Jawaban: B

Untuk menyelesaikan masalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) ini, kita dapat memodelkan cerita tersebut ke dalam bentuk variabel matematika aljabar.

1. Membuat Model Matematika

Misalkan:

\( x \) = harga sebuah buku

\( y \) = harga sebuah penggaris

Dari informasi yang diberikan pada soal, kita peroleh dua persamaan linear:

Persamaan 1 (Harga 3 buku dan 2 penggaris):
\[ 3x + 2y = 18.000 \]

Persamaan 2 (Harga buku Rp1.000,00 lebih mahal dari penggaris):
\[ x = y + 1.000 \]

2. Menentukan Harga Buku dan Penggaris (Metode Substitusi)

Substitusikan nilai \( x \) dari Persamaan 2 ke dalam Persamaan 1:
\[ 3x + 2y = 18.000 \] \[ 3(y + 1.000) + 2y = 18.000 \] \[ 3y + 3.000 + 2y = 18.000 \] \[ 5y + 3.000 = 18.000 \] \[ 5y = 18.000 – 3.000 \] \[ 5y = 15.000 \implies y = 3.000 \]

Diperoleh harga sebuah penggaris (\( y \)) adalah Rp3.000,00.

Selanjutnya, tentukan harga buku (\( x \)) dengan memasukkan nilai \( y \) ke Persamaan 2:
\[ x = y + 1.000 \] \[ x = 3.000 + 1.000 = 4.000 \]

Diperoleh harga sebuah buku (\( x \)) adalah Rp4.000,00.

3. Menghitung Harga 2 Buku dan 5 Penggaris

Langkah terakhir adalah menghitung nilai dari bentuk \( 2x + 5y \):
\[ \text{Harga} = 2x + 5y \] \[ \text{Harga} = 2(4.000) + 5(3.000) \] \[ \text{Harga} = 8.000 + 15.000 = 23.000 \]

Dengan demikian, harga 2 buah buku dan 5 buah penggaris adalah Rp23.000,00.

Jawaban: B

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) yang memenuhi seluruh sistem pertidaksamaan linear, kita dapat menganalisis daerah arsiran dari masing-masing pertidaksamaan satu per satu.

1. Menganalisis Pertidaksamaan \( x + y \le 4 \)

• Garis pembatasnya adalah \( x + y = 4 \), yang melalui titik koordinat \( (0, 4) \) dan \( (4, 0) \).
• Uji kebenaran menggunakan titik selidik \( (0,0) \):
  \[ 0 + 0 \le 4 \implies 0 \le 4 \quad (\text{BENAR}) \]
• Karena pernyataan bernilai benar, maka daerah penyelesaiannya memuat titik \( (0,0) \). Ini berarti daerah arsirannya berada di bawah atau kiri garis \( x + y = 4 \).

2. Menganalisis Pertidaksamaan \( x + 3y \ge 6 \)

• Garis pembatasnya adalah \( x + 3y = 6 \), yang melalui titik koordinat \( (0, 2) \) dan \( (6, 0) \).
• Uji kebenaran menggunakan titik selidik \( (0,0) \):
  \[ 0 + 3(0) \ge 6 \implies 0 \ge 6 \quad (\text{SALAH}) \]
• Karena pernyataan bernilai salah, maka daerah penyelesaiannya tidak memuat titik \( (0,0) \). Ini berarti daerah arsirannya berada di atas atau kanan garis \( x + 3y = 6 \).

3. Menganalisis Syarat Non-Negatif \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \)

• Syarat \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \) membatasi daerah penyelesaian agar hanya berada di kuadran pertama koordinat kartesius (daerah positif).

4. Menentukan Irisan Seluruh Daerah
Jika seluruh kriteria pengarsipan di atas digabungkan, maka daerah penyelesaian yang dicari harus berada di:

(1)  Kuadran I (\( x \ge 0, y \ge 0 \)).

(2)  Di bawah/kiri garis \( x + y = 4 \).

(3)  Di atas/kanan garis \( x + 3y = 6 \).

Mari kita ambil sampel satu titik uji di dalam daerah II, misalnya titik \( (1, 2) \):

• Pertidaksamaan 1: \( 1 + 2 = 3 \le 4 \) (Memenuhi syarat)
• Pertidaksamaan 2: \( 1 + 3(2) = 7 \ge 6 \) (Memenuhi syarat)
• Syarat tambahan: \( 1 \ge 0 \) dan \( 2 \ge 0 \) (Memenuhi syarat)

Dengan demikian, daerah yang memenuhi seluruh sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II.

