Benang Lurus
Latihan Pertidaksamaan Linear 01
Soal 01 Mudah
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \(x + 7 < 15\) jika \(x\) adalah anggota bilangan cacah!
HP = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
\[
\begin{aligned}
x + 7 &< 15 \\
x &< 15 \:-\: 7 \\
x &< 8
\end{aligned}
\]
\[
\text{HP} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}
\]
Soal 02 Mudah
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \(3x \:-\: 5 \ge 16\) untuk \(x\) bilangan bulat!
HP = {7, 8, 9, 10, …}
\[
\begin{aligned}
3x \:-\: 5 &\ge 16 \\
3x &\ge 16 + 5 \\
3x &\ge 21 \\
x &\ge \frac{21}{3} \\
x &\ge 7
\end{aligned}
\]
\[
\text{HP} = \{7, 8, 9, 10, \dots\}
\]
Soal 03 Mudah
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan \(-4x + 6 \le 22\) untuk \(x\) bilangan real!
x ≥ -4
\[
\begin{aligned}
-4x + 6 &\le 22 \\
-4x &\le 22 \:-\: 6 \\
-4x &\le 16
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
x &\ge \frac{16}{-4} \\
x &\ge -4
\end{aligned}
\] Jadi, penyelesaiannya adalah \(x \ge -4\).
Soal 04 Mudah
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan \(5x \:-\: 3 > 2x + 12\) untuk \(x\) bilangan real!
x > 5
\[
\begin{aligned}
5x \:-\: 3 &> 2x + 12 \\
5x \:-\: 2x &> 12 + 3 \\
3x &> 15 \\
x &> \frac{15}{3} \\
x &> 5
\end{aligned}
\] Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah \(x > 5\).
Soal 05 Sedang
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \(3(2x \:-\: 4) \le 4(x + 1) \:-\: 6\) untuk \(x\) bilangan bulat!
HP = {…, 2, 3, 4, 5}
\begin{aligned}
3(2x \:-\: 4) &\le 4(x + 1) \:-\: 6 \\
6x \:-\: 12 &\le 4x + 4 \:-\: 6 \\
6x \:-\: 12 &\le 4x \:-\: 2
\end{aligned}
\]
\begin{aligned}
6x \:-\: 4x &\le -2 + 12 \\
2x &\le 10 \\
x &\le 5
\end{aligned}
\] Untuk \(x\) bilangan bulat, himpunan penyelesaiannya adalah \(\{\dots, 2, 3, 4, 5\}\).
Soal 06 Sedang
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan pecahan aljabar berikut:
\[\dfrac{2x \:-\: 1}{3} < \dfrac{x + 2}{2}\]
x < 8
\[
\begin{aligned}
6 \times \left(\frac{2x \:-\: 1}{3}\right) &< 6 \times \left(\frac{x + 2}{2}\right) \\
2(2x \:-\: 1) &< 3(x + 2) \\
4x \:-\: 2 &< 3x + 6
\end{aligned}
\]
\begin{aligned}
4x \:-\: 3x &< 6 + 2 \\
x &< 8
\end{aligned}
\] Jadi, penyelesaiannya adalah \(x < 8\).
Soal 07 Sedang
Tentukan interval nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan ganda berikut:
\[-3 \le 2x \:-\: 1 < 7\]
-1 ≤ x < 4
\[
\begin{aligned}
-3 + 1 &\le 2x < 7 + 1 \\
-2 &\le 2x < 8
\end{aligned}
\] Bagi ketiga ruas dengan angka \(2\):
\[
\begin{aligned}
\frac{-2}{2} &\le x < \frac{8}{2} \\
-1 &\le x < 4
\end{aligned}
\] Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(-1 \le x < 4\).
Soal 08 Sedang — Kontekstual
Sebuah lift di gedung perkantoran memiliki daya angkut maksimum \(650\text{ kg}\). Di dalam lift telah dimuat beberapa kardus berkas dengan berat total \(170\text{ kg}\). Jika rata-rata berat badan satu orang dewasa adalah \(60\text{ kg}\), berapa jumlah orang dewasa terbanyak yang masih diperbolehkan masuk ke dalam lift tersebut secara aman?
Maksimal 8 orang
Kata kunci “daya angkut maksimum” berarti total beban harus \(\le 650\text{ kg}\).
\[
60n + 170 \le 650
\]
\begin{aligned}
60n &\le 650 \:-\: 170 \\
60n &\le 480 \\
n &\le \frac{480}{60} \\
n &\le 8
\end{aligned}
\] Karena jumlah orang bernilai bilangan bulat, banyak orang dewasa terbanyak yang dapat masuk adalah 8 orang.
