Langkah Penyelesaian:

Gunakan skema Horner dengan nilai pembuat nol pembagi \(x = 2\):

Penjabaran koefisien:
\[
\begin{aligned}
\text{Koefisien Hasil Bagi} &= 3,\; 2,\; 9 \implies H(x) = 3x^2 + 2x + 9 \\
\text{Sisa Pembagian } S &= 12
\end{aligned}
\]

Langkah Penyelesaian:

Akar pembuat nol dari \(2x \:-\: 1 = 0\) adalah \(x = \frac{1}{2}\).

Ingat bahwa pembagi bertipe \((ax \:-\: b)\) dengan \(a = 2\), sehingga koefisien baris Horner harus dibagi dengan \(a = 2\):
\[
\begin{aligned}
H(x) &= \frac{2x^2 \:-\: 4x + 6}{2} \\
&= x^2 \:-\: 2x + 3
\end{aligned}
\] (Sisa pembagian adalah \(-1\)).

Langkah Penyelesaian:

Karena \(f(x)\) habis dibagi \((x \:-\: 4)\), maka sisa \(f(4) = 0\):
\[
\begin{aligned}
f(4) = 4^3 \:-\: 2(4)^2 + k(4) \:-\: 8 &= 0 \\
64 \:-\: 32 + 4k \:-\: 8 &= 0 \\
24 + 4k &= 0 \implies 4k = -24 \implies k = -6
\end{aligned}
\] Lakukan pembagian Horner untuk \(f(x) = x^3 \:-\: 2x^2 \:-\: 6x \:-\: 8\) dengan \(x = 4\):

Diperoleh koefisien hasil bagi \(1, 2, 2\), sehingga:
\[
H(x) = x^2 + 2x + 2
\]

Langkah Penyelesaian:

Faktorkan pembagi: \(x^2 \:-\: x \:-\: 2 = (x \:-\: 2)(x + 1)\).
Gunakan pembagian bersusun biasa:

Berdasarkan pembagian di atas didapatkan:
\[
\begin{aligned}
\text{Hasil Bagi } H(x) &= 2x^2 \:-\: x + 8 \\
\text{Sisa } S(x) &= 2x + 23
\end{aligned}
\]

Langkah Penyelesaian:

Lakukan pembagian polinomial pembilang oleh \((2x \:-\: 1)\):

Dari pembagian bersusun di atas diperoleh:
\[
\begin{aligned}
h(x) &= 2x^5 \:-\: 2x^4 \:-\: x^3 \:-\: 4x^2 + 3x \:-\: 3 \\
r &= -1
\end{aligned}
\] Substitusikan nilai \(r = -1\) ke dalam fungsi \(h(x)\):
\[
\begin{aligned}
h(-1) &= 2(-1)^5 \:-\: 2(-1)^4 \:-\: (-1)^3 \:-\: 4(-1)^2 + 3(-1) \:-\: 3 \\
&= 2(-1) \:-\: 2(1) \:-\: (-1) \:-\: 4(1) \:-\: 3 \:-\: 3 \\
&= -2 \:-\: 2 + 1 \:-\: 4 \:-\: 3 \:-\: 3 \\
&= -13
\end{aligned}
\]

Langkah Penyelesaian:

Karena pembagi berderajat 2 dan suku banyak berderajat 3 dengan koefisien suku utama \(2\), misalkan hasil baginya berbentuk:
\[
H(x) = 2x + k
\] Gunakan algoritma pembagian:
\[
\begin{aligned}
f(x) &= (x^2 \:-\: 1) \cdot H(x) + S(x) \\
2x^3 \:-\: px^2 + qx \:-\: 2 &= (x^2 \:-\: 1)(2x + k) + (4x \:-\: 6) \\
&= (2x^3 + kx^2 \:-\: 2x \:-\: k) + (4x \:-\: 6) \\
&= 2x^3 + kx^2 + 2x + (-k \:-\: 6)
\end{aligned}
\] Samakan suku konstanta di kedua ruas:
\[
\begin{aligned}
-k \:-\: 6 &= -2 \\
-k &= 4 \implies k = -4
\end{aligned}
\] Dengan demikian, hasil bagi pembagian tersebut adalah:
\[
H(x) = 2x \:-\: 4
\]

Langkah Penyelesaian:

