Benang Lurus

Maksimalkan Potensi Anda

Benang Lurus

Topik Belajar Persamaan Nilai Mutlak

Solusi Persamaan Nilai Mutlak
Latihan Persamaan Nilai Mutlak 01

Benang Lurus

Persamaan Nilai Mutlak

Solusi Persamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan real $x$ didefinisikan sebagai berikut:

$$\bbox[5px]{|x|=\begin{cases}x & x \geq 0\\-x & x < 0\end{cases}}$$

Sifat-sifat nilai mutlak:

$|x| \geq 0$
$|x \times y| = |x| \times |y|$
$|x + y| \leq |x| + |y|$
$|-x| = |x|$
$|x \:-\: y| \geq ||x| \:-\: |y||$
$\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac {|x|}{|y|}$

Contoh Soal

Contoh 1

Hitunglah $|-5 + 1| + |2 \:-\: 3|$

Pembahasan Antiruwet

$|-5 + 1| + |2 \:-\:3|$

$|-4| + |-1|$

$4 + 1$

$5$

Contoh 2

Hitunglah $|4 + 2(-3)^2 \:-\: 30|$

Pembahasan Antiruwet

$|4 + 2(-3)^2 \:-\: 30|$

$|4 + 2(9) \:-\: 30|$

$|4 + 18 \:-\: 30|$

$|-8|$

$8$

Contoh 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x \:-\: 5| = 10$

Pembahasan Antiruwet

$|x \:-\: 5| = 10$

Kemungkinan 1

$+(x \:-\: 5) = 10$

$x = 10 + 5$

$x_1 = 15$

Kemungkinan 2

$-(x \:-\: 5) = 10$

$-x + 5 = 10$

$-x = 10 \:-\: 5$

$-x = 5$

$x_2 = -5$

Contoh 4

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x + 1| = |2x \:-\: 3|$

Pembahasan Antiruwet

$|x + 1| = |2x \:-\: 3|$

$\color{blue}\text{kuadratkan kedua ruas}$

$(x + 1)^2 = (2x \:-\: 3)^2$

$(x + 1)^2 – (2x \:-\: 3)^2 = 0$

$\color{blue}a^2\:-\: b^2 = (a + b)(a\:-\: b)$

$(x + 1 + 2x \:-\: 3)(x + 1 \:-\:(2x\:-\: 3)) = 0$

$(3x \:-\: 2)(x + 1 \:-\: 2x + 3) = 0$

$(3x \:-\:2)(4\:-\: x) = 0$

$3x \:-\: 2 = 0$

$3x = 2$

$x_1 = \dfrac{2}{3}$

$4 \:-\: x = 0 \rightarrow x_2 = 4$

Jadi solusinya adalah $x_1 = \dfrac{2}{3} \text{ dan } x_2 = 4$

Contoh 5

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|4x \:-\: 1| + |3x + 2| = 10$

Pembahasan Antiruwet

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak,

$|4x \:-\: 1|=\begin{cases}+(4x \:-\: 1) & x \geq \frac{1}{4}\\-(4x \:-\: 1) & x < \frac{1}{4}\end{cases}$

$|3x + 2|=\begin{cases}+(3x + 2) & x \geq -\frac{2}{3}\\-(3x + 2) & x < -\frac{2}{3}\end{cases}$

Buat tabel dan bagi menjadi 3 daerah

$x < -\dfrac{2}{3}$

$-\dfrac{2}{3} \leq x < \dfrac{1}{4}$

$x \geq \dfrac{1}{4}$

$-(4x \:-\:1) \:-\: (3x + 2) = 10$

$-4x + 1\:-\: 3x \:-\: 2 = 10$

$-7x \:-\: 1 = 10$

$-7x = 11$

$x = -\dfrac{11}{7}$

$-(4x \:-\: 1) + (3x + 2) = 10$

$-4x + 1 + 3x + 2 = 10$

$-x + 3 = 10$

$-x = 7$

$x = -7$

$4x\:-\: 1 + 3x + 2 = 10$

$7x + 1 = 10$

$7x = 9$

$x = \dfrac{9}{7}$

Karena $x = -\dfrac{11}{7}$ terletak di $x < -\dfrac{2}{3}$ maka $x_1 = -\dfrac{11}{7}$ merupakan solusi persamaan

