Berikut adalah pembahasan lengkap menggunakan analisis vektor Gaya Coulomb (Hukum Coulomb):

a) Menentukan Posisi Letak Muatan \(q_3\) agar Resultan Gaya pada \(q_3\) Sama dengan Nol

Analisis Posisi:

Muatan \(q_1\) bernilai positif (\(+\)) sedangkan \(q_2\) bernilai negatif (\(-\)). Karena kedua muatan awal memiliki tanda yang berlawanan, maka titik yang memiliki resultan gaya nol harus terletak di luar garis hubung kedua muatan tersebut.
Titik tersebut juga harus terletak lebih dekat ke muatan yang nilai mutlaknya lebih kecil, yaitu muatan \(q_2 = -4 \ \mu\text{C}\).
Misalkan muatan \(q_3\) diletakkan di sebelah kanan \(q_2\) sejauh \(x\) (dalam cm).

Berikut adalah gambar ilustrasi posisi letak ketiga muatan tersebut:

Agar resultan gaya pada \(q_3\) bernilai nol, besar gaya tolakan/tarikan dari \(q_1\) (\(F_{13}\)) harus sama besar dengan gaya dari \(q_2\) (\(F_{23}\)):

\(F_{13} = F_{23}\)

\(\dfrac{k \cdot |q_1| \cdot |q_3|}{r_{13}^2} = \dfrac{k \cdot |q_2| \cdot |q_3|}{r_{23}^2}\)

\(\dfrac{|q_1|}{(5 + x)^2} = \dfrac{|q_2|}{x^2}\)

\(\dfrac{9}{(5 + x)^2} = \dfrac{4}{x^2}\)

Tarik akar kuadrat pada kedua ruas untuk mempermudah perhitungan:

\(\sqrt{\dfrac{9}{(5 + x)^2}} = \sqrt{\dfrac{4}{x^2}}\)

\(\dfrac{3}{5 + x} = \dfrac{2}{x}\)

\(3x = 2(5 + x)\)

\(3x = 10 + 2x \implies x = 10 \text{ cm}\)

Jadi, muatan \(q_3\) harus diletakkan \(10\text{ cm}\) di sebelah kanan muatan \(q_2\) (atau \(15\text{ cm}\) di sebelah kanan muatan \(q_1\)).

b) Menentukan Besar dan Jenis Muatan \(q_3\) Agar Resultan Gaya di Semua Muatan Sama dengan Nol

Agar seluruh muatan berada dalam kondisi setimbang (resultan gaya sama dengan nol), gaya yang bekerja pada muatan \(q_2\) juga harus bernilai nol (\(F_2 = 0\)):

Menentukan Jenis Muatan \(q_3\):
Muatan \(q_1\) (\(+\)) menarik muatan \(q_2\) (\(-\)) ke arah kiri dengan gaya \(F_{12}\). Agar resultan gaya pada \(q_2\) nol, muatan \(q_3\) harus menarik muatan \(q_2\) ke arah kanan dengan gaya \(F_{32}\).
Karena \(q_2\) bernilai negatif, agar \(q_3\) dapat menarik \(q_2\), maka muatan \(q_3\) harus bermuatan positif (\(+\)).

Menghitung Besar Muatan \(q_3\):
Terapkan keseimbangan gaya pada muatan \(q_2\) (\(F_{12} = F_{32}\)):

\(\dfrac{k \cdot |q_1| \cdot |q_2|}{r_{12}^2} = \dfrac{k \cdot |q_3| \cdot |q_2|}{r_{32}^2}\)

\(\dfrac{|q_1|}{5^2} = \dfrac{|q_3|}{10^2}\)

\(\dfrac{9}{25} = \dfrac{|q_3|}{100}\)

\(|q_3| = 9 \times \frac{100}{25} = 9 \times 4 = 36 \ \mu\text{C}\)

(Kita juga dapat menguji keseimbangan gaya pada muatan \(q_1\). Jika kita gunakan \(q_3 = +36 \ \mu\text{C}\), gaya tarikan dari \(q_2\) ke kanan (\(F_{21} = \frac{k \cdot 9 \cdot 4}{25}\)) akan tepat diimbangi oleh gaya tolakan dari \(q_3\) ke kiri (\(F_{31} = \frac{k \cdot 9 \cdot 36}{15^2} = \frac{k \cdot 9 \cdot 36}{225} = \frac{k \cdot 9 \cdot 4}{25}\)), sehingga terbukti konsisten!)

