Kunci Jawaban: D

Langkah 1: Menyederhanakan perkalian pecahan

\[
\dfrac{4}{5} \times \dfrac{25}{16} = \dfrac{4}{16} \times \dfrac{25}{5} = \dfrac{1}{4} \times 5 = \dfrac{5}{4}
\]

Langkah 2: Menghitung nilai pemangkatan

\[
\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}
\]

Langkah 3: Melakukan operasi pembagian

\[
\dfrac{5}{4} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{4}{1} = 5
\]

Kunci Jawaban: A

Metode Aljabar (Selisih Kuadrat):

Misalkan \(n = 2024\), maka:

\(2025 = n + 1\)

\(2023 = n \:-\: 1\)

Substitusikan ke dalam bentuk aljabar:

\[
\begin{aligned}
(n + 1)(n \:-\: 1) \:-\: n^2 + 1 &= (n^2\:-\: 1)\:-\: n^2 + 1 \\
&= n^2\:-\: n^2\:-\: 1 + 1 \\
&= 0
\end{aligned}
\]

Kunci Jawaban: A

Konsep:

Sistem persamaan linear dua variabel memiliki tak hingga banyak solusi (garis saling berhimpit) jika rasio koefisien-koefisien dan konstantanya setara:

\[
\dfrac{a}{a_1} = \dfrac{b}{b_1} = \dfrac{c_2}{c_1} \implies \dfrac{a}{-1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{10}{-5}
\]

Langkah 1: Menghitung nilai \(a\) dan \(b\)

\[
\frac{10}{-5} = -2
\] \[
\frac{a}{-1} = -2 \implies a = 2
\] \[
\frac{b}{2} = -2 \implies b = -4
\]

Langkah 2: Menghitung nilai \(2b\:-\: 3a\)

\[
2b \:-\: 3a = 2(-4) \:-\: 3(2) = -8\:-\: 6 = -14
\]

Kunci Jawaban: B

Uji setiap pembatas pertidaksamaan:

• \(x \:-\: y \ge -3 \iff y \le x + 3\): Daerah berada di sebelah bawah garis pembatas \(y = x + 3\).
• \(y \ge 3\): Daerah berada di sebelah atas garis horizontal \(y = 3\).
• \(x + 2y \le 12\): Uji titik \((0,0)\), \(0 \le 12\) (benar), maka daerah memuat titik pusat, yaitu di bawah garis \(x + 2y = 12\).
• \(x \ge 0\): Daerah berada di sebelah kanan sumbu \(Y\) (kuadran I dan IV).

Irisan dari keempat pembatas tersebut adalah daerah segitiga dengan titik-titik sudut \((0,3)\), \((2,5)\), dan \((6,3)\), yaitu daerah II.

Langkah 1: Model Matematika

Misalkan \(x\) = banyaknya Roti A dan \(y\) = banyaknya Roti B.

• Kendala biaya/modal:
  \[
  8.000x + 12.000y \le 4.800.000 \iff 2x + 3y \le 1.200
  \]
• Kendala kapasitas:
  \[
  x + y \le 500
  \]
• Syarat non-negatif: \(x \ge 0, y \ge 0\).

Langkah 2: Fungsi Objektif (Laba Maksimum)

• Laba Roti A: \(30\% \times 8.000 = \text{Rp}2.400,00\) per buah.
• Laba Roti B: \(25\% \times 12.000 = \text{Rp}3.000,00\) per buah.
• Fungsi tujuan: \(Z(x, y) = 2.400x + 3.000y\)

Langkah 3: Titik Potong Garis Pembatas

\[
\begin{aligned}
2x + 3y &= 1.200 \\
2x + 2y &= 1.000 \quad (\times 2) \\
\hline
y &= 200 \implies x = 500 – 200 = 300
\end{aligned}
\]

Titik potong berada pada koordinat \((300, 200)\).

Langkah 4: Uji Titik Ekstrem

• Titik \((0, 400)\): \(Z = 2.400(0) + 3.000(400) = \text{Rp}1.200.000,00\)
• Titik \((500, 0)\): \(Z = 2.400(500) + 3.000(0) = \text{Rp}1.200.000,00\)
• Titik \((300, 200)\): \(Z = 2.400(300) + 3.000(200) = 720.000 + 600.000 = \text{Rp}1.320.000,00\) (Maksimum)

Evaluasi Pernyataan:

(1)  Produksi 300 Roti A menghasilkan keuntungan maksimum: BENAR (\(x = 300\)).

