Benang Lurus
Bentuk Umum Polinomial (Suku Banyak)
-
MODUL 01Bentuk Umum Polinomial (Suku Banyak)
-
MODUL 02Cara Menentukan Hasil Bagi Polinomial
-
MODUL 03Teorema Sisa
-
MODUL 04Teorema Faktor
-
MODUL 05Akar-Akar Polinomial
-
MODUL 06Bentuk Pecahan
-
MODUL 07Simulasi Horner Kino
-
MODUL 08Video Pembahasan Soal Suku Banyak Matematika SMA
-
MODUL 09Soal Latihan Polinomial 01
-
MODUL 10Soal Latihan Polinomial 02
-
MODUL 11Kuis Polinomial 01
Bentuk Umum Polinomial (Suku Banyak)
Polinomial dalam peubah \(x\) berderajat \(n\) (\(n\) bilangan cacah, \(a_n \neq 0\)) dinyatakan dalam bentuk baku:
• \(a_n, a_{n\:-\:1}, \dots, a_1\) adalah koefisien variabel.
• \(a_n\) adalah koefisien suku utama (derajat tertinggi).
• \(a_0\) adalah suku tetap (konstanta).
Identitas Dasar Pembagian Polinomial
Suatu polinomial \(f(x)\) selalu dapat diuraikan menjadi perkalian antara pembagi dan hasil bagi ditambah sisa:
Polinomial \(f(x) = 2x^3 + 5x^2 \:-\: x + 10\) jika dibagi oleh \((x \:-\: 2)\) menghasilkan hasil bagi \(h(x) = 2x^2 + 9x + 17\) dan sisa \(44\).
Dapat dituliskan:
\[
f(x) = (x \:-\: 2)(2x^2 + 9x + 17) + 44
\] Bukti Penjabaran:
\[
\begin{aligned}
f(x) &= 2x^3 + 9x^2 + 17x \:-\: 4x^2 \:-\: 18x \:-\: 34 + 44 \\
&= 2x^3 + 5x^2 \:-\: x + 10 \quad \text{(Terbukti Sesuai)}
\end{aligned}
\]
Metode
Cara Menentukan Nilai Polinomial
Terdapat dua metode praktis untuk mencari nilai \(f(k)\), yaitu Metode Substitusi Langsung dan Metode Sintetik (Horner).
1. Metode Substitusi Langsung
\[
\begin{aligned}
f(1) &= 5(1)^3 \:-\: (1)^2 \:-\: 2(1) + 4 \\
&= 5 \:-\: 1 \:-\: 2 + 4 = 6
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
g(-2) &= 2(-2)^5 + (-2)^3 \:-\: 13(-2)^2 \:-\: (-2) + 1 \\
&= 2(-32) \:-\: 8 \:-\: 13(4) + 2 + 1 \\
&= -64 \:-\: 8 \:-\: 52 + 2 + 1 = -121
\end{aligned}
\]
2. Metode Sintetik (Horner)
Nilai fungsi \(f(k)\) ditunjukkan oleh angka pada kolom paling kanan baris terakhir (sisa).
Contoh 1: Nilai \(f(x) = 5x^3 \:-\: x^2 \:-\: 2x + 4\) untuk \(x = 1\)
![\polyhornerscheme[x=1]{5x^3-x^2-2x+4}](https://benanglurus.id/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b868b10cbb0dbfcafa42e3b4d1f240dc_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Contoh 2: Nilai \(g(x) = 2x^5 + x^3 \:-\: 13x^2 \:-\: x + 1\) untuk \(x = -2\) (Suku \(x^4\) berkoefisien \(0\))
![\polyhornerscheme[x=-2]{2x^5 + x^3-13x^2-x+1}](https://benanglurus.id/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c486adeef335145de0c913ccfb107b33_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soal Latihan
Single Choice
Tingkat: Mudah
Opsi A (\(5,\; 2,\) dan \(3\))
\[
\begin{aligned}
\text{Suku utama} &= (2x^2) \cdot (x^3) = 2x^5 \\
\implies \text{Derajat suku banyak} &= 5 \\
\implies \text{Koefisien suku utama} &= 2 \\
\text{Suku tetap (konstanta)} &= (-3) \cdot (-1) = 3
\end{aligned}
\] Jadi, derajat, koefisien suku utama, dan konstanta adalah \(5,\; 2,\) dan \(3\).