Jawaban: B

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan konsep dasar definisi fungsi invers atau dengan mencari rumus eksplisit fungsi inversnya terlebih dahulu.

Metode 1: Menggunakan Konsep Definisi Invers (Lebih Cepat)

Secara definisi, hubungan antara fungsi \( f(x) \) dan fungsi inversnya \( f^{-1}(x) \) adalah sebagai berikut:
\[ f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b \]

Kita ingin mencari nilai dari \( f^{-1}(3) \). Misalkan hasil nilainya adalah \( k \):
\[ f^{-1}(3) = k \iff f(k) = 3 \]

Substitusikan variabel \( k \) ke dalam fungsi \( f(x) = \sqrt{2x + 3} \):
\[ \sqrt{2k + 3} = 3 \]

Kuadratkan kedua ruas persamaan untuk menghilangkan tanda akar:
\[ 2k + 3 = 3^2 \] \[ 2k + 3 = 9 \] \[ 2k = 9 \:-\: 3 \] \[ 2k = 6 \] \[ k = 3 \]

Karena \( k = 3 \) memenuhi syarat domain asal \( x \ge -\frac{3}{2} \), maka nilai dari \( f^{-1}(3) \) adalah 3.

Metode 2: Menentukan Rumus Fungsi Invers \( f^{-1}(x) \)

Misalkan \( y = f(x) \):
\[ y = \sqrt{2x + 3} \]

Kuadratkan kedua ruas persamaan untuk mengisolasi variabel \( x \):
\[ y^2 = 2x + 3 \] \[ 2x = y^2 \:-\: 3 \] \[ x = \dfrac{y^2 \:-\: 3}{2} \]

Ganti kembali variabel \( x \) menjadi \( f^{-1}(x) \) dan variabel \( y \) menjadi \( x \):
\[ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 \:-\: 3}{2} \]

Langkah terakhir, hitung nilai \( f^{-1}(3) \) menggunakan rumus di atas:
\[ f^{-1}(3) = \dfrac{3^2 \:-\: 3}{2} \] \[ f^{-1}(3) = \dfrac{9 \:-\: 3}{2} \] \[ f^{-1}(3) = \dfrac{6}{2} = 3 \]

Dengan demikian, nilai dari \( f^{-1}(3) \) adalah 3.

Jawaban: C

Untuk menentukan nilai dari \( f(2) \), kita dapat menggunakan metode substitusi langsung yang lebih praktis, atau dengan mencari rumus umum fungsi \( f(x) \) terlebih dahulu.

Metode 1: Menggunakan Konsep Substitusi Langsung (Lebih Praktis)

Secara definisi, fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \) dinyatakan sebagai:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^3 \:-\: 4x \]

Kita ingin mencari nilai dari \( f(2) \). Ini berarti kita perlu membuat nilai di dalam fungsi \( f \) sama dengan 2:
\[ g(x) = 2 \]

Substitusikan rumus \( g(x) = x \:-\: 1 \) ke dalam persamaan tersebut:
\[ x \:-\: 1 = 2 \implies x = 3 \]

Karena nilai \( x \) yang menghasilkan \( g(x) = 2 \) adalah \( x = 3 \), sekarang kita substitusikan \( x = 3 \) ke dalam persamaan komposisi \( f(g(x)) = x^3 \:-\: 4x \):
\[ f(g(3)) = 3^3 \:-\: 4(3) \] \[ f(3 \:-\: 1) = 27 \:-\: 12 \] \[ f(2) = 15 \]

Dengan demikian, nilai dari \( f(2) \) adalah 15.

Metode 2: Menentukan Rumus Fungsi \( f(x) \) Terlebih Dahulu

Diketahui persamaan komposisi:
\[ f(g(x)) = x^3 \:-\: 4x \] \[ f(x \:-\: 1) = x^3 \:-\: 4x \]

Misalkan \( u = x\:-\: 1 \). Maka kita peroleh hubungan variabel:
\[ x = u + 1 \]

Substitusikan nilai \( x = u + 1 \) ke dalam persamaan untuk mendapatkan rumus umum \( f(u) \):
\[ f(u) = (u + 1)^3 \:-\: 4(u + 1) \]

Sekarang, hitung nilai \( f(2) \) dengan memasukkan \( u = 2 \):
\[ f(2) = (2 + 1)^3 \:-\: 4(2 + 1) \] \[ f(2) = 3^3 \:-\: 4(3) \] \[ f(2) = 27 \:-\: 12 = 15 \]

Kedua metode memberikan hasil konsisten yang sama, yaitu nilai \( f(2) \) adalah 15.

