Jawaban: B

Selesaikan operasi hitung berdasarkan urutan operasi aritmetika (perkalian dan pembagian dikerjakan terlebih dahulu sebelum penjumlahan dan pengurangan). Gunakan sifat eksponen negatif \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\).

Langkah 1: Ubah bentuk bilangan berpangkat dan kelompokkan operasi perkalian serta pembagian.

\[
\dfrac{3}{10} + \left( \dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} \right) \:-\: \left( 25 \div 5 \right)
\]

Langkah 2: Hitung hasil operasi dalam kurung.

\[
\dfrac{3}{10} + \dfrac{6}{15} \:-\: 5
\]

Langkah 3: Sederhanakan pecahan \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\), lalu samakan semua penyebut menjadi \(10\).

\[
\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} \:-\: \dfrac{50}{10}
\]

Langkah 4: Lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pembilang.

\[
\dfrac{3 + 4\:-\:50}{10} = -\dfrac{43}{10}
\]

Langkah 5: Nyatakan ke dalam bentuk pecahan campuran.

\[
-\dfrac{43}{10} = -4 \dfrac{3}{10}
\]

Jawaban: C

Untuk menyederhanakan pecahan aljabar eksponensial, faktorkan pembilang dengan mengeluarkan faktor persekutuan dengan pangkat terkecil, kemudian gunakan sifat pembagian eksponen \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m\:-\:n}\).

Langkah 1: Faktorkan pembilang dengan mengeluarkan \(3^{40}\).

\[
\dfrac{3^{42} \:-\:3^{40}}{3^{39}} = \dfrac{3^{40}\left(3^2\:-\: 1\right)}{3^{39}}
\]

Langkah 2: Hitung nilai di dalam kurung.

\[
= \dfrac{3^{40}(9 \:-\: 1)}{3^{39}} = \dfrac{3^{40} \times 8}{3^{39}}
\]

Langkah 3: Sederhanakan bentuk basis \(3\).

\[
= 3^{40\:-\: 39} \times 8 = 3^1 \times 8 = 24
\]

Pernyataan yang benar: (1) dan (3)

Substitusikan penyelesaian \((x, y) = (4, -1)\) ke dalam masing-masing persamaan untuk menentukan nilai parameter \(a\) dan \(b\).

Langkah 1: Menentukan nilai \(b\)
Substitusikan ke persamaan kedua:

\[
5(4) \:-\: b(-1) = 16 \implies 20 + b = 16 \implies b = 16 \:-\: 20 = -4
\]

Karena \(b = -4\), maka \(b\) bernilai negatif. (Pernyataan (2) SALAH)

Langkah 2: Menentukan nilai \(a\)
Substitusikan nilai \(x = 4\), \(y = -1\), dan \(b = -4\) ke persamaan pertama:

\[
a(4) + (-4)(-1) = 12 \implies 4a + 4 = 12 \implies 4a = 8 \implies a = 2
\]

Nilai \(a = 2\). (Pernyataan (1) BENAR)

Langkah 3: Menguji Pernyataan (3)
Substitusikan \(a = 2\) dan \(b = -4\) ke persamaan garis semula:

\[
\text{Garis 1: } 2x + (-4)y = 12 \iff 2x \:-\:4y = 12
\] \[
\text{Garis 2: } 5x \:-\: (-4)y = 16 \iff 5x + 4y = 16
\]

Karena \((4, -1)\) adalah solusi dari sistem persamaan tersebut, maka titik \((4, -1)\) secara tepat merupakan titik potong kedua garis. (Pernyataan (3) BENAR)

Langkah 4: Menguji Pernyataan (4)

\[
a + b = 2 + (-4) = -2 \neq 2
\]

(Pernyataan (4) SALAH)

Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).