(2)  Roti A diproduksi lebih banyak daripada Roti B (\(300 > 200\)): BENAR.

(3)  Keuntungan maksimum Rp1.440.000,00: SALAH (yang benar adalah Rp1.320.000,00).

Kunci Jawaban: (1), (2), (3), dan (4) Benar

Langkah 1: Sumbu Simetri

\[
x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(-1)} = 3 \quad (\text{Pernyataan 3 BENAR})
\]

Langkah 2: Nilai Ekstrem (Maksimum)

Karena \(a = -1 < 0\), kurva membuka ke bawah dan memiliki nilai maksimum di \(x_p = 3\):

\[
f(3) = -(3)^2 + 6(3) – 5 = -9 + 18 \:-\: 5 = 4 \quad (\text{Pernyataan 1 BENAR})
\]

Langkah 3: Menghitung Nilai Batas dan Komparasi

\[
f(1) = -(1)^2 + 6(1)\:-\:5 = 0
\] \[
f(4) = -(4)^2 + 6(4) – 5 = -16 + 24 – 5 = 3
\] \[
f(5) = -(5)^2 + 6(5) \:-\:5 = 0
\]

Karena \(f(1) = 0\) dan \(f(4) = 3\), maka \(f(1) < f(4)\) bernilai BENAR (Pernyataan 2 BENAR).

Langkah 4: Range (Daerah Hasil)

Nilai minimum pada interval \([1, 5]\) adalah 0 dan nilai maksimum adalah 4. Maka daerah hasilnya adalah \(\{y \mid 0 \le y \le 4, \, y \in \mathbb{R}\}\) (Pernyataan 4 BENAR).

Langkah 1: Menentukan \(g(x)\)

Misalkan \(u = x\:-\: 3 \implies x = u + 3\):

\[
g(u) = 3(u + 3) \:-\: 5 = 3u + 9\:-\: 5 = 3u + 4 \implies g(x) = 3x + 4
\]

(Pernyataan 1 bernilai BENAR)

Langkah 2: Menentukan rumus \(f(x)\)

\[
(f \circ g)(x\:-\: 3) = f(g(x \:-\: 3)) = f(3x\:-\: 5) = 9x^2 \:-\: 12x + 4 = (3x \:-\: 2)^2
\]

Perhatikan hubungan antara \((3x\:-\: 5)\) dan \((3x \:-\: 2)\):

\[
3x \:-\: 2 = (3x\:-\: 5) + 3
\]

Sehingga untuk setiap input \(t\):

\[
f(t) = (t + 3)^2 \implies f(x) = (x + 3)^2
\]

Langkah 3: Menguji Nilai \(f(-1)\)

\[
f(-1) = (-1 + 3)^2 = 2^2 = 4 \ne 9
\]

(Pernyataan 2 bernilai SALAH)

Langkah 4: Menentukan komposisi \((f \circ g)(x)\)

\[
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (g(x) + 3)^2 = (3x + 4 + 3)^2 = (3x + 7)^2 = 9x^2 + 42x + 49
\]

(Pernyataan 3 bernilai BENAR)

Kunci Jawaban: C

Langkah 1: Menentukan fungsi \(h(x)\)

Gunakan rumus invers fungsi pecahan linear:

\[
f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \iff f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b}{cx\:-\: a}
\]

Bentuk \(h^{-1}(x)\) disusun ulang:

\[
h^{-1}(x) = \dfrac{-3x + 2}{x \:-\: 1} \implies h(x) = \dfrac{-(-1)x + 2}{x \:-\: (-3)} = \dfrac{x + 2}{x + 3}
\]

Langkah 2: Menghitung komposisi \((h \circ f)(x)\)

\[
(h \circ f)(x) = h(f(x)) = h(x \:-\: 2) = \dfrac{(x \:-\:2) + 2}{(x \:-\: 2) + 3} = \dfrac{x}{x + 1}
\]

Kunci Jawaban: B

Langkah 1: Mengidentifikasi parameter barisan

Suku pertama (\(a\)) = \(U_1 = 10\text{ cm}\)

