Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menyelesaikan nilai mutlak per bagian

• \(|2(-4) + 3| = |-8 + 3| = |-5| = 5\)
• \(|7 \:-\: 12| = |-5| = 5\)
• \(|-3|^2 = (3)^2 = 9\)

Langkah 2: Menghitung hasil akhir
\[ 5 \:-\: 5 + 9 = 9 \]

Langkah Penyelesaian:

Berdasarkan sifat \(|f(x)| = c \iff f(x) = c\) atau \(f(x) = -c\):

• Kemungkinan 1:
  \[ 3x \:-\: 5 = 16 \implies 3x = 21 \implies x = 7 \]
• Kemungkinan 2:
  \[ 3x \:-\: 5 = -16 \implies 3x = -16 + 5 = -11 \implies x = -\dfrac{11}{3} \]

Himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{-\dfrac{11}{3},\ 7\right\}\).

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Mengalikan kedua ruas dengan \(3\)
\[ |2x + 1| = 15 \]Langkah 2: Menentukan solusi nilai \(x\)

• \(2x + 1 = 15 \implies 2x = 14 \implies x_1 = 7\)
• \(2x + 1 = -15 \implies 2x = -16 \implies x_2 = -8\)

Langkah 3: Menghitung hasil kali akar-akar
\[ x_1 \cdot x_2 = 7 \times (-8) = -56 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menyelesaikan kedua cabang nilai mutlak

• \(4x + 6 = 14 \implies 4x = 8 \implies x_1 = 2\)
• \(4x + 6 = -14 \implies 4x = -20 \implies x_2 = -5\)

Langkah 2: Menghitung jumlah solusi
\[ x_1 + x_2 = 2 + (-5) = -3 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Mengisolasi bentuk nilai mutlak di ruas kiri
\[ |2x \:-\: 3| = 2 \:-\: 7 \] \[ |2x \:-\: 3| = -5 \]Langkah 2: Meninjau definisi nilai mutlak
Berdasarkan definisi geometris maupun aljabar, nilai mutlak suatu bilangan riil selalu menghasilkan nilai non-negatif (\(|f(x)| \ge 0\)).
Karena ruas kanan bernilai negatif (\(-5\)), maka tidak ada nilai \(x \in \mathbb{R}\) yang memenuhi persamaan.
\[ HP = \emptyset \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menguadratkan kedua ruas
\[ (2x \:-\: 1)^2 = (x + 4)^2 \] \[ (2x \:-\: 1)^2 \:-\: (x + 4)^2 = 0 \]Langkah 2: Memfaktorkan selisih dua kuadrat \(a^2 \:-\: b^2 = (a + b)(a \:-\: b)\)
\[ \big[(2x \:-\: 1) + (x + 4)\big] \cdot \big[(2x \:-\: 1) \:-\: (x + 4)\big] = 0 \] \[ (3x + 3)(x \:-\: 5) = 0 \] Diperoleh solusi:
\[ 3x + 3 = 0 \implies x_1 = -1 \] \[ x \:-\: 5 = 0 \implies x_2 = 5 \] \[ HP = \{-1,\ 5\} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan syarat nilai ruas kanan
\[ 2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3{,}5 \quad \text{— (Syarat)} \]Langkah 2: Menghitung nilai \(x\) dari dua cabang

• Cabang positif:
  \[ 3x \:-\: 2 = 2x + 7 \implies 3x \:-\: 2x = 7 + 2 \implies x = 9 \] Karena \(9 \ge -3{,}5\), maka \(x = 9\) memenuhi.
• Cabang negatif:
  \[ 3x \:-\: 2 = -(2x + 7) \implies 3x \:-\: 2 = -2x \:-\: 7 \] \[ 5x = -5 \implies x = -1 \] Karena \(-1 \ge -3{,}5\), maka \(x = -1\) memenuhi.

\[ HP = \{-1,\ 9\} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menguadratkan kedua ruas & memfaktorkan selisih kuadrat
\[ (x^2 \:-\: x + 2)^2 \:-\: 4^2 = 0 \] \[ \big[(x^2 \:-\: x + 2) + 4\big] \cdot \big[(x^2 \:-\: x + 2) \:-\: 4\big] = 0 \] \[ (x^2 \:-\: x + 6)(x^2 \:-\: x \:-\: 2) = 0 \]Langkah 2: Meneliti akar-akar tiap faktor

