Soal 01
Hitung nilai dari ekspresi berikut:
\(\dfrac{3}{10} + 3^{-1} \times \dfrac{4}{5} \:-\:2^3 \div 4\)
(A) \(-1\dfrac{4}{5}\)
(B) \(-1\dfrac{3}{10}\)
(C) \(-1\dfrac{13}{30}\)
(D) \(\dfrac{7}{15}\)
(E) \(\dfrac{1}{3}\)
Jawaban: C
\(\dfrac{3}{10} + \left(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{5}\right) \:-\:(8 \div 4)\)
\(\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{15} \:-\:2\)
Samakan penyebut,
\(\dfrac{9}{30} + \dfrac{8}{30} \:-\:\dfrac{60}{30}\)
\(-\dfrac{43}{30}\)
\(-1\dfrac{13}{30}\)
Soal 02
Budi ingin memproduksi dua jenis makanan ringan, yaitu keripik kentang dan keripik singkong, dengan modal sebesar Rp12.000.000,00. Biaya produksi keripik kentang adalah Rp25.000,00 per kemasan dengan laba 50%, sedangkan biaya produksi keripik singkong adalah Rp30.000,00 per kemasan dengan laba 40%. Kapasitas produksi Budi setiap hari maksimum 420 kemasan makanan ringan.
Jika Budi ingin memaksimalkan keuntungan, tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah!
\[
\begin{array}{ |l|c|c| }
\hline
\text{Pernyataan} & \text{Benar} & \text{Salah} \\ \hline
\text{Budi harus memproduksi 420 kemasan keripik kentang} & & \\ \hline
\text{Budi harus memproduksi keripik singkong lebih banyak daripada keripik kentang} & & \\ \hline
\text{Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Budi adalah Rp5.250.000,00} & & \\ \hline
\end{array}
\]
Jawaban: Benar, Salah, Benar
\[
\begin{array}{ |l|c|c| }
\hline
\text{Pernyataan} & \text{Benar} & \text{Salah} \\ \hline
\text{Budi harus memproduksi 420 kemasan keripik kentang} & \text{Benar} &\\ \hline
\text{Budi harus memproduksi keripik singkong lebih banyak daripada keripik kentang} & & \text{Salah}\\ \hline
\text{Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Budi adalah Rp5.250.000,00} &\text{Benar} &\\ \hline
\end{array}
\]
Langkah 1: Menentukan variabel
Misalkan \(x\) adalah jumlah kemasan keripik kentang yang diproduksi
Misalkan \(y\) adalah jumlah kemasan keripik singkong yang diproduksi
Langkah 2: Menentukan batasan
Batasan Modal:
Biaya produksi keripik kentang adalah Rp25.000,00 per kemasan, sedangkan biaya produksi keripik singkong adalah Rp30.000,00 per kemasan. Modal yang tersedia Rp12.000.000,00.
\(25.000 x + 30.000 y \leq 12.000.000\)
disederhanakan menjadi:
\(\color{blue}25x + 30y \leq 12.000\)
Batasan Produksi:
Kapasitas produksi Budi setiap hari maksimum 420 kemasan makanan ringan.
\(\color{blue}x + y \leq 420\)
Batasan non-negatif:
Jumlah kemasan makanan ringan tidak bisa negatif
\(\color{blue}x \geq 0, \: y \geq 0\)
Langkah 3: Menghitung keuntungan per kotak
Keuntungan penjualan keripik kentang per kemasan = 50% dari biaya produksi = 0,5 × 25.000 = Rp12.500,00
Keuntungan penjualan keripik singkong per kemasan = 40% dari biaya produksi = 0,4 × 30.000 = Rp12.000,00
Fungsi sasaran (keuntungan total)
\(\color{brown}\text{K} = 12.500x + 12.000y\)
Gambar Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan
\(\color{blue}25x + 30y \leq 12.000\)
\(\color{blue}x + y \leq 420\)
\(\color{blue}x \geq 0, \: y \geq 0\)
Uji titik pada fungsi sasaran
A(0, 400) ⇒ \(\color{brown}\text{K} = 12.500(0) + 12.000(400) = 4.800.000\)
B(120, 300) ⇒ \(\color{brown}\text{K} = 12.500(120) + 12.000(300) = 5.100.000\)
C(420, 0) ⇒ \(\color{brown}\text{K} = 12.500(420) + 12.000(0) = 5.250.000\)
Simpulan:
Keuntungan maksimum = Rp5.250.000,00, diperoleh dengan menjual 420 keripik kentang saja.