Beda (\(b\)) = \(U_2 \:-\: U_1 = 12 \:-\: 10 = 2\text{ cm}\)

Langkah 2: Menghitung tinggi tumpukan 30 mangkok (\(U_{30}\))

\[
\begin{aligned}
U_n &= a + (n \:-\: 1)b \\
U_{30} &= 10 + (30 \:-\: 1)2 \\
&= 10 + 29(2) \\
&= 10 + 58 = 68\text{ cm}
\end{aligned}
\]

Kunci Jawaban: D

Langkah 1: Menentukan rasio (\(r\))

\[
U_1 = a = 96
\] \[
U_3 = a \cdot r^2 = 216
\] \[
r^2 = \dfrac{U_3}{U_1} = \dfrac{216}{96} = \dfrac{9}{4} \implies r = \dfrac{3}{2}
\]

Langkah 2: Menghitung suku ke-6 (\(U_6\))

\[
\begin{aligned}
U_6 &= a \cdot r^5 \\
&= 96 \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^5 \\
&= 96 \times \dfrac{243}{32} \\
&= 3 \times 243 = 729
\end{aligned}
\]

Kunci Jawaban: B

Rumus bunga majemuk:

\[
M_n = M_0 (1 + i)^n
\]

Dengan \(M_0 = 20.000.000\), \(i = 6\% = 0{,}06\), dan \(n = 4\):

\[
\begin{aligned}
M_4 &= 20.000.000 \times (1 + 0{,}06)^4 \\
&= 20.000.000 \times 1{,}2625 \\
&= \text{Rp}25.250.000,00
\end{aligned}
\]

Langkah 1: Evaluasi \(\angle PQR\)

Garis diagonal \(SQ\) merupakan sumbu simetri layang-layang yang membagi dua \(\angle PQR\) sama besar:

\[
\angle PQR = 2 \times \angle PQS = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \quad (\textbf{BENAR})
\]

Langkah 2: Evaluasi \(\angle PSQ\)

Perhatikan \(\triangle PQS\). Jumlah sudut dalam segitiga adalah \(180^\circ\):

\[
\angle PSQ = 180^\circ – (\angle QPS + \angle PQS) = 180^\circ – (105^\circ + 30^\circ) = 45^\circ \quad (\textbf{BENAR})
\]

Langkah 3: Evaluasi \(\angle PRS\)

Perhatikan \(\triangle PSR\). Sifat simetri menyatakan \(\angle RSQ = \angle PSQ = 45^\circ\), sehingga:

\[
\angle PSR = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ
\]

Karena \(PS = RS\), segitiga \(\triangle PSR\) siku-siku sama kaki di titik \(S\):

\[
\angle PRS = \frac{180^\circ \:-\: 90^\circ}{2} = 45^\circ \ne 50^\circ \quad (\textbf{SALAH})
\]

Kunci Jawaban: C

Karena ruas garis \(DE \parallel BC\), maka \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (sebangun).

Panjang sisi \(AC = AE + EC = 4 + 8 = 12\text{ cm}\).

Perbandingan kesebangunan:

\[
\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} \implies \dfrac{4}{12} = \dfrac{2}{BC}
\] \[
\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{BC} \implies BC = 2 \times 3 = 6\text{ cm}
\]

Kunci Jawaban: C

Langkah 1: Panjang diagonal \(AC\)

\[
AC = s\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\text{ cm}
\]

Langkah 2: Kekongruenan \(\triangle ABE \cong \triangle AFE\)

Kedua segitiga siku-siku tersebut memiliki sisi miring bersama \(AE\) dan besar sudut \(\angle BAE = \angle FAE\) (karena \(AE\) garis bagi). Akibatnya:

\[
AF = AB = 10\text{ cm} \quad \text{dan} \quad EF = BE
\]

Langkah 3: Panjang segmen \(FC\)

\[
FC = AC\:-\: AF = 10\sqrt{2} \:-\: 10\text{ cm}
\]

Langkah 4: Menentukan luas \(\triangle EFC\)

Pada persegi, \(\angle ACB = 45^\circ\). Segitiga \(\triangle EFC\) siku-siku di \(F\), sehingga \(\angle FEC = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ\). Ini berarti \(\triangle EFC\) siku-siku sama kaki dengan \(EF = FC = 10\sqrt{2} – 10\).

