Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menghitung nilai mutlak bagian pertama
\[ |4 + 2(-3)^2 \:-\: 30| = |4 + 2(9) \:-\: 30| = |4 + 18 \:-\: 30| = |-8| = 8 \]Langkah 2: Menghitung nilai mutlak bagian kedua
\[ |-5 + 1| = |-4| = 4 \]Langkah 3: Mengurangkan kedua hasil
\[ 8 \:-\: 4 = 4 \]

Langkah Penyelesaian:

Berdasarkan definisi persamaan nilai mutlak \(|f(x)| = c\):

• Kemungkinan 1:
  \[ x \:-\: 5 = 10 \implies x = 10 + 5 = 15 \]
• Kemungkinan 2:
  \[ -(x \:-\: 5) = 10 \implies x \:-\: 5 = -10 \implies x = -10 + 5 = -5 \]

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\{-5, 15\}\).

Langkah Penyelesaian:

• Kemungkinan 1:
  \[ 2x \:-\: 7 = 9 \implies 2x = 16 \implies x = 8 \]
• Kemungkinan 2:
  \[ 2x \:-\: 7 = -9 \implies 2x = -9 + 7 = -2 \implies x = -1 \]

Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x = -1\) atau \(x = 8\).

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menguadratkan kedua ruas
\[ (x + 1)^2 = (2x \:-\: 3)^2 \] \[ (x + 1)^2 \:-\: (2x \:-\: 3)^2 = 0 \]Langkah 2: Memfaktorkan bentuk selisih kuadrat \(a^2 \:-\: b^2 = (a+b)(a-b)\)
\[ \big[(x + 1) + (2x \:-\: 3)\big] \cdot \big[(x + 1) \:-\: (2x \:-\: 3)\big] = 0 \] \[ (3x \:-\: 2) \cdot (x + 1 \:-\: 2x + 3) = 0 \] \[ (3x \:-\: 2)(4 \:-\: x) = 0 \] Diperoleh:
\[ 3x \:-\: 2 = 0 \implies x_1 = \dfrac{2}{3} \] \[ 4 \:-\: x = 0 \implies x_2 = 4 \]Langkah 3: Menjumlahkan kedua solusi
\[ x_1 + x_2 = \dfrac{2}{3} + 4 = \dfrac{2 + 12}{3} = \dfrac{14}{3} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan syarat nilai ruas kanan
Karena ruas kiri bernilai mutlak (\(\ge 0\)), maka ruas kanan wajib non-negatif:
\[ 2x + 2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1 \quad \text{— (Syarat)} \]Langkah 2: Menghitung solusi persamaan

• Kemungkinan positif:
  \[ x + 5 = 2x + 2 \implies x \:-\: 2x = 2 \:-\: 5 \implies -x = -3 \implies x = 3 \] Karena \(3 \ge -1\), maka \(x = 3\) memenuhi.
• Kemungkinan negatif:
  \[ x + 5 = -(2x + 2) \implies x + 5 = -2x \:-\: 2 \implies 3x = -7 \implies x = -\dfrac{7}{3} \] Karena \(-\frac{7}{3} \approx -2{,}33 < -1\), maka nilai ini tidak memenuhi.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\{3\}\).

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Mengubah bentuk persamaan
\[ 3|2x \:-\: 1| = 2x + 1 \] Syarat ruas kanan: \(2x + 1 \ge 0 \implies x \ge -\dfrac{1}{2}\).Langkah 2: Menentukan solusi dari dua kemungkinan

• Kemungkinan 1 (\(2x \:-\: 1 \ge 0\)):
  \[ 3(2x \:-\: 1) = 2x + 1 \implies 6x \:-\: 3 = 2x + 1 \] \[ 4x = 4 \implies x_1 = 1 \quad (\text{memenuhi}) \]
• Kemungkinan 2 (\(2x \:-\: 1 < 0\)):
  \[ 3\big(-(2x \:-\: 1)\big) = 2x + 1 \implies -6x + 3 = 2x + 1 \] \[ -8x = -2 \implies x_2 = \dfrac{1}{4} \quad (\text{memenuhi karena } \dfrac{1}{4} \ge -\dfrac{1}{2}) \]

Langkah 3: Menghitung hasil kali nilai \(x\)
\[ x_1 \cdot x_2 = 1 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan syarat penyebut pecahan
\[ x \:-\: 2 \ne 0 \implies x \ne 2 \]Langkah 2: Mengalikan silang bentuk mutlak
\[ |x + 3| = 2|x \:-\: 2| = |2x \:-\: 4| \]Langkah 3: Menguadratkan kedua ruas & memfaktorkan
\[ (x + 3)^2 \:-\: (2x \:-\: 4)^2 = 0 \] \[ \big[(x + 3) + (2x \:-\: 4)\big] \cdot \big[(x + 3) \:-\: (2x \:-\: 4)\big] = 0 \] \[ (3x \:-\: 1)(x + 3 \:-\: 2x + 4) = 0 \] \[ (3x \:-\: 1)(7 \:-\: x) = 0 \] Diperoleh:
\[ 3x \:-\: 1 = 0 \implies x_1 = \dfrac{1}{3} \] \[ 7 \:-\: x = 0 \implies x_2 = 7 \] Kedua solusi memenuhi syarat \(x \ne 2\), sehingga \(HP = \left\{\dfrac{1}{3},\ 7\right\}\).