Jawaban: C

Tentukan persamaan setiap garis pembatas dengan rumus garis yang memotong sumbu koordinat di \((0, b)\) dan \((a, 0)\), yaitu \(bx + ay = ab\):

1. Garis melalui titik \((3,0)\) dan \((0,3)\):

\[
3x + 3y = 9 \iff x + y = 3
\]

Ambil titik uji di dalam daerah arsiran, misalnya \((2, 2)\):

\[
2 + 2 = 4 \ge 3 \quad (\text{Memenuhi}) \implies x + y \ge 3
\]

2. Garis melalui titik \((2,0)\) dan \((0,-4)\):

\[
-4x + 2y = -8 \iff -2x + y = -4
\]

Uji titik \((2, 2)\):

\[
-2(2) + 2 = -2 \ge -4 \quad (\text{Memenuhi}) \implies -2x + y \ge -4
\]

3. Garis melalui titik \((-4,0)\) dan \((0,2)\):

\[
2x \:-\:4y = -8 \iff x \:-\:2y = -4
\]

Uji titik \((2, 2)\):

\[
2 \:-\: 2(2) = -2 \ge -4 \quad (\text{Memenuhi}) \implies x \:-\: 2y \ge -4
\]

Karena seluruh daerah berada di kuadran I, terdapat syarat non-negatif tambahan yaitu \(x \ge 0\) dan \(y \ge 0\).

Jadi, sistem pertidaksamaan yang tepat adalah:

\[
x + y \ge 3, \quad -2x + y \ge -4, \quad x \:-\:2y \ge -4, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0
\]

Model Matematika:
Misalkan:
\(x = \) kuantitas apel (kg)
\(y = \) kuantitas jeruk (kg)

Kendala:

(1)  Kapasitas gerobak: \(x + y \le 120\)

(2)  Modal: \(15.000x + 10.000y \le 1.400.000 \iff 3x + 2y \le 280\)

(3)  Syarat non-negatif: \(x \ge 0, \ y \ge 0\)

Fungsi Objektif (Keuntungan Maksimum):

\[
\text{Untung Apel} = 19.000 \:-\: 15.000 = 4.000
\] \[
\text{Untung Jeruk} = 13.000 \:-\: 10.000 = 3.000
\] \[
f(x, y) = 4.000x + 3.000y
\]

Langkah 1: Menentukan Titik Potong Garis Kendala
Eliminasi persamaan \(3x + 2y = 280\) dan \(x + y = 120\):

\[
\begin{aligned}
3x + 2y &= 280 \\
2x + 2y &= 240 \quad (\times 2) \\
\hline
x &= 40
\end{aligned}
\]

Substitusi ke \(x + y = 120 \implies 40 + y = 120 \implies y = 80\).
Titik potong: \((40, 80)\).

Langkah 2: Uji Titik-Titik Pojok Daerah Penyelesaian

• Titik \(A(0, 120)\):
  \(f(0, 120) = 4.000(0) + 3.000(120) = \text{Rp360.000,00}\)
• Titik \(B(40, 80)\):
  \(f(40, 80) = 4.000(40) + 3.000(80) = 160.000 + 240.000 = \mathbf{\text{Rp400.000,00}} \quad (\text{Maksimum})\)
• Titik \(C\left(\frac{280}{3}, 0\right) \approx (93,33; 0)\):
  Untuk barang utuh (\(x = 93\)): \(f(93, 0) = 4.000(93) + 0 = \text{Rp372.000,00}\)

Analisis Pernyataan:

Pernyataan 1: Dani harus membeli \(40\text{ kg}\) apel dan \(80\text{ kg}\) jeruk untuk keuntungan maksimum. (BENAR)

Pernyataan 2: Keuntungan maksimum lebih dari \(\text{Rp410.000,00}\). Salah, keuntungan maksimal adalah \(\text{Rp400.000,00}\). (SALAH)

Pernyataan 3: Keuntungan maksimum diperoleh jika hanya menjual apel. Salah, hanya menghasilkan \(\text{Rp372.000,00}\). (SALAH)

Jawaban: C

Daerah hasil (range) dari fungsi rasional linier pecahan dapat ditentukan melalui asimtot datar atau dengan mencari invers fungsinya.