\[
\begin{aligned}
\text{Luas } \triangle EFC &= \frac{1}{2} \times FC \times EF = \frac{1}{2}(10\sqrt{2}\:-\: 10)^2 \\
&= \frac{1}{2} \left[200\:-\: 200\sqrt{2} + 100\right] \\
&= \frac{1}{2} \left[300 \:-\: 200\sqrt{2}\right] = (150 \:-\: 100\sqrt{2})\text{ cm}^2
\end{aligned}
\]

Kunci Jawaban: A

Segitiga \(\triangle EFC\) adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi kaki berukuran \(FC = 10\sqrt{2}\:-\: 10\text{ cm}\).

Panjang sisi miring \(CE\):

\[
\begin{aligned}
CE &= FC \times \sqrt{2} \\
&= (10\sqrt{2}\:-\:10)\sqrt{2} \\
&= 10(2)\:-\: 10\sqrt{2} \\
&= (20 \:-\: 10\sqrt{2})\text{ cm}
\end{aligned}
\]

Kunci Jawaban: C

Tempatkan titik asal \(M\) pada koordinat Cartesius \((0,0)\):

Kapal A: \(12\text{ km}\) ke Barat (\(x = -12\)) dan \(5\text{ km}\) ke Utara (\(y = 5\)) \(\implies A(-12, 5)\).

Kapal B: \(8\text{ km}\) ke Timur (\(x = 8\)) dan \(10\text{ km}\) ke Selatan (\(y = -10\)) \(\implies B(8, -10)\).

Jarak terpendek antara titik \(A\) dan \(B\):

\[
\begin{aligned}
d &= \sqrt{(x_B \:-\: x_A)^2 + (y_B \:-\: y_A)^2} \\
&= \sqrt{(8 \:-\: (-12))^2 + (-10 \:-\: 5)^2} \\
&= \sqrt{20^2 + (-15)^2} \\
&= \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\text{ km}
\end{aligned}
\]

Kunci Jawaban: C

(1)  Refleksi terhadap sumbu \(Y\):
\[
(x, y) \xrightarrow{R_y} (-x, y) \implies A(3, -4) \to A'(-3, -4)
\]

(2)  Rotasi \(180^\circ\) terhadap pusat \((0,0)\):
\[
(x’, y’) \xrightarrow{[O, 180^\circ]} (-x’, -y’) \implies A'(-3, -4) \to A”(3, 4)
\]

Kunci Jawaban: B

Langkah 1: Translasi

\[
B'(3 + a, \, 4 + b)
\]

Langkah 2: Dilatasi \([O, 3]\)

\[
B”(3(3 + a), \, 3(4 + b)) = B”(12, 18)
\]

Samakan masing-masing komponen koordinat:

\[
3(3 + a) = 12 \implies 3 + a = 4 \implies a = 1
\]

\[
3(4 + b) = 18 \implies 4 + b = 6 \implies b = 2
\]

Langkah 3: Menghitung nilai \(a + 2b\)

\[
a + 2b = 1 + 2(2) = 5
\]

Kunci Jawaban: D

Analisis Pernyataan (1): \(\angle BAD = 60^\circ\)

Rumus luas belah ketupat dengan sisi \(s = 8\) dan sudut \(\theta\):

\[
L = s^2 \sin \theta = 8^2 \sin 60^\circ = 64 \times \frac{1}{2}\sqrt{3} = 32\sqrt{3}\text{ cm}^2
\]

Apakah \(32\sqrt{3} > 32\sqrt{3}\)? Jawabannya pasti: “TIDAK”. Karena menghasilkan jawaban tunggal dan pasti, maka Pernyataan (1) SAJA cukup.

Analisis Pernyataan (2): Panjang diagonal \(AC = 8\sqrt{3}\text{ cm}\)

Diagonal saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang. Misalkan \(O\) titik potong diagonal:

\[
OA = \dfrac{1}{2}AC = 4\sqrt{3}\text{ cm}
\] \[
OB = \sqrt{AB^2 \:-\: OA^2} = \sqrt{8^2 \:-\: (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 \:-\: 48} = \sqrt{16} = 4\text{ cm}
\]

Maka diagonal kedua \(BD = 2 \times OB = 8\text{ cm}\). Luasnya:

\[
L = \dfrac{1}{2} \times AC \times BD = \dfrac{1}{2} \times 8\sqrt{3} \times 8 = 32\sqrt{3}\text{ cm}^2
\]

Apakah \(32\sqrt{3} > 32\sqrt{3}\)? Jawabannya pasti: “TIDAK”. Maka Pernyataan (2) SAJA cukup.

