ^{3}\log x^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\)
\(^3\log 6 \:-\: ^{3}\log \sqrt{x} = \dfrac{1}{2}\)
\(^3\log {\dfrac{6}{\sqrt{x}}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{x}} = 3^{\frac{1}{2}}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{x}} = \sqrt{3}\)
Kali silang,
\(6 = \sqrt{3x}\)
Kuadratkan kedua ruas
\(6^2 = 3x\)
\(36 = 3x\)
\(x = \dfrac{36}{3}\)
\(x = 12\)
Diketahui barisan aritmetika dengan \(U_k\) menyatakan suku ke-\(k\). Jika \(U_{k+2} = U_2 + k\cdot U_{16} \:-\:2\), maka nilai \(U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \dotso\)
Jawaban: E
Pelajari barisan dan deret aritmetika pada link berikut:
Barisan dan Deret Aritmetika
Rumus suku ke-n barisan aritmetika: \(\color{blue} U_n = a + (n\:-\:1)b\)
\(U_{k+2} = a + (k + 2 \:-\:1)b\)
\(U_{k+2} = a + (k + 1)b\)
\(U_{k+2} = a + kb + b\)
\(U_{k+2} = U_2 + k\cdot U_{16} \:-\:2\)
\(\cancel{a} + kb + \cancel{b} = \cancel{a} + \cancel{b} + k \cdot (a + 15b) \:-\:2\)
\(kb = k \cdot (a + 15b) \:-\:2\)
\(kb = ka + 15kb\:-\:2\)
\(2 = ka + 15kb \:-\:kb\)
\(2 = ka + 14kb\)
\(2 = k(a + 14b)\)
\(2 = k \cdot U_{15}\)
\(U_{15} = \dfrac{2}{k} \dotso\color{red} (1)\)
\(U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24}\)
\(a + 5b + a + 11b + a + 17b + a + 23b\)
\(4a + 56b\)
\(4(a + 14b)\)
\(4\cdot U_{15}\dotso \color{red} (2)\)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)
\(4\cdot \dfrac{2}{k}\)
\(\dfrac{8}{k}\)
Jadi, nilai \(U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \dfrac{8}{k}\)
Dalam basis 10, bilangan positif \(a\) memiliki 3 digit, bilangan bulat positif \(b\) memiliki \(a\) digit, dan bilangan bulat positif \(c\) memiliki \(b\) digit. Nilai terkecil untuk \(c\) adalah…
Jawaban: D
Diketahui:
- \(a\) adalah bilangan positif 3 digit, berarti \(100 \leq a \leq 999\)
- \(b\) memiliki \(a\) digit, berarti \(10^{a\:-\:1} \leq b \leq 10^{a} \:-\:1\)
- \(c\) memiliki \(b\) digit, berarti \(10^{b\:-\:1} \leq c \leq 10^{b} \:-\:1\)
Ditanyakan: nilai terkecil dari \(c\)
Kita ingin meminimalkan nilai \(c\).
Karena \(c \geq 10^{b\:-\:1}\), maka eksponen \(b\:-\:1\) harus diminimalkan. Hal ini sama artinya meminimalkan nilai \(b\).
Namun, \(b\) sendiri adalah bilangan yang memiliki \(a\) digit dan \(a\) minimal adalah 100 (karena \(a\) harus 3 digit).
Maka, untuk nilai terkecil dari \(c\), ambil nilai terkecil dari \(a\), yaitu:
\(a = 100\)
Karena \(a = 100\), maka \(b \geq 10^{100\:-\:1} = 10^{99}\)
(yaitu nilai terkecil dari bilangan yang memiliki 100 digit)
Karena \(b \geq 10^{99}\), maka \(c \geq 10^{10^{99}\:-\:1}\)
(yaitu nilai terkecil dari bilangan yang memiliki \(10^{99}\) digit)
Jadi, nilai terkecil dari \(c\) adalah: \(10^{10^{99}\:-\:1}\)