Single Choice
Tingkat: Mudah
Opsi C (\(35\))
\[
\begin{aligned}
f(2) &= 3(2)^4 \:-\: 2(2)^3 + 5(2) \:-\: 7 \\
&= 3(16) \:-\: 2(8) + 10 \:-\: 7 \\
&= 48 \:-\: 16 + 10 \:-\: 7 \\
&= 35
\end{aligned}
\] Dapat juga diverifikasi menggunakan skema Horner (\(x = 2\)) dengan menyisipkan suku \(0x^2\):
![\polyhornerscheme[x=2]{3x^4 - 2x^3 + 0x^2 + 5x - 7}](https://benanglurus.id/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fbf54e24463a94a65791e37d837e0d91_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Diperoleh hasil akhir \(f(2) = 35\).
Single Choice
Tingkat: Mudah
Opsi A (\(-11\))
\[
\begin{aligned}
g(-2) &= 2(-2)^4 \:-\: 5(-2)^2 + 7(-2) \:-\: 9 \\
&= 2(16) \:-\: 5(4) \:-\: 14 \:-\: 9 \\
&= 32 \:-\: 20 \:-\: 14 \:-\: 9 \\
&= -11
\end{aligned}
\]
Single Choice
Tingkat: Sedang
Opsi B (\(-13\))
\[
\begin{aligned}
f(2) &= 2(2)^3 \:-\: p(2)^2 + 4(2) \:-\: 5 \\
11 &= 16 \:-\: 4p + 8 \:-\: 5 \\
11 &= 19 \:-\: 4p \\
4p &= 19 \:-\: 11 \implies 4p = 8 \implies p = 2
\end{aligned}
\] Maka fungsi polinomial lengkapnya adalah \(f(x) = 2x^3 \:-\: 2x^2 + 4x \:-\: 5\).Langkah 2: Hitung nilai \(f(-1)\):
\[
\begin{aligned}
f(-1) &= 2(-1)^3 \:-\: 2(-1)^2 + 4(-1) \:-\: 5 \\
&= 2(-1) \:-\: 2(1) \:-\: 4 \:-\: 5 \\
&= -2 \:-\: 2 \:-\: 4 \:-\: 5 \\
&= -13
\end{aligned}
\]
Single Choice
Tingkat: Sedang
\[
(2x \:-\: 3)(x^2 + ax + 1) \equiv 2x^3 \:-\: 7x^2 + bx \:-\: 3
\] Nilai dari \(a + b\) adalah ….
Opsi B (\(6\))
\[
\begin{aligned}
(2x \:-\: 3)(x^2 + ax + 1) &= 2x(x^2 + ax + 1) \:-\: 3(x^2 + ax + 1) \\
&= 2x^3 + 2ax^2 + 2x \:-\: 3x^2 \:-\: 3ax \:-\: 3 \\
&= 2x^3 + (2a \:-\: 3)x^2 + (2 \:-\: 3a)x \:-\: 3
\end{aligned}
\] Samakan koefisien dengan ruas kanan \(2x^3 \:-\: 7x^2 + bx \:-\: 3\):
\[
\begin{aligned}
\text{Koefisien } x^2 &: 2a \:-\: 3 = -7 \implies 2a = -4 \implies a = -2 \\
\text{Koefisien } x &: b = 2 \:-\: 3a = 2 \:-\: 3(-2) = 2 + 6 = 8
\end{aligned}
\] Maka nilai \(a + b\):
\[
\begin{aligned}
a + b &= -2 + 8 \\
&= 6
\end{aligned}
\]
Single Choice
Tingkat: Sedang
\[
\frac{7x \:-\: 2}{(x \:-\: 2)(x + 1)} \equiv \frac{A}{x \:-\: 2} + \frac{B}{x + 1}
\] maka nilai dari \(A \cdot B\) adalah ….