Soal 03
Suatu pabrik kertas dengan bahan dasar kayu \((x)\) memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin A menghasilkan bahan kertas setengah jadi \((p)\) dengan mengikuti fungsi \(p = f(x) = 2x^2\:-\:x\:-\:5\). Tahap kedua menggunakan mesin B menghasilkan kertas mengikuti fungsi \(g(p) = 3p + 2\), dengan \(x\) dan \(p\) dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 2 ton, banyak kertas yang dihasilkan adalah…
(A) 3 ton
(B) 4 ton
(C) 5 ton
(D) 6 ton
(E) 8 ton
Jawaban: C
Bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 2 ton, artinya \(x = 2\)
Bahan setengah jadi yang dihasilkan:
\(p = f(2) = 2(2)^2\:-\:2\:-\:5\)
\(p = f(2) = 1 \text{ ton}\)
Kertas yang dihasilkan:
\(g(1) = 3(1) + 2\)
\(g(1) = 5 \text{ ton}\)
Jadi, banyak kertas yang dihasilkan adalah 5 ton.
Soal 04
Jika \(f(x) = \dfrac{3x + 1}{2x \:-\:5}\), maka \(f^{-1}(1) = \dotso\)
(A) \(-6\)
(B) \(-5\)
(C) \(-1\)
(D) 0
(E) 5
Jawaban: A
\(f(x) = \dfrac{3x + 1}{2x \:-\:5}\)
\(y = \dfrac{3x + 1}{2x \:-\:5}\)
Kalikan silang,
\(y(2x\:-\:5) = 3x + 1\)
\(2xy \:-\:5y = 3x + 1\)
\(2xy \:-\:3x = 1 + 5y\)
\(x(2y\:-\:3) = 1 + 5y\)
\(x = \dfrac{1 + 5y}{2y\:-\:3}\)
\(f^{-1} (y) = \dfrac{1 + 5y}{2y\:-\:3}\)
Ganti variabel \(y\) dengan \(x\)
\(f^{-1} (x) = \dfrac{1 + 5x}{2x\:-\:3}\)
\(f^{-1} (1) = \dfrac{1 + 5(1)}{2(1)\:-\:3}\)
\(f^{-1} (1) = \dfrac{6}{-1} = -6\)
Soal 05
Daerah asal (domain) fungsi \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2\:-\:1}}\) adalah…
(A) \(\lbrace x| -1 \leq x < 1, \: x \in \text{ R} \rbrace\)
(B) \(\lbrace x| -1 < x < 2, \: x \in \text{ R} \rbrace\)
(C) \(\lbrace x| -1 \leq x < 3, \: x \in \text{ R} \rbrace\)
(D) \(\lbrace x| x<-1 \text{ atau } x > 1, \: x \in \text{ R} \rbrace\)
(E) \(\lbrace x| x \leq -1 \text{ atau } x \geq 1, \: x \in \text{ R} \rbrace\)
Jawaban:
Nilai di dalam akar haruslah lebih besar atau sama dengan nol, tetapi karena \(f\) adalah fungsi pecahan, pembilang tidak boleh sama dengan nol, domain fungsi \(f\) ditentukan dari syarat \(x^2 \:-\:1 > 0\)
\(x^2 \:-\:1^2 > 0\)
Faktorkan dengan rumus \(\color{cyan} a^2 \:-\:b^2 = (a + b)(a \:-\:b)\)
\((x + 1)(x\:-\:1) > 0\)
Gambar solusi pertidaksamaan dalam garis bilangan.
Domain = \(\lbrace x| x<-1 \text{ atau } x > 1, \: x \in \text{ R} \rbrace\)