Karena $x = -7$ tidak terletak di $-\dfrac{2}{3} \leq x < \dfrac{1}{4}$ maka $x = -7$ bukan solusi persamaan

Karena $x = \dfrac{9}{7}$ terletak di $x \geq \dfrac{1}{4}$ maka $x_2 = \dfrac{9}{7}$ merupakan solusi persamaan

Jadi solusi persamaannya adalah $x_1 = -\dfrac{11}{7}$ dan $x_2 = \dfrac{9}{7}$

Contoh 6

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x + 5| = 2x + 2$

Pembahasan Antiruwet

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak,

$|x + 5|=\begin{cases}+(x + 5) & x \geq -5\\-(x + 5) & x < -5\end{cases}$

Buat tabel dan bagi menjadi 2 daerah

$x < -5$

$x \geq -5$

$-(x + 5) = 2x + 2$

$-x \:-\: 5 = 2x + 2$

$-x \:-\: 2x = 2 + 5$

$-3x = 7$

$x = – \dfrac{7}{3}$

$+(x + 5) = 2x + 2$

$x \:-\: 2x = 2 \:-\: 5$

$-x = – 3$

$x = 3$

Karena $x = – \dfrac{7}{3}$ tidak terletak di $x < -5$ maka $x = – \dfrac{7}{3}$ bukan solusi persamaan

Karena $x = 3$ terletak di $x \geq -5$ maka $x = 3$ merupakan solusi persamaan

Jadi solusi persamaannya adalah $x = 3$

Contoh 7

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3|2x \:-\: 1| \:-\: 2x = 1$

Pembahasan Antiruwet

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak,

$|2x\:-\:1|=\begin{cases}+(2x\:-\:1) & x \geq \frac{1}{2}\\-(2x\:-\:1) & x < \frac{1}{2}\end{cases}$

Buat tabel dan bagi menjadi 2 daerah

$x < \frac{1}{2}$

$x \geq \frac{1}{2}$

$-3(2x \:-\:1) \:-\: 2x = 1$

$-6x + 3 \:-\: 2x = 1$

$-8x + 3 = 1$

$-8x = -2$

$x = \dfrac{-2}{-8}$

$x = \dfrac{1}{4}$

$3(2x \:-\: 1)\:-\: 2x = 1$

$6x \:-\:3 \:-\: 2x = 1$

$4x \:-\:3 = 1$

$4x = 4$

$x = 1$

Karena $x = \dfrac{1}{4}$ terletak di $x < \frac{1}{2}$ maka $x_1 = \dfrac{1}{4}$ merupakan solusi persamaan

Karena $x = 1$ terletak di $x \geq \frac{1}{2}$ maka $x_2 = 1$ merupakan solusi persamaan

Jadi solusi persamaannya adalah $x_1 = \dfrac{1}{4}$ dan $x_2 = 1$

Contoh 8

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x \:-\: 1| + |x\:-\: 2| + |x \:-\:3| = 9$

Pembahasan Antiruwet

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak,

$|x \:-\: 1|=\begin{cases}+(x \:-\: 1) & x \geq 1\\-(x \:-\: 1) & x < 1\end{cases}$

$|x \:-\: 2|=\begin{cases}+(x \:-\:2) & x \geq 2\\-(x \:-\: 2) & x < 2\end{cases}$

$|x \:-\: 3|=\begin{cases}+(x \:-\: 3) & x \geq 3\\-(x \:-\: 3) & x < 3\end{cases}$