Misalkan \(y = f(x)\):

\[
y = \dfrac{3x \:-\: 5}{2x + 4}
\]

Nyatakan variabel \(x\) dalam \(y\):

\[
y(2x + 4) = 3x \:-\: 5
\] \[
2xy + 4y = 3x \:-\: 5
\] \[
2xy \:-\: 3x = -4y \:-\: 5
\] \[
x(2y \:-\: 3) = -(4y + 5)
\] \[
x = \dfrac{-(4y + 5)}{2y \:-\: 3}
\]

Agar nilai \(x\) terdefinisi sebagai bilangan real, penyebut tidak boleh sama dengan nol:

\[
2y – 3 \neq 0 \implies 2y \neq 3 \implies y \neq \dfrac{3}{2}
\]

Dengan demikian, daerah hasil fungsi adalah seluruh bilangan real kecuali \(y = \dfrac{3}{2}\).

Menentukan Rumus Fungsi \(f(x)\):
Misalkan \(t = x + 3 \iff x = t \:-\: 3\). Substitusikan ke dalam persamaan:

\[
f(t) = 2(t \:-\: 3) \:-\: 1 = 2t \:-\: 6 \:-\: 1 = 2t \:-\: 7
\]

Diperoleh rumus fungsi: \(f(x) = 2x \:-\: 7\).

Analisis Setiap Pernyataan:

Pernyataan 1: \(f(x)\) merupakan fungsi konstan.
Fungsi konstan berbentuk \(f(x) = c\). Karena \(f(x) = 2x \:-\: 7\) memiliki kemiringan (gradien) \(m = 2 \neq 0\), maka \(f(x)\) adalah fungsi linier, bukan konstan. (SALAH)

Pernyataan 2: \(f(4) = 1\).
Substitusikan \(x = 4\):

\[
f(4) = 2(4) \:-\: 7 = 8 – 7 = 1
\]

Pernyataan ini (BENAR).

3. Pernyataan 3: \(f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\).
Tentukan fungsi invers dari \(y = 2x \:-\: 7\):

\[
y + 7 = 2x \implies x = \dfrac{y + 7}{2} = \dfrac{1}{2}y + \dfrac{7}{2}
\] \[
\therefore f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}
\]

Pernyataan ini (BENAR).

Pengujian Pernyataan:

Pernyataan (1): Menentukan \((f \circ g)(x)\)

\[
\begin{aligned}
(f \circ g)(x) &= f(g(x)) = f(x \:-\: 1) \\
&= (x \:-\: 1)^2 + 2(x \:-\: 1) – 3 \\
&= (x^2 – 2x + 1) + 2x \:-\: 2 \:-\: 3 \\
&= x^2 \:-\:4 \quad \mathbf{(BENAR)}
\end{aligned}
\]

Pernyataan (2): Menghitung \((f \circ g)(3)\)

\[
(f \circ g)(3) = 3^2 \:-\: 4 = 9 \:-\: 4 = 5 \neq 8 \quad \mathbf{(SALAH)}
\]

Pernyataan (3): Menentukan \((g \circ f)(x)\)

\[
\begin{aligned}
(g \circ f)(x) &= g(f(x)) = g(x^2 + 2x \:-\:3) \\
&= (x^2 + 2x \:-\: 3) \:-\: 1 \\
&= x^2 + 2x \:-\: 4 \quad \mathbf{(BENAR)}
\end{aligned}
\]

Pernyataan (4): Menghitung \((g \circ f)(-2)\)

\[
(g \circ f)(-2) = (-2)^2 + 2(-2) – 4 = 4 \:-\: 4 \:-\: 4 = -4 \quad \mathbf{(BENAR)}
\]

Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (1), (3), dan (4).

Diketahui rumus suku ke-\(n\): \(U_n = 15 + 4n\).