• Faktor 1 (\(x^2 \:-\: x + 6 = 0\)):
  Nilai diskriminan: \(D = (-1)^2 \:-\: 4(1)(6) = 1 \:-\: 24 = -23 < 0\). Karena \(D < 0\), persamaan kuadrat ini definit positif dan tidak memiliki akar bilangan riil.
• Faktor 2 (\(x^2 \:-\: x \:-\: 2 = 0\)):
  \[ (x \:-\: 2)(x + 1) = 0 \implies x_1 = 2 \text{ atau } x_2 = -1 \]

\[ HP = \{-1,\ 2\} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan syarat penyebut pecahan
\[ x + 2 \ne 0 \implies x \ne -2 \]Langkah 2: Mengalikan bentuk mutlak
\[ |2x \:-\: 1| = 3|x + 2| = |3x + 6| \] \[ (2x \:-\: 1)^2 \:-\: (3x + 6)^2 = 0 \] \[ \big[(2x \:-\: 1) + (3x + 6)\big] \cdot \big[(2x \:-\: 1) \:-\: (3x + 6)\big] = 0 \] \[ (5x + 5)(-x \:-\: 7) = 0 \] Diperoleh:
\[ 5x + 5 = 0 \implies x_1 = -1 \] \[ -x \:-\: 7 = 0 \implies x_2 = -7 \]

Langkah 3: Menghitung jumlah akar-akar
\[ x_1 + x_2 = -1 + (-7) = -8 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menata bentuk persamaan & menentukan titik kritis
\[ |2x + 5| + |x \:-\: 4| = 11 \] Pembuat nol mutlak: \(x = -\dfrac{5}{2}\) dan \(x = 4\). Garis bilangan terbagi menjadi 3 daerah.Langkah 2: Menguji ketiga daerah interval

Daerah I: \(x < -\dfrac{5}{2}\)	Daerah II: \(-\dfrac{5}{2} \le x < 4\)	Daerah III: \(x \ge 4\)
\(-(2x + 5) \:-\: (x \:-\: 4) = 11\) \(-2x \:-\: 5 \:-\: x + 4 = 11\) \(-3x \:-\: 1 = 11\) \(-3x = 12 \implies x = -4\) Karena \(-4 < -2{,}5\), maka MEMENUHI.	\((2x + 5) \:-\: (x \:-\: 4) = 11\) \(2x + 5 \:-\: x + 4 = 11\) \(x + 9 = 11 \implies x = 2\) Karena \(2 \in [-2{,}5;\ 4)\), maka MEMENUHI.	\((2x + 5) + (x \:-\: 4) = 11\) \(3x + 1 = 11\) \(3x = 10 \implies x = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\) Karena \(\frac{10}{3} < 4\), maka TIDAK MEMENUHI.

\[ HP = \{-4,\ 2\} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menggunakan pemisalan variabel baru
Misalkan \(u = |x|\) dengan syarat \(u \ge 0\). Persamaan menjadi:
\[ u^2 \:-\: 3u \:-\: 10 = 0 \] \[ (u \:-\: 5)(u + 2) = 0 \] Diperoleh \(u = 5\) atau \(u = -2\).
Karena syarat \(u \ge 0\), maka \(u = -2\) gugur/tidak memenuhi.Langkah 2: Menentukan nilai \(x\) dari \(u = 5\)
\[ |x| = 5 \implies x_1 = 5 \text{ atau } x_2 = -5 \]

Langkah 3: Menghitung hasil kali
\[ x_1 \cdot x_2 = 5 \times (-5) = -25 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Membuka lapisan nilai mutlak terluar

• Kemungkinan 1:
  \[ |2x \:-\: 1| \:-\: 3 = 4 \implies |2x \:-\: 1| = 7 \]
• Kemungkinan 2:
  \[ |2x \:-\: 1| \:-\: 3 = -4 \implies |2x \:-\: 1| = -1 \] Karena nilai mutlak tidak mungkin bernilai negatif (\(-1\)), cabang ini tidak memiliki solusi.