Jawaban: C

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menelusuri perkembangan jumlah bakteri langkah demi langkah berdasarkan interval waktu pembelahan diri (setiap \( 0,5 \) hari) dan waktu kematian (setiap \( 2 \) hari).

1. Kondisi Awal (\( t = 0 \) hari)
Jumlah bakteri mula-mula adalah:
\[ N_0 = 2 \text{ bakteri} \]

2. Perkembangan Bakteri pada Hari Pertama (\( t = 1 \) hari)
Bakteri membelah menjadi dua setiap \( 0,5 \) hari. Dalam waktu 1 hari, terjadi pembelahan sebanyak 2 kali:
\[ N_1 = N_0 \times 2^2 \] \[ N_1 = 2 \times 4 = 8 \text{ bakteri} \]

3. Perkembangan Bakteri pada Hari Kedua (\( t = 2 \) hari)

Sebelum fase kematian:
Dari hari ke-1 ke hari ke-2 (selang waktu 1 hari), bakteri membelah lagi sebanyak 2 kali:
\[ N_{2,\text{sebelum}} = 8 \times 2^2 = 32 \text{ bakteri} \]

Fase kematian (setiap 2 hari):
Setelah tepat 2 hari, \( \frac{1}{4} \) bagian dari jumlah bakteri mati, sehingga bagian yang bertahan hidup adalah \( 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) bagian:
\[ N_2 = N_{2,\text{sebelum}} \times \frac{3}{4} \] \[ N_2 = 32 \times \frac{3}{4} = 24 \text{ bakteri} \]

4. Perkembangan Bakteri pada Hari Ketiga (\( t = 3 \) hari)
Dari hari ke-2 ke hari ke-3 (selang waktu 1 hari), sisa bakteri yang bertahan hidup (\( 24 \) bakteri) membelah lagi sebanyak 2 kali:
\[ N_3 = N_2 \times 2^2 \] \[ N_3 = 24 \times 4 = 96 \text{ bakteri} \]

Dengan demikian, banyaknya bakteri setelah tiga hari adalah 96 bakteri.

Jawaban: A

Soal ini merupakan masalah aplikasi turunan (diferensial) untuk menentukan nilai maksimum (optimasi) dari volume kotak.

1. Menentukan Dimensi Ukuran Kotak Tanpa Tutup

Setelah empat persegi berukuran \( x \times x \) di setiap pojok karton digunting dan bagian sisinya dilipat ke atas, maka terbentuk sebuah balok tanpa tutup dengan dimensi ukuran sebagai berikut:

Panjang (\( p \)): \( 30 \:-\: 2x \)

Lebar (\( l \)): \( 30 \:-\: 2x \)

Tinggi (\( t \)): \( x \)

Batasan nilai \( x \) secara logis harus bernilai positif dan tidak melebihi setengah dari panjang sisi karton:
\[ 0 < x < 15 \]

2. Menyusun Model Fungsi Volume Kotak (\( V(x) \))

\[ V(x) = p \times l \times t \] \[ V(x) = (30 \:-\: 2x)(30 \:-\: 2x)(x) \] \[ V(x) = (30 \:-\: 2x)^2 \cdot x \] \[ V(x) = (900 \:-\: 120x + 4x^2)x \] \[ V(x) = 4x^3 \:-\: 120x^2 + 900x \]

3. Menentukan Nilai \( x \) agar Volume Maksimum (\( V'(x) = 0 \))

Syarat agar volume kotak mencapai nilai stasioner (maksimum) adalah turunan pertama dari fungsi volume bernilai nol:
\[ V'(x) = 0 \] \[ 12x^2 \:-\: 240x + 900 = 0 \]

Bagi seluruh ruas persamaan dengan \( 12 \) untuk menyederhanakan bentuk kuadratnya:
\[ x^2\:-\: 20x + 75 = 0 \]

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai stasioner \( x \):
\[ (x \:-\: 15)(x \:-\: 5) = 0 \]

Sehingga diperoleh dua kemungkinan nilai \( x \):

\( x = 15 \) (tidak memenuhi syarat batas \( 0 < x < 15 \), karena jika \( x = 15 \) maka panjang dan lebar kotak menjadi \( 0\text{ cm} \)).