Opsi C (\(12\))
\[
7x \:-\: 2 = A(x + 1) + B(x \:-\: 2)
\] Gunakan metode nilai pembuat nol:
\[
\begin{aligned}
\text{Untuk } x = 2 &\implies 7(2) \:-\: 2 = A(2 + 1) + 0 \\
&\implies 12 = 3A \implies A = 4 \\[6pt] \text{Untuk } x = -1 &\implies 7(-1) \:-\: 2 = 0 + B(-1 \:-\: 2) \\
&\implies -9 = -3B \implies B = 3
\end{aligned}
\] Maka hasil perkalian \(A \cdot B\):
\[
\begin{aligned}
A \cdot B &= 4 \times 3 \\
&= 12
\end{aligned}
\]
Single Choice
Tingkat: Sedang
\[
P(x) = (x^2 \:-\: 3x + 2) \cdot H(x) + (ax + b)
\] Jika diketahui nilai \(P(1) = 5\) dan \(P(2) = 8\), maka nilai dari \(a \cdot b\) adalah ….
Opsi B (\(6\))
Substitusikan nilai pembuat nol ke dalam identitas:
\[
\begin{aligned}
P(1) &= (0) \cdot H(1) + a(1) + b \implies a + b = 5 \\
P(2) &= (0) \cdot H(2) + a(2) + b \implies 2a + b = 8
\end{aligned}
\] Eliminasi kedua persamaan:
\[
\begin{aligned}
(2a + b) \:-\: (a + b) &= 8 \:-\: 5 \\
a &= 3 \\
3 + b = 5 &\implies b = 2
\end{aligned}
\] Sehingga diperoleh:
\[
\begin{aligned}
a \cdot b &= 3 \times 2 \\
&= 6
\end{aligned}
\]
Single Choice
Tingkat: Sulit
\[
P(x) = A(x \:-\: 2)^3 + B(x \:-\: 2)^2 + C(x \:-\: 2) + D
\] Nilai dari \(A + B + C + D\) adalah ….
Opsi C (\(30\))
Perhatikan bahwa jika kita memilih nilai \(x = 3\), maka:
\[
(x \:-\: 2) = (3 \:-\: 2) = 1
\] Akibatnya persamaan ruas kanan langsung menghasilkan jumlah koefisien:
\[
\begin{aligned}
P(3) &= A(1)^3 + B(1)^2 + C(1) + D \\
&= A + B + C + D
\end{aligned}
\] Cukup hitung nilai \(P(3)\) pada bentuk awal polinomial:
\[
\begin{aligned}
P(3) &= 2(3)^3 \:-\: 4(3)^2 + 5(3) \:-\: 3 \\
&= 2(27) \:-\: 4(9) + 15 \:-\: 3 \\
&= 54 \:-\: 36 + 15 \:-\: 3 \\
&= 30
\end{aligned}
\] Jadi, \(A + B + C + D = 30\).
Single Choice
Tingkat: Sulit
\[
(x^2 \:-\: x \:-\: 1) \cdot H(x) + (ax + b) \equiv x^5 + 2
\] maka nilai dari \(a + b\) adalah ….
Opsi C (\(10\))
Gunakan relasi karakteristik akar \(x^2 \:-\: x \:-\: 1 = 0 \implies x^2 = x + 1\):
\[
\begin{aligned}
x^3 &= x \cdot x^2 = x(x + 1) = x^2 + x = (x + 1) + x = 2x + 1 \\
x^4 &= x \cdot x^3 = x(2x + 1) = 2x^2 + x = 2(x + 1) + x = 3x + 2 \\
x^5 &= x \cdot x^4 = x(3x + 2) = 3x^2 + 2x = 3(x + 1) + 2x = 5x + 3
\end{aligned}
\] Substitusikan bentuk reduksi \(x^5\) ke polinomial:
\[
\begin{aligned}
x^5 + 2 &\equiv (5x + 3) + 2 \\
&\equiv 5x + 5
\end{aligned}
\] Karena sisa pembagian identik dengan \(ax + b\):
\[
\begin{aligned}
ax + b &= 5x + 5 \implies a = 5,\; b = 5 \\
a + b &= 5 + 5 \\
&= 10
\end{aligned}
\]
Single Choice
Tingkat: Sulit
\[
P(1) = 1, \quad P(2) = 2, \quad P(3) = 3, \quad \text{dan} \quad P(4) = 16
\] Nilai dari \(P(5)\) adalah ….