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan titik kritis pembuat nol

• \(4x \:-\: 1 = 0 \implies x = \dfrac{1}{4}\)
• \(3x + 2 = 0 \implies x = -\dfrac{2}{3}\)

Langkah 2: Membagi garis bilangan menjadi 3 daerah interval

Daerah I: \(x < -\dfrac{2}{3}\)	Daerah II: \(-\dfrac{2}{3} \le x < \dfrac{1}{4}\)	Daerah III: \(x \ge \dfrac{1}{4}\)
\(-(4x \:-\: 1) \:-\: (3x + 2) = 10\) \(-4x + 1 \:-\: 3x \:-\: 2 = 10\) \(-7x \:-\: 1 = 10\) \(-7x = 11 \implies x = -\dfrac{11}{7}\)Karena \(-\frac{11}{7} \approx -1{,}57 < -\frac{2}{3}\), maka nilai ini MEMENUHI.	\(-(4x \:-\: 1) + (3x + 2) = 10\) \(-4x + 1 + 3x + 2 = 10\) \(-x + 3 = 10\) \(-x = 7 \implies x = -7\)Karena \(-7\) tidak berada di rentang \([-\frac{2}{3}, \frac{1}{4})\), maka nilai ini TIDAK MEMENUHI.	\((4x \:-\: 1) + (3x + 2) = 10\) \(7x + 1 = 10\) \(7x = 9 \implies x = \dfrac{9}{7}\)Karena \(\frac{9}{7} \approx 1{,}28 \ge \frac{1}{4}\), maka nilai ini MEMENUHI.

Langkah 3: Menghitung jumlah seluruh solusi
\[ x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{7} + \dfrac{9}{7} = -\dfrac{2}{7} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Melakukan pemisalan variabel baru
Misalkan \(p = |x|\) dengan syarat \(p \ge 0\). Persamaan menjadi:
\[ |p \:-\: 5| = 2 \]Langkah 2: Menyelesaikan nilai \(p\)

• \(p \:-\: 5 = 2 \implies p = 7\)
• \(p \:-\: 5 = -2 \implies p = 3\)

Kedua nilai \(p\) memenuhi syarat \(p \ge 0\).

Langkah 3: Mengembalikan nilai \(p\) ke variabel \(x\)

• Untuk \(|x| = 7 \implies x = 7\) atau \(x = -7\)
• Untuk \(|x| = 3 \implies x = 3\) atau \(x = -3\)

Diperoleh himpunan penyelesaian: \(\{-7,\ -3,\ 3,\ 7\}\).
Banyaknya bilangan bulat \(x\) yang memenuhi adalah 4 buah.

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan titik kritis pembuat nol
Titik-titik kritis adalah \(x = 1\), \(x = 2\), dan \(x = 3\). Garis bilangan terbagi menjadi 4 daerah.Langkah 2: Menguji setiap daerah interval

Daerah I: \(x < 1\)	Daerah II: \(1 \le x < 2\)	Daerah III: \(2 \le x < 3\)	Daerah IV: \(x \ge 3\)
\(-(x \:-\: 1) \:-\: (x \:-\: 2) \:-\: (x \:-\: 3) = 9\) \(-3x + 6 = 9\) \(-3x = 3\) \(x = -1\)Karena \(-1 < 1\), maka MEMENUHI.	\((x \:-\: 1) \:-\: (x \:-\: 2) \:-\: (x \:-\: 3) = 9\) \(x \:-\: 1 \:-\: x + 2 \:-\: x + 3 = 9\) \(-x + 4 = 9\) \(x = -5\)Karena \(-5 \notin [1, 2)\), maka TIDAK MEMENUHI.	\((x \:-\: 1) + (x \:-\: 2) \:-\: (x \:-\: 3) = 9\) \(x \:-\: 1 + x \:-\: 2 \:-\: x + 3 = 9\) \(x = 9\)Karena \(9 \notin [2, 3)\), maka TIDAK MEMENUHI.	\((x \:-\: 1) + (x \:-\: 2) + (x \:-\: 3) = 9\) \(3x \:-\: 6 = 9\) \(3x = 15\) \(x = 5\)Karena \(5 \ge 3\), maka MEMENUHI.

Langkah 3: Menghitung hasil kali seluruh solusi yang memenuhi
Solusi yang memenuhi adalah \(x_1 = -1\) dan \(x_2 = 5\).
\[ x_1 \cdot x_2 = (-1) \times 5 = -5 \]