\( x = 5 \) (memenuhi syarat batas).

4. Menghitung Volume Kotak Terbesar

Substitusikan nilai stasioner \( x = 5 \) ke dalam persamaan fungsi volume kotak:
\[ V(5) = (30 \:-\: 2(5))^2 \cdot 5 \] \[ V(5) = (30 \:-\: 10)^2 \cdot 5 \] \[ V(5) = (20)^2 \cdot 5 \] \[ V(5) = 400 \times 5 = 2.000\text{ cm}^3 \]

Dengan demikian, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah \( 2.000\text{ cm}^3 \).

Jawaban: D

Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri lain jika salah satu nilai fungsi diketahui, kita dapat menganalisis kuadran letak sudut tersebut dan menerapkan identitas dasar trigonometri atau menggunakan perbandingan segitiga siku-suku.

Langkah 1: Menentukan Kuadran Sudut

Pada soal, diketahui bahwa \( A \) adalah sudut tumpul. Artinya, sudut \( A \) terletak pada Kuadrat II (\( 90^\circ < A < 180^\circ \)).
Pada Kuadran II:

Nilai sinus bernilai positif (\( \sin A > 0 \)).

Nilai kosinus bernilai negatif (\( \cos A < 0 \)).

Oleh karena itu, hasil akhir nilai \( \cos A \) dipastikan memiliki tanda negatif.

Langkah 2: Menghitung Nilai \( \cos A \) Menggunakan Identitas Trigonometri

Kita gunakan rumus identitas trigonometri dasar:
\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

Pindahkan suku \( \sin^2 A \) ke ruas kanan:
\[ \cos^2 A = 1\:-\: \sin^2 A \]

Akarkan kedua ruas dengan memperhatikan syarat tanda negatif pada Kuadran II:
\[ \cos A = -\sqrt{1\:-\: \sin^2 A} \]

Substitusikan nilai \( \sin A = \frac{1}{a} \) ke dalam persamaan:
\[ \cos A = -\sqrt{1 \:-\: \left(\frac{1}{a}\right)^2} \] \[ \cos A = -\sqrt{1 \:-\: \frac{1}{a^2}} \]

Samakan penyebut di bawah tanda akar:
\[ \cos A = -\sqrt{\frac{a^2 \:-\:1}{a^2}} \] \[ \cos A = -\frac{\sqrt{a^2 \:-\: 1}}{a} \]

Dengan demikian, nilai dari \( \cos A \) adalah \( -\frac{\sqrt{a^2 \:-\: 1}}{a} \).

Jawaban: E

Untuk menentukan bulan dengan peningkatan produksi tertinggi, kita perlu mencari selisih positif antara produksi suatu bulan dengan bulan sebelumnya (\( \Delta = \text{Bulan ini} \:-\: \text{Bulan sebelumnya} \)).

1. Mendaftar Jumlah Produksi Pakaian Setiap Bulan

Berdasarkan diagram batang di atas, data produksi pakaian selama tahun 2020 adalah:

Januari: \( 122 \)

Februari: \( 136 \)

Maret: \( 112 \)

April: \( 151 \)

Mei: \( 18 \)

Juni: \( 81 \)

Juli: \( 133 \)

Agustus: \( 150 \)

September: \( 166 \)

Oktober: \( 87 \)

November: \( 153 \)

Desember: \( 131 \)

2. Menghitung Nilai Peningkatan Produksi (Hanya pada Bulan yang Mengalami Kenaikan)

Mari kita hitung besarnya peningkatan produksi pakaian untuk bulan-bulan yang mengalami kenaikan dibanding bulan sebelumnya:

Februari: \( 136 – 122 = 14 \)

April: \( 151 – 112 = 39 \)

Juni: \( 81 – 18 = 63 \)

Juli: \( 133 – 81 = 52 \)

Agustus: \( 150 – 133 = 17 \)

September: \( 166 – 150 = 16 \)

November: \( 153 – 87 = 66 \)

(Catatan: Bulan Maret, Mei, Oktober, dan Desember tidak dihitung karena mengalami penurunan produksi).

3. Menentukan Peningkatan Tertinggi

Bandingkan seluruh nilai kenaikan produksi di atas:
\[ 66 > 63 > 52 > 39 > 17 > 16 > 14 \]

Nilai peningkatan terbesar adalah sebesar \( 66 \) yang terjadi pada bulan November (meningkat dari \( 87 \) pakaian di bulan Oktober menjadi \( 153 \) pakaian di bulan November).