Teorema Dasar Irisan Persegi:

Jika sudut dari sebuah persegi diletakkan pada titik pusat simetri putar persegi lain, maka daerah irisan keduanya selalu tepat bernilai seperempat (\(\frac{1}{4}\)) dari luas persegi yang memiliki pusat simetri tersebut, terlepas dari sudut rotasinya.

Evaluasi Pernyataan:

Luas irisan:
\[
L_{\text{arsir}} = \dfrac{1}{4} \times L_{ABCD} = \dfrac{1}{4} \times 16 = 4\text{ cm}^2 \quad (\textbf{BENAR})
\]

Luas persegi \(ABCD\) yang tidak diarsir:
\[
L_{\text{bersih}} = L_{ABCD}\:-\: L_{\text{arsir}} = 16 \:-\: 4 = 12\text{ cm}^2 \quad (\textbf{BENAR})
\]

Kunci Jawaban: D

Langkah Dasar: Luas Alas Prisma

\[
L_{\text{alas}} = \dfrac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi segitiga} = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16\text{ cm}^2
\]

Uji Pernyataan (1): Volume = \(320\text{ cm}^3\)

\[
V = L_{\text{alas}} \times t \implies 320 = 16 \times t \implies t = 20\text{ cm}
\]

Dihasilkan nilai unik. Pernyataan (1) SAJA cukup.

Uji Pernyataan (2): Diagonal bidang \(ABED = 4\sqrt{29}\text{ cm}\)

Bidang \(ABED\) adalah persegi panjang dengan alas \(AB = 8\text{ cm}\) dan tinggi \(t\):

\[
AB^2 + t^2 = (4\sqrt{29})^2 \implies 64 + t^2 = 16(29) = 464 \implies t^2 = 400 \implies t = 20\text{ cm}
\]

Dihasilkan nilai unik. Pernyataan (2) SAJA cukup.

Kunci Jawaban: D

Langkah 1: Menentukan Koordinat Ruang

Posisikan titik \(D\) sebagai pusat koordinat \((0,0,0)\):

\(D(0, 0, 0)\)

\(A(6, 0, 0)\)

\(C(0, 6, 0)\)

\(H(0, 0, 6)\)

\(B(6, 6, 0)\)

\(E(6, 0, 6)\)

Karena \(CP = \frac{1}{4} \times 6 = 1{,}5\), koordinat \(P\) adalah \((0, 6, 1{,}5)\).

Langkah 2: Menentukan Persamaan Bidang \(BDP\)

Bidang melalui \(D(0,0,0)\), sehingga bentuk persamaannya \(Ax + By + Cz = 0\):

Melalui \(B(6,6,0) \implies 6A + 6B = 0 \implies B = -A\)

Melalui \(P(0,6,1{,}5) \implies 6B + 1{,}5C = 0 \implies 1{,}5C = -6B = 6A \implies C = 4A\)

Pilih \(A = 1\), maka diperoleh persamaan bidang:

\[
x\:-\: y + 4z = 0
\]

Langkah 3: Menghitung Jarak Titik \(E(6,0,6)\) ke Bidang

\[
\begin{aligned}
d &= \frac{|Ax_E + By_E + Cz_E|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \\
&= \frac{|1(6) \:-\: 1(0) + 4(6)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2}} \\
&= \frac{|6 + 24|}{\sqrt{1 + 1 + 16}} \\
&= \frac{30}{\sqrt{18}} = \frac{30}{3\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\text{ satuan}
\end{aligned}
\]

Kunci Jawaban: (1), (2), (3), dan (4) Benar

Sudut-sudut segitiga adalah \(30^\circ\), \(60^\circ\), dan \(90^\circ\). Hipotenusa \(c = 6\sqrt{3}\text{ cm}\).