Opsi D (\(53\))
Bentuk umum polinomial derajat 3 adalah \(P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (memiliki 4 variabel tak tentu). Jika menggunakan eliminasi-substitusi biasa, kita harus menyelesaikan SPL 4 variabel yang sangat panjang dan rawan keliru.
Perhatikan pola istimewa pada input dan output yang diketahui:
\[
P(1) = 1, \quad P(2) = 2, \quad P(3) = 3
\]
Artinya, untuk \(x = 1, 2, 3\), berlaku hubungan \(P(x) = x\) atau dapat dituliskan sebagai:
\[
P(x) \:-\: x = 0
\]
Oleh karena itu, kita buat fungsi baru sebagai alat bantu, yaitu \(Q(x) = P(x) \:-\: x\).
Langkah 1: Menyusun Bentuk Fungsi Bantu \(Q(x)\)
Karena \(Q(x) = P(x) \:-\: x\), maka nilai pembuat nol (akar-akar) dari \(Q(x)\) adalah:
\[
\begin{aligned}
Q(1) &= P(1) \:-\: 1 = 1 \:-\: 1 = 0 \\
Q(2) &= P(2) \:-\: 2 = 2 \:-\: 2 = 0 \\
Q(3) &= P(3) \:-\: 3 = 3 \:-\: 3 = 0
\end{aligned}
\]
Berdasarkan Teorema Faktor, karena \(x = 1, 2, 3\) menghasilkan nilai nol, maka \((x \:-\: 1)\), \((x \:-\: 2)\), dan \((x \:-\: 3)\) adalah faktor-faktor dari \(Q(x)\).
Mengingat derajat \(P(x)\) adalah 3, maka \(Q(x)\) juga berderajat 3:
\[
Q(x) = k(x \:-\: 1)(x \:-\: 2)(x \:-\: 3)
\]
Kembalikan fungsi bantu \(Q(x)\) ke fungsi asli \(P(x)\):
\[
\begin{aligned}
P(x) \:-\: x &= k(x \:-\: 1)(x \:-\: 2)(x \:-\: 3) \\
P(x) &= k(x \:-\: 1)(x \:-\: 2)(x \:-\: 3) + x
\end{aligned}
\]
(Kini persamaan hanya memiliki 1 variabel tak tentu saja, yaitu \(k\)).
Langkah 2: Menentukan Nilai Konstanta \(k\)
Gunakan data keempat yang belum terpakai, yaitu \(P(4) = 16\):
\[
\begin{aligned}
P(4) &= k(4 \:-\: 1)(4 \:-\: 2)(4 \:-\: 3) + 4 \\
16 &= k(3)(2)(1) + 4 \\
16 &= 6k + 4 \\
6k &= 16 \:-\: 4 \\
6k &= 12 \implies k = 2
\end{aligned}
\]
Dengan demikian, rumus fungsi suku banyak \(P(x)\) secara utuh adalah:
\[
P(x) = 2(x \:-\: 1)(x \:-\: 2)(x \:-\: 3) + x
\]
Langkah 3: Menghitung Nilai \(P(5)\)
Substitusikan nilai \(x = 5\) ke dalam rumus fungsi yang telah ditemukan:
\[
\begin{aligned}
P(5) &= 2(5 \:-\: 1)(5 \:-\: 2)(5 \:-\: 3) + 5 \\
&= 2(4)(3)(2) + 5 \\
&= 2(24) + 5 \\
&= 48 + 5 \\
&= 53
\end{aligned}
\]