Pembagi adalah \(x^2 \:-\: x \:-\: 2 = (x \:-\: 2)(x + 1)\).
Karena pembagi berderajat 2, maka sisa pembagian berbentuk linier: \(S(x) = mx + n\).
Berdasarkan teorema sisa:
\[
\begin{aligned}
P(2) &= 2m + n = 6 \\
P(-1) &= -m + n = 0 \implies n = m
\end{aligned}
\] Substitusikan \(n = m\) ke persamaan pertama:
\[
\begin{aligned}
2m + m &= 6 \\
3m &= 6 \implies m = 2 \\
n &= 2
\end{aligned}
\] Maka sisa pembagian adalah:
\[
S(x) = 2x + 2
\]

Langkah Penyelesaian:

Lakukan substitusi variabel: misalkan \(u = x^5\) dan \(v = y^5\).
Bentuk pecahan berubah menjadi:
\[
\frac{(x^5)^{30} \:-\: (y^5)^{30}}{x^5 + y^5} = \frac{u^{30} \:-\: v^{30}}{u + v}
\] Ingat sifat faktorisasi selisih pangkat genap:
\[
\frac{u^n \:-\: v^n}{u + v} = u^{n-1} \:-\: u^{n-2}v + u^{n-3}v^2 \:-\: \dots \:-\: v^{n-1} \quad (\text{untuk } n \text{ genap})
\] Bentuk umum suku ke-\(k\) dengan tanda selang-seling adalah:
\[
U_k = (-1)^{k-1} \cdot u^{n \:-\: k} \cdot v^{k \:-\: 1}
\] Untuk \(n = 30\) dan suku ke-10 (\(k = 10\)):
\[
\begin{aligned}
U_{10} &= (-1)^{10 \:-\: 1} \cdot u^{30 \:-\: 10} \cdot v^{10 \:-\: 1} \\
&= (-1)^9 \cdot u^{20} \cdot v^9 \\
&= -u^{20}v^9
\end{aligned}
\] Substitusikan kembali \(u = x^5\) dan \(v = y^5\):
\[
\begin{aligned}
U_{10} &= -(x^5)^{20}(y^5)^9 \\
&= -x^{100}y^{45}
\end{aligned}
\]

Langkah Penyelesaian:

Karena \(P(x)\) habis dibagi \((x \:-\: 1)^2\), maka \(x = 1\) merupakan akar kembar berderajat dua. Akibatnya berlaku hubungan:
\[
P(1) = 0 \quad \text{dan} \quad P'(1) = 0
\] Langkah 1: Tinjau turunan pertama fungsi:
\[
\begin{aligned}
P'(x) &= 2024x^{2023} \:-\: a \\
P'(1) = 2024(1)^{2023} \:-\: a &= 0 \implies a = 2024
\end{aligned}
\] Langkah 2: Tinjau nilai fungsi pada titik pembuat nol:
\[
\begin{aligned}
P(1) = (1)^{2024} \:-\: a(1) + b &= 0 \\
1 \:-\: 2024 + b &= 0 \\
-2023 + b &= 0 \implies b = 2023
\end{aligned}
\] Langkah 3: Hitung penjumlahan \(a + b\):
\[
\begin{aligned}
a + b &= 2024 + 2023 \\
&= 4047
\end{aligned}
\]

Langkah Penyelesaian:

Berdasarkan informasi soal, bentuk identitas pembagian \(f(x)\) adalah:
\[
f(x) = (x^2 \:-\: x \:-\: 2) \cdot H(x) + (3x + 1)
\] Diketahui bahwa hasil bagi \(H(x)\) jika dibagi \((x \:-\: 3)\) bersisa \(4\). Berdasarkan teorema sisa:
\[
H(3) = 4
\] Sisa pembagian \(f(x)\) oleh \((x \:-\: 3)\) sama dengan nilai fungsi \(f(3)\). Substitusikan \(x = 3\) ke identitas pembagian:
\[
\begin{aligned}
f(3) &= (3^2 \:-\: 3 \:-\: 2) \cdot H(3) + (3(3) + 1) \\
&= (9 \:-\: 3 \:-\: 2) \cdot 4 + (9 + 1) \\
&= (4) \cdot 4 + 10 \\
&= 16 + 10 \\
&= 26
\end{aligned}
\]