Soal 09 Sedang — Kontekstual
Dimas membawa uang Rp50.000,00 ke toko peralatan sekolah. Ia membeli \(3\) buah buku tulis dengan harga masing-masing Rp6.500,00 dan berniat membeli beberapa pulpen seharga Rp4.000,00 per batang. Jika Dimas ingin menyisakan uang saku tidak kurang dari Rp6.500,00 untuk ongkos pulang, tentukan banyak pulpen terbanyak yang dapat dibeli oleh Dimas!
Maksimal 6 pulpen
Biaya pembelian buku: \(3 \times 6.500 = 19.500\).
Sisa uang belanja: \(50.000 \:-\: (19.500 + 4.000p)\).
Kata kunci “tidak kurang dari” berarti \(\ge 6.500\).
\[
50.000 \:-\: 19.500 \:-\: 4.000p \ge 6.500
\]
\begin{aligned}
30.500 \:-\: 4.000p &\ge 6.500 \\
-4.000p &\ge 6.500 \:-\: 30.500 \\
-4.000p &\ge -24.000 \\
p &\le \frac{-24.000}{-4.000} \\
p &\le 6
\end{aligned}
\] Jadi, banyak pulpen terbanyak yang dapat dibeli Dimas adalah 6 batang pulpen.
Soal 10 Sedang — Geometri
Sebidang taman mini berbentuk persegi panjang memiliki ukuran panjang \((2x \:-\: 3)\text{ meter}\) dan lebar \((x + 1)\text{ meter}\). Jika keliling taman tersebut dirancang tidak lebih dari \(38\text{ meter}\), tentukan batas nilai \(x\) dan panjang maksimum taman tersebut!
1,5 < x ≤ 7 | Panjang Maks = 11 meter
\[
\begin{aligned}
(2x \:-\: 3) + (x + 1) &\le 19 \\
3x \:-\: 2 &\le 19 \\
3x &\le 21 \\
x &\le 7
\end{aligned}
\]
\[
2x \:-\: 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1{,}5
\] Sehingga batas nilai \(x\) yang sah adalah \(1{,}5 < x \le 7\).
Panjang taman maksimum tercapai saat \(x = 7\):
\[
p_{\text{maks}} = 2(7) \:-\: 3 = 14 \:-\: 3 = 11\text{ meter}
\]
Soal 11 Sedang — Kontekstual
Risa telah mengikuti tiga kali asesmen formatif matematika dengan perolehan nilai berturut-turut \(78\), \(82\), dan \(85\). Agar Risa memperoleh predikat tuntas dengan kriteria rata-rata dari empat kali asesmen tidak kurang dari \(82\), berapakah nilai minimal yang harus dicapai Risa pada asesmen keempat?
Nilai Minimal = 83
Rumus rata-rata nilai:
\[
\frac{78 + 82 + 85 + n}{4} \ge 82
\]
\begin{aligned}
\frac{245 + n}{4} &\ge 82 \\
245 + n &\ge 82 \times 4 \\
245 + n &\ge 328 \\
n &\ge 328 \:-\: 245 \\
n &\ge 83
\end{aligned}
\] Jadi, nilai minimal yang harus diperoleh Risa adalah 83.
Soal 12 Sulit / HOTS
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan aljabar bertingkat berikut untuk \(x \in \mathbb{R}\):
\[\dfrac{3x \:-\: 2}{4} \:-\: \dfrac{x + 1}{3} \ge \dfrac{5}{6}\]
x ≥ 4
\[
\begin{aligned}
12 \times \left(\frac{3x \:-\: 2}{4}\right) \:-\: 12 \times \left(\frac{x + 1}{3}\right) &\ge 12 \times \left(\frac{5}{6}\right) \\
3(3x \:-\: 2) \:-\: 4(x + 1) &\ge 2(5)
\end{aligned}
\]
\begin{aligned}
9x \:-\: 6 \:-\: 4x \:-\: 4 &\ge 10 \\
5x \:-\: 10 &\ge 10 \\
5x &\ge 10 + 10 \\
5x &\ge 20 \\
x &\ge 4
\end{aligned}
\] Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah \(x \ge 4\).