Pernyataan 1: Banyak mawar hari pertama adalah 15 tangkai.
Hitung suku pertama (\(n = 1\)):

\[
U_1 = 15 + 4(1) = 19 \text{ tangkai} \neq 15
\]

Pernyataan ini (SALAH).

Pernyataan 2: Jumlah 10 hari pertama adalah 370 tangkai.
Hitung suku ke-10 (\(U_{10}\)):

\[
U_{10} = 15 + 4(10) = 55
\]

Gunakan rumus jumlah deret aritmetika \(S_n = \frac{n}{2}(U_1 + U_n)\):

\[
S_{10} = \frac{10}{2}(19 + 55) = 5(74) = 370 \text{ tangkai}
\]

Pernyataan ini (BENAR).

3. Pernyataan 3: Beda / selisih setiap hari adalah 4 tangkai.
Beda deret aritmetika dinyatakan oleh turunan pertama dari bentuk linier \(U_n\) terhadap \(n\):

\[
b = U_n \:-\: U_{n \:-\:1} = 4
\]

Pernyataan ini (BENAR).

Jawaban: A

Peluruhan eksponensial radioaktif dirumuskan dengan:

\[
M_t = M_0(1 \:-\: r)^t
\]

Diketahui:

Massa awal (\(M_0\)) = \(500\text{ gram}\)

Laju peluruhan (\(r\)) = \(20\% = 0,2\)

Lama waktu (\(t\)) = \(3\text{ tahun}\)

Faktor sisa massa setiap tahun adalah \(1 \:-\: 0,2 = 0,8\). Maka diperoleh:

\[
\begin{aligned}
M_3 &= 500 \times (0,8)^3 \\
&= 500 \times 0,512 \\
&= 256\text{ gram}
\end{aligned}
\]

Jawaban: B

1. Menghitung Total Bunga Tunggal (4 tahun):

\[
\begin{aligned}
B &= M_0 \times i \times t \\
&= 8.000.000 \times 5\% \times 4 \\
&= 8.000.000 \times 0,20 = \text{Rp1.600.000,00}
\end{aligned}
\]

2. Menghitung Total Biaya Administrasi (4 tahun):

\[
\text{Adm} = 4 \times \text{Rp20.000,00} = \text{Rp80.000,00}
\]

3. Menghitung Uang Akhir yang Diterima:

\[
\begin{aligned}
M_{\text{akhir}} &= M_0 + B – \text{Adm} \\
&= 8.000.000 + 1.600.000 – 80.000 \\
&= \text{Rp9.520.000,00}
\end{aligned}
\]

Jawaban: D

Analisis Geometri Gambar:

(1)  Ruas \(OQ = OR = OP\) adalah jari-jari lingkaran.

(2)  \(\triangle QOR\) sama kaki (\(OQ = OR\)), sehingga \(\angle OQR = \angle ORQ\).

(3)  Karena garis singgung \(PT \perp PQ\), maka \(\triangle QPT\) adalah segitiga siku-siku di \(P\).

(4)  Titik \(Q, R, T\) terletak segaris, sehingga \(\angle PQT = \angle OQR = \angle ORQ\).

(5)  Pada \(\triangle QPT\):
\[
\angle PTQ = 90^\circ \:-\: \angle PQT = 90^\circ \:-\: \angle ORQ
\]

(6)  Pertanyaan “\(\angle ORQ = \angle PTQ\)” ekuivalen dengan:
\[
\angle ORQ = 90^\circ \:-\: \angle ORQ \iff 2\angle ORQ = 90^\circ \iff \angle ORQ = 45^\circ
\]

Uji Pernyataan (1): \(\angle POR = 90^\circ\)

\[
\angle QOR = 180^\circ \:-\: 90^\circ = 90^\circ
\] \[
\angle ORQ = \frac{180^\circ \:-\: 90^\circ}{2} = 45^\circ
\]

Karena didapat nilai pasti \(\angle ORQ = 45^\circ\), maka kita dapat menjawab pertanyaan dengan “YA”.