Buat tabel dan bagi menjadi 4 daerah

$x < 3$

$3 \leq x < 2$

$2 \leq x < 1$

$x \geq 1$

$-(x \:-\: 1)\:-\:(x \:-\: 2) \:-\:(x \:-\: 3) = 9$

$-x + 1 \:-\: x + 2 \:-\: x + 3 = 9$

$-3x + 6 = 9$

$-3x = 3$

$x = \dfrac{3}{-3}$

$x = -1$

$-(x \:-\:1) \:-\:(x\:-\: 2) +(x\:-\:3) = 9$

$-x + 1 \:-\:x + 2 + x \:-\: 3 = 9$

$-x = 9$

$x = -9$

$-(x \:-\: 1) + (x \:-\: 2) +(x \:-\: 3) = 9$

$-x + 1 + x \:-\: 2 + x \:-\:3 = 9$

$x\:-\:4 = 9$

$x = 13$

$x \:-\: 1 + x\:-\:2 + x \:-\: 3 = 9$

$3x \:-\: 6 = 9$

$3x = 15$

$x = \dfrac{15}{3}$

$x = 5$

Karena $x = -1$ terletak di $x < 3$ maka $x_1 = -1$ merupakan solusi persamaan

Karena $x = -9$ tidak terletak di $3 \leq x < 2$ maka $x = -9$ bukan solusi persamaan

Karena $x = 13$ tidak terletak di $2 \leq x < 1$ maka $x = 13$ bukan solusi persamaan

Karena $x = 5$ terletak di $x \geq 1$ maka $x_2 = 5$ merupakan solusi persamaan

Jadi solusi persamaannya adalah $x = -1$ dan $x = 5$

Contoh 9

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left|\dfrac{x + 3}{x\:-\: 2}\right| = 2$

Pembahasan Antiruwet

$\left|\dfrac{x + 3}{x \:-\: 2}\right| = 2$

$\color{blue}\text{kuadratkan kedua ruas}$

$\left(\dfrac{x + 3}{x\:-\:2}\right)^2 = 2^2$

$\left(\dfrac{x + 3}{x\:-\:2}\right)^2 \:-\: 2^2 = 0$

$\color{blue} a^2 \:-\: b^2 = (a + b)(a\:-\: b)$

$\left(\dfrac{x+3}{x\:-\:2} + 2\right)\left(\dfrac{x+3}{x\:-\:2} \:-\: 2\right) = 0$

$\color{blue}\text{samakan penyebut}$

$\left(\dfrac{x+3 + 2(x\:-\:2)}{x\:-\:2}\right)\left(\dfrac{x+3-2(x\:-\:2)}{x\:-\:2}\right) = 0$

$\left(\dfrac{3x\:-\:1}{x\:-\:2}\right)\left (\dfrac{7\:-\:x}{x\:-\:2}\right) = 0$

$\dfrac{(3x\:-\:1)(7\:-\:x)}{(x\:-\:2)^2}= 0$

$3x \:-\: 1 = 0 \rightarrow x_1 = \dfrac{1}{3}$

$7\:-\: x = 0 \rightarrow x_2 = 7$

$x \:-\:2 \neq 0 \rightarrow x \neq 2$

Jadi solusi persamaannya adalah $x_1 = \dfrac{1}{3}$ dan $x_2 = 7$

Contoh 10

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left||x| \:-\: 5\right| = 2$

Pembahasan Antiruwet

$\left||x| \:-\: 5\right| = 2$

$\text{Misal } p = |x|$

$|p \:-\: 5| = 2$

$\color{blue}\text{kuadratkan kedua ruas}$

$(p \:-\: 5)^2 = 2^2$

$(p \:-\: 5)^2\:-\: 2^2 = 0$

$\color{blue} a^2 \:-\: b^2 = (a + b)(a \:-\: b)$

$(p \:-\: 5 + 2)(p \:-\: 5\:-\: 2) = 0$

$(p \:-\: 3)(p \:-\: 7) = 0$

$p \:-\: 3 = 0 \rightarrow p = 3$

$p\:-\: 7 = 0 \rightarrow p = 7$

$|x| = 3 \rightarrow x = \pm 3$

$|x| = 7 \rightarrow x = \pm 7$

Jadi solusi persamaannya adalah $x_1 = -7, x_2 = -3, x_3 = 3, \text{ dan } x_4 = 7$

Lanjut

Konsultasi Belajar ×

Chat

Sedang mengetik...

Robot Pencari

Halo! Materi belajar apa yang ingin kamu cari hari ini?