Kesimpulan:
Besar dan jenis muatan \(q_3\) tersebut adalah muatan positif sebesar \(36 \ \mu\text{C}\) (atau dapat ditulis \(q_3 = +36 \ \mu\text{C}\)).

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian vektor gaya Coulomb menggunakan trik penyederhanaan matematika:

1. Identifikasi Variabel yang Diketahui

Muatan \(q_A = +2 \ \mu\text{C} = 2 \times 10^{-6} \text{ C}\)
Muatan \(q_B = +4 \ \mu\text{C} = 4 \times 10^{-6} \text{ C}\)
Muatan \(q_C = -6 \ \mu\text{C} = -6 \times 10^{-6} \text{ C}\)
Panjang sisi segitiga (\(r\)) = \(10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m} = 10^{-1} \text{ m}\)
Konstanta elektrostatik (\(k\)) = \(9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)

2. Hitung Besar Gaya Masing-Masing Muatan terhadap \(q_B\)

A. Gaya dari muatan A pada B (\(F_{AB}\)):
Karena muatan A (\(+\)) dan B (\(+\)) sejenis, terjadi gaya tolak-menolak yang arahnya menjauhi A (ke arah kiri bawah):

\(F_{AB} = \dfrac{k \cdot |q_A| \cdot |q_B|}{r^2}\)

\(F_{AB} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6})}{(10^{-1})^2}\)

\(F_{AB} = \dfrac{72 \times 10^{-3}}{10^{-2}} = 7,2 \text{ N}\)

B. Gaya dari muatan C pada B (\(F_{CB}\)):
Karena muatan C (\(-\)) dan B (\(+\)) berbeda jenis, terjadi gaya tarik-menarik yang arahnya menuju C (ke arah kanan horizontal):

\(F_{CB} = \dfrac{k \cdot |q_B| \cdot |q_C|}{r^2}\)

\(F_{CB} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (4 \times 10^{-6}) \times (6 \times 10^{-6})}{(10^{-1})^2}\)

\(F_{CB} = \dfrac{216 \times 10^{-3}}{10^{-2}} = 21,6 \text{ N}\)

3. Hitung Resultan Gaya Listrik pada \(q_B\) (\(F_B\))

Segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi, sehingga sudut dalam di setiap sudutnya adalah \(60^\circ\).
Karena vektor \(\vec{F}_{AB}\) merupakan perpanjangan garis \(AB\) ke arah luar dan \(\vec{F}_{CB}\) searah dengan garis \(BC\) (ke kanan), maka sudut apit kedua vektor (\(\phi\)) di titik B adalah:

\(\phi = 180^\circ \:-\: 60^\circ = 120^\circ\)

Gunakan rumus cosinus penjumlahan vektor:

\(F_B = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{CB}^2 + 2 \cdot F_{AB} \cdot F_{CB} \cdot \cos(120^\circ)}\)

Trik berhitung Antiruwet:
Perhatikan bahwa nilai \(F_{CB} = 21,6 \text{ N}\) merupakan kelipatan dari \(F_{AB} = 7,2 \text{ N}\) (di mana \(21,6 = 3 \times 7,2\)).
Misalkan \(a = 7,2\), sehingga \(F_{AB} = a\) dan \(F_{CB} = 3a\). Nilai \(\cos(120^\circ) = -0,5\):

\(F_B = \sqrt{a^2 + (3a)^2 + 2 \cdot a \cdot 3a \cdot (-0,5)}\)

\(F_B = \sqrt{a^2 + 9a^2 \:-\: 3a^2}\)

\(F_B = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7}\)

\(F_B = 7,2\sqrt{7} \text{ N}\)

Jika didesimalkan (menggunakan \(\sqrt{7} \approx 2,646\)):

\(F_B \approx 7,2 \times 2,646 = 19,05 \text{ N}\)

Kesimpulan:
Besar resultan gaya listrik yang dialami oleh muatan \(q_B\) adalah sebesar \(7,2\sqrt{7} \text{ N}\) (atau sekitar \(19,05 \text{ N}\)).