Sisi terpendek (menghadap \(30^\circ\)):
\[
a = c \sin 30^\circ = 6\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \quad (\text{Pernyataan 1 BENAR})
\]

Sisi siku-siku lainnya (menghadap \(60^\circ\)):
\[
b = c \cos 30^\circ = 6\sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 9\text{ cm} \quad (\text{Pernyataan 3 BENAR})
\]

Luas segitiga:
\[
L = \dfrac{1}{2} \times a \times b = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times 9 = \dfrac{27\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2 \quad (\text{Pernyataan 2 BENAR})
\]

Cosinus sudut terkecil (\(\cos 30^\circ\)):
\[
\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \quad (\text{Pernyataan 4 BENAR})
\]

Kunci Jawaban: (2) dan (4)

Langkah 1: Hubungan Trigonometri \(\triangle DBC\)

\[
\tan \beta = \dfrac{BC}{BD} = 1 \implies BC = BD
\]

Langkah 2: Hubungan Trigonometri \(\triangle ABC\)

Diketahui \(\cos \alpha = \dfrac{4}{5}\), maka:

\[
\sin \alpha = \dfrac{3}{5} \implies \tan \alpha = \dfrac{3}{4} \quad (\text{Pernyataan 4 BENAR})
\]

Langkah 3: Menentukan Panjang Sisi

\[
\tan \alpha = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{AD + BD}
\]

Substitusikan \(AD = 4\) dan \(BD = BC\):

\[
\dfrac{3}{4} = \dfrac{BC}{4 + BC} \implies 3(4 + BC) = 4BC \implies 12 + 3BC = 4BC \implies BC = 12\text{ cm}
\]

Karena \(BD = BC\), maka \(BD = 12\text{ cm}\) (Pernyataan 2 BENAR).

Panjang sisi \(AB = 4 + 12 = 16\text{ cm}\).

Langkah 4: Menghitung Hipotenusa \(AC\)

\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\text{ cm} \ne 15\text{ cm}
\]

Kunci Jawaban: A

Dalam cabang olahraga lari, semakin kecil waktu tempuh, semakin tinggi kecepatannya (lebih cepat). Rata-rata waktu tempuh \(\bar{x} = 13\text{ detik}\).

Anton: \(12 < 13\) (Di bawah rata-rata / Lebih cepat)

Budi: \(14 > 13\) (Di atas rata-rata / Lebih lambat)

Caca: \(15 > 13\) (Di atas rata-rata / Lebih lambat)

Desi: \(11 < 13\) (Di bawah rata-rata / Lebih cepat)

Evan: \(13 = 13\) (Sama dengan rata-rata)

Pelari yang berada di bawah rata-rata adalah Anton dan Desi.

Kunci Jawaban: (1), (2), dan (4)

Langkah 1: Menghitung Jumlah Nilai

Jumlah nilai 12 siswa:
\[
\Sigma x_{12} = 12 \times 75 = 900
\]

Jumlah nilai total (15 siswa):
\[
\Sigma x_{15} = 15 \times 74 = 1.110
\]

Jumlah nilai 3 siswa susulan:
\[
\Sigma x_{\text{susulan}} = 1.110 \:-\: 900 = 210 \quad (\text{Pernyataan 1 BENAR})
\]

Langkah 2: Menghitung Rata-rata Siswa Susulan

\[
\bar{x}_{\text{susulan}} = \dfrac{210}{3} = 70 \quad (\text{Pernyataan 2 BENAR})
\]

Langkah 3: Analisis Nilai Ekstrem Siswa Susulan

Misalkan ketiga nilai adalah \(x_1, x_2, x_3 \in [0, 100]\). Jika \(x_1 = 100\), maka \(x_2 + x_3 = 110\) (misalnya \(x_2 = 55, x_3 = 55\), yang sangat mungkin terjadi). Dengan demikian:

Siswa susulan sangat mungkin mendapat nilai di atas 75 (Pernyataan 3 SALAH).

Nilai tertinggi yang mungkin diraih adalah 100 (Pernyataan 4 BENAR).

Kunci Jawaban: B

Misalkan urutan bilangan bulat positif tersebut adalah \(a \le b \le c \le d\).

\[
\text{Median} = \dfrac{b + c}{2} = 6 \implies b + c = 12
\]

Pertanyaan: Apakah \(\dfrac{a + b + c + d}{4} > 6 \iff a + d > 12\)?