Langkah 2: Menyelesaikan persamaan \(|2x \:-\: 1| = 7\)

• \(2x \:-\: 1 = 7 \implies 2x = 8 \implies x_1 = 4\)
• \(2x \:-\: 1 = -7 \implies 2x = -6 \implies x_2 = -3\)

Diperoleh solusi: \(\{-3,\ 4\}\), sehingga banyak solusi riilnya adalah 2 buah.

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan pembuat nol setiap fungsi mutlak
Titik-titik kritis adalah: \(x = -\dfrac{7}{2}\), \(x = 0\), dan \(x = 2\). Garis bilangan terbagi menjadi 4 daerah.Langkah 2: Meneliti persamaan di tiap interval

Daerah I: \(x < -\dfrac{7}{2}\)	Daerah II: \(-\dfrac{7}{2} \le x < 0\)	Daerah III: \(0 \le x < 2\)	Daerah IV: \(x \ge 2\)
\(-(x \:-\: 2) \:-\: (-5x) \:-\: (2x + 7) = 5\) \(-x + 2 + 5x \:-\: 2x \:-\: 7 = 5\) \(2x \:-\: 5 = 5\) \(2x = 10 \implies x = 5\) Karena \(5 \nless -3{,}5\), maka TM.	\(-(x \:-\: 2) \:-\: (-5x) + (2x + 7) = 5\) \(-x + 2 + 5x + 2x + 7 = 5\) \(6x + 9 = 5\) \(6x = -4 \implies x = -\dfrac{2}{3}\) Karena \(-\frac{2}{3} \in [-3{,}5;\ 0)\), maka MEMENUHI.	\(-(x \:-\: 2) \:-\: (5x) + (2x + 7) = 5\) \(-x + 2 \:-\: 5x + 2x + 7 = 5\) \(-4x + 9 = 5\) \(-4x = -4 \implies x = 1\) Karena \(1 \in [0, 2)\), maka MEMENUHI.	\((x \:-\: 2) \:-\: (5x) + (2x + 7) = 5\) \(-2x + 5 = 5\) \(-2x = 0 \implies x = 0\) Karena \(0 < 2\), maka TM.

\[ HP = \left\{-\dfrac{2}{3},\ 1\right\} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan nilai diameter maksimum (\(d_{\max}\))
\[ 2d \:-\: 23{,}9 = 0{,}15 \implies 2d = 24{,}05 \implies d_{\max} = 12{,}025\,\text{mm} \]Langkah 2: Menentukan nilai diameter minimum (\(d_{\min}\))
\[ 2d \:-\: 23{,}9 = -0{,}15 \implies 2d = 23{,}75 \implies d_{\min} = 11{,}875\,\text{mm} \]

Langkah 3: Menghitung selisih diameter
\[ d_{\max} \:-\: d_{\min} = 12{,}025 \:-\: 11{,}875 = 0{,}15\,\text{mm} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menggunakan pemisalan variabel \(y\)
Misalkan \(y = |x \:-\: 2|\) dengan syarat \(y \ge 0\).
\[ y^2 \:-\: 6y + 8 = 0 \] \[ (y \:-\: 2)(y \:-\: 4) = 0 \implies y = 2 \text{ atau } y = 4 \] Kedua nilai \(y\) memenuhi syarat non-negatif.Langkah 2: Menentukan solusi dari masing-masing nilai \(y\)

• Untuk \(|x \:-\: 2| = 2\):
  \[ x \:-\: 2 = 2 \implies x = 4 \] \[ x \:-\: 2 = -2 \implies x = 0 \]
• Untuk \(|x \:-\: 2| = 4\):
  \[ x \:-\: 2 = 4 \implies x = 6 \] \[ x \:-\: 2 = -4 \implies x = -2 \]

Himpunan penyelesaian: \(\{-2,\ 0,\ 4,\ 6\}\).

Langkah 3: Menghitung jumlah seluruh solusi
\[ \sum x = (-2) + 0 + 4 + 6 = 8 \]