Soal 13 Sulit / HOTS — Tarif Transportasi
Skema tarif sebuah armada taksi memberlakukan biaya pemesanan awal (flag fall) sebesar Rp8.000,00 dan tarif jalan sebesar Rp3.500,00 untuk tiap kilometer perjalanan. Fandi hanya membawa uang tunai sebesar Rp64.000,00 untuk perjalanan tersebut. Tentukan jarak perjalanan terjauh (dalam km) yang dapat ditempuh Fandi!
Jarak Maksimum = 16 km
Biaya total taksi: \(8.000 + 3.500s\).
Karena uang yang tersedia paling banyak Rp64.000,00:
\[
8.000 + 3.500s \le 64.000
\]
\begin{aligned}
3.500s &\le 64.000 \:-\: 8.000 \\
3.500s &\le 56.000 \\
s &\le \frac{56.000}{3.500} \\
s &\le 16\text{ km}
\end{aligned}
\] Jadi, jarak terjauh yang dapat ditempuh Fandi menggunakan taksi tersebut adalah 16 km.
Soal 14 Sulit / HOTS — Geometri
Sebuah kerangka segitiga memiliki panjang sisi-sisi berturut-turut \((x + 2)\text{ cm}\), \((2x \:-\: 1)\text{ cm}\), dan \(10\text{ cm}\). Jika keliling kerangka segitiga tersebut tidak kurang dari \(23\text{ cm}\) dan tidak lebih dari \(32\text{ cm}\), tentukan batas interval nilai \(x\) yang memenuhi serta buktikan keabsahannya secara geometri!
4 ≤ x ≤ 7 (Valid Geometri)
\[
\begin{aligned}
K &= (x + 2) + (2x \:-\: 1) + 10 \\
&= 3x + 11
\end{aligned}
\] Berdasarkan batas keliling pada soal (\(\text{tidak kurang dari } 23\text{ cm}\) dan \(\text{tidak lebih dari } 32\text{ cm}\)):
\[
23 \le 3x + 11 \le 32
\]
\[
\begin{aligned}
23 \:-\: 11 &\le 3x \le 32 \:-\: 11 \\
12 &\le 3x \le 21
\end{aligned}
\] Bagi ketiga ruas dengan angka \(3\):
\[
\begin{aligned}
\frac{12}{3} &\le x \le \frac{21}{3} \\
4 &\le x \le 7
\end{aligned}
\]
Agar tiga ruas garis dapat membentuk bidang segitiga nyata tertutup, syarat mutlaknya adalah jumlah panjang dua sisi sembarang harus selalu lebih besar dari sisi ketiga.
Bentuk aljabar sisi-sisinya:
\[
(x + 2) + (2x \:-\: 1) > 10 \implies 3x + 1 > 10 \implies 3x > 9 \implies x > 3
\]
Uji pada nilai batas paling kritis (\(x = 4\)):
- Sisi 1: \(4 + 2 = 6\text{ cm}\)
- Sisi 2: \(2(4) \:-\: 1 = 7\text{ cm}\)
- Sisi 3: \(10\text{ cm}\)
Karena \(6 + 7 = 13 > 10\) (terpenuhi), dan seluruh interval \(4 \le x \le 7\) berada di dalam daerah \(x > 3\), maka segitiga tersebut 100% absah dan terbukti secara akademis dapat terbentuk.
Soal 15 Sulit / HOTS — Usaha dan Laba
Seorang siswa wirausaha memproduksi suvenir tas kanvas. Biaya sewa alat operasional mingguan adalah Rp450.000,00 dan biaya bahan untuk membuat satu buah tas adalah Rp18.000,00. Jika tas tersebut dijual dengan harga Rp30.000,00 per buah, berapakah banyak tas paling sedikit yang harus dibuat dan laku terjual dalam satu minggu agar ia memperoleh laba bersih minimal Rp750.000,00?
Paling sedikit 100 tas
\(\text{Pendapatan} = 30.000x\)
\(\text{Total biaya} = 450.000 + 18.000x\)
Rumus Laba Bersih: \(\text{Laba} = \text{pendapatan} \:-\: \text{total biaya}\).
\[
30.000x \:-\: (450.000 + 18.000x) \ge 750.000
\]
\begin{aligned}
30.000x \:-\: 18.000x \:-\: 450.000 &\ge 750.000 \\
12.000x &\ge 750.000 + 450.000 \\
12.000x &\ge 1.200.000 \\
x &\ge \frac{1.200.000}{12.000} \\
x &\ge 100
\end{aligned}
\] Jadi, siswa tersebut harus memproduksi dan menjual paling sedikit 100 buah tas kanvas dalam satu minggu agar mencapai target laba yang diharapkan.