Uji Pernyataan (1): Jangkauan = 4

\[
d – a = 4 \implies d = a + 4
\]

Kasus A: Bilangan \(\{2, 6, 6, 6\}\) memiliki median 6, jangkauan \(6 – 2 = 4\). Nilai \(a + d = 2 + 6 = 8 \le 12\) (Jawaban: TIDAK).

Kasus B: Bilangan \(\{6, 6, 6, 10\}\) memiliki median 6, jangkauan \(10 – 6 = 4\). Nilai \(a + d = 6 + 10 = 16 > 12\) (Jawaban: YA).

Karena jawabannya tidak konsisten, maka Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

Uji Pernyataan (2): Tiga bilangan terbesar sama

Kondisi ini menyatakan \(b = c = d\). Karena \(b + c = 12\), maka:

\[
b = 6, \quad c = 6, \quad d = 6
\]

Karena susunan data terurut \(a \le b\), maka nilai maksimum yang mungkin untuk \(a\) adalah 6 (\(a \le 6\)).

\[
a + d = a + 6 \le 6 + 6 = 12
\]

Nilai \(a + d\) maksimal adalah 12, sehingga \(a + d\) dipastikan tidak pernah lebih besar dari 12. Pertanyaan terjawab pasti dengan jawaban: “TIDAK”. Maka Pernyataan (2) SAJA cukup.

Kunci Jawaban: Kedua Pernyataan BENAR

Total individu \(n = 1 + 1 + 1 + 3 = 6\) orang.

Evaluasi Pernyataan 1: Formasi Bebas

Gunakan rumus permutasi siklis:

\[
P_{\text{siklis}}(n) = (n – 1)! \implies P = (6 – 1)! = 5! = 120\text{ cara} \quad (\textbf{BENAR})
\]

Evaluasi Pernyataan 2: Ayah dan Ibu Berdampingan

Kelompokkan Ayah dan Ibu menjadi 1 entitas tunggal.

Jumlah elemen siklis baru: \(1 \text{ (Ayah-Ibu)} + 1 \text{ (Kakek)} + 3 \text{ (Anak)} = 5\) unsur.

Permutasi siklis 5 unsur: \((5\:-\: 1)! = 4! = 24\) cara.

Permutasi internal pasangan (Ayah dan Ibu saling bertukar posisi): \(2! = 2\) cara.

\[
\text{Total} = 24 \times 2 = 48\text{ cara} \quad (\textbf{BENAR})
\]

Kunci Jawaban: A

Langkah 1: Klasifikasi Nomor Soal

Nomor ganjil: \(\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}\) (ada 6 butir soal).

Nomor genap: \(\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\) (ada 6 butir soal).

Langkah 2: Menghitung Sisa Kebutuhan Soal

Karena seluruh 6 soal ganjil wajib dikerjakan, siswa tersebut telah mengambil 6 soal.

\[
\text{Sisa soal yang harus dipilih} = 8 \:-\: 6 = 2\text{ butir soal}

\]

Langkah 3: Menghitung Banyak Pilihan Kombinasi

Siswa harus memilih 2 soal lagi secara bebas dari 6 butir soal bernomor genap:

\[
C(6, 2) = \binom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!(6 – 2)!} = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\text{ cara}
\]

Kunci Jawaban: Kedua Pernyataan BENAR

Langkah 1: Menghitung Anggota Himpunan

Semesta: \(n(S) = 100\)

Irisan: \(n(K \cap T) = 15\)

Hanya Kopi: \(n(K) \:-\: n(K \cap T) = 40 – 15 = 25\)

Hanya Teh: \(n(T) \:-\: n(K \cap T) = 70 – 15 = 55\)

Evaluasi Pernyataan:

(1)  Jumlah responden yang menyukai minimal salah satu:
\[
n(K \cup T) = 25 + 15 + 55 = 95
\] Responden yang tidak menyukai keduanya:
\[
n((K \cup T)^c) = 100 \:-\: 95 = 5\text{ orang} \quad (\textbf{BENAR})
\]

(2)  Peluang terpilihnya responden yang hanya menyukai Teh:
\[
P(\text{Hanya teh}) = \dfrac{55}{100} = 0{,}55 \quad (\textbf{BENAR})
\]