(Pernyataan (1) SAJA CUKUP)

Uji Pernyataan (2): \(\angle PRO = 45^\circ\)
Karena \(OP = OR\), maka \(\triangle POR\) sama kaki dengan \(\angle OPR = \angle PRO = 45^\circ\):

\[
\angle POR = 180^\circ \:-\: (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ
\]

Dengan cara yang sama seperti pernyataan (1), diperoleh \(\angle ORQ = 45^\circ\).

(Pernyataan (2) SAJA CUKUP)

Jawaban: B

Langkah 1: Menentukan Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku
Karena \(\triangle PQR\) adalah segitiga siku-siku sama kaki di \(Q\):

\[
PQ = QR = 8\text{ cm}
\] \[
PR = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}
\]

Langkah 2: Sifat Garis Bagi dan Kekongruenan
Tarik garis tinggi \(ST \perp PR\). Segitiga siku-siku \(\triangle SQR\) dan \(\triangle STR\) kongruen (panjang hipotenusa \(RS\) berimpit dan \(\angle QRS = \angle TRS\)). Oleh karena itu:

\[
SQ = ST \quad \text{dan} \quad TR = QR = 8\text{ cm}
\]

Langkah 3: Menentukan Panjang Ruas \(PT\) dan \(SQ\)

\[
PT = PR \:-\: TR = 8\sqrt{2} \:-\: 8
\]

Pada \(\triangle PST\) siku-siku di \(T\), karena \(\angle P = 45^\circ\), maka segitiga tersebut siku-siku sama kaki:

\[
ST = PT = 8\sqrt{2} – 8
\]

Karena \(SQ = ST\), maka panjang \(SQ\) adalah:

\[
SQ = 8\sqrt{2} \:-\: 8\text{ cm}
\]

Jawaban: C

Gunakan rumus cepat garis sejajar pada trapesium:

\[
TU = \frac{(RU \times PQ) + (UQ \times SR)}{RU + UQ}
\]

Diketahui perbandingan \(RU : UQ = 1 : 2\). Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:

\[
\begin{aligned}
TU &= \frac{(1 \times 15) + (2 \times 6)}{1 + 2} \\
&= \frac{15 + 12}{3} \\
&= \frac{27}{3} = 9\text{ cm}
\end{aligned}
\]

Jawaban: A

Pada \(\triangle PQR\) yang siku-siku di \(R\), garis tinggi \(RS\) ke sisi miring \(PQ\) memenuhi rumus kesebangunan luas:

\[
RS = \dfrac{PR \times QR}{PQ}
\]

Uji Pernyataan (1): \(PQ = 10\)
Gunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan \(QR\):

\[
QR = \sqrt{PQ^2 \:-\:PR^2} = \sqrt{10^2 \:-\: 6^2} = \sqrt{64} = 8
\]

Maka panjang garis tinggi \(RS\) dapat dihitung secara unik:

\[
RS = \dfrac{6 \times 8}{10} = 4,8
\]

(Pernyataan (1) SAJA CUKUP)

Uji Pernyataan (2): \(QR > 6\)
Pernyataan ini berupa pertidaksamaan interval terbuka, sehingga nilai \(QR\) tidak tunggal. Nilai \(PQ\) maupun \(RS\) tidak dapat ditentukan secara pasti.

(Pernyataan (2) SAJA TIDAK CUKUP)

Kesimpulan: Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Jawaban: B

Tahap 1: Translasi oleh \(T = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\)

\[
\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

Sehingga bayangan pertama adalah \(A'(2, 4)\).

Tahap 2: Rotasi \([O, +90^\circ]\)
Rumus transformasi rotasi \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam berpusat di \((0, 0)\):

\[
(x’, y’) \xrightarrow{R[O, 90^\circ]} (-y’, x’)
\]

Substitusikan titik \(A'(2, 4)\):

\[
A”(x”, y”) = (-4, 2)
\]

Jadi, koordinat bayangan akhir dari titik \(A\) adalah \((-4, 2)\).