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian fisis lengkap dengan trik pengerjaan cepat:

a) Menghitung Besar Resultan Gaya Listrik pada \(q_5\) di Ruang Hampa

Langkah 1: Hitung jarak dari setiap sudut ke titik pusat (\(r\))
Panjang sisi persegi (\(s\)) adalah \(10\text{ cm} = 0,1\text{ m}\).
Panjang diagonal persegi adalah \(d = s\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\text{ cm} = 0,1\sqrt{2}\text{ m}\).
Jarak dari setiap sudut ke titik pusat (\(r\)) adalah setengah dari panjang diagonal:

\(r = \dfrac{d}{2} = 5\sqrt{2}\text{ cm} = 5\sqrt{2} \times 10^{-2}\text{ m}\)

Maka, nilai kuadrat jarak (\(r^2\)) adalah:

\(r^2 = (5\sqrt{2} \times 10^{-2})^2 = 50 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}^2\)

Langkah 2: Analisis Gaya pada Diagonal 1 (Garis hubung \(q_1\) dan \(q_3\))

Muatan \(q_1\) (\(+\)) menolak muatan uji \(q_5\) (\(+\)) ke arah kanan bawah (menuju \(q_3\)).
Muatan \(q_3\) (\(-\)) menarik muatan uji \(q_5\) (\(+\)) ke arah kanan bawah (menuju \(q_3\)).
Karena kedua gaya ini searah, maka resultan gaya pada diagonal 1 (\(F_{\text{diag1}}\)) dijumlahkan langsung:

\(F_{\text{diag1}} = F_1 + F_3 = \dfrac{k \cdot |q_5|}{r^2} (|q_1| + |q_3|)\)

\(F_{\text{diag1}} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (25 \times 10^{-6})}{5 \times 10^{-3}} \times (2 \times 10^{-6} + 4 \times 10^{-6})\)

\(F_{\text{diag1}} = (45 \times 10^6) \times (6 \times 10^{-6}) = 270 \text{ N}\)

Langkah 3: Analisis Gaya pada Diagonal 2 (Garis hubung \(q_2\) dan \(q_4\))

Muatan \(q_2\) (\(+\)) menolak muatan uji \(q_5\) (\(+\)) ke arah kiri bawah (menuju \(q_4\)).
Muatan \(q_4\) (\(-\)) menarik muatan uji \(q_5\) (\(+\)) ke arah kiri bawah (menuju \(q_4\)).
Karena kedua gaya ini searah, maka resultan gaya pada diagonal 2 (\(F_{\text{diag2}}\)) dijumlahkan langsung:

\(F_{\text{diag2}} = F_2 + F_4 = \dfrac{k \cdot |q_5|}{r^2} (|q_2| + |q_4|)\)

\(F_{\text{diag2}} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (25 \times 10^{-6})}{5 \times 10^{-3}} \times (4 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6})\)

\(F_{\text{diag2}} = (45 \times 10^6) \times (12 \times 10^{-6}) = 540 \text{ N}\)

Langkah 4: Hitung Resultan Akhir Gaya (\(F_{\text{net}}\))
Kedua garis diagonal pada persegi saling berpotongan tegak lurus (\(\alpha = 90^\circ\)), sehingga gaya \(F_{\text{diag1}}\) dan \(F_{\text{diag2}}\) saling tegak lurus. Kita dapat menggunakan rumus Phytagoras:

\(F_{\text{net}} = \sqrt{F_{\text{diag1}}^2 + F_{\text{diag2}}^2}\)

Trik berhitung Antiruwet:
Perhatikan bahwa \(F_{\text{diag2}} = 540 \text{ N}\) merupakan kelipatan dari \(F_{\text{diag1}} = 270 \text{ N}\) (\(540 = 2 \times 270\)).
Misalkan \(A = 270\), maka:

\(F_{\text{net}} = \sqrt{A^2 + (2A)^2}\)

\(F_{\text{net}} = \sqrt{A^2 + 4A^2} = \sqrt{5A^2} = A\sqrt{5}\)

\(F_{\text{net}} = 270\sqrt{5} \text{ N} \approx 603,7 \text{ N}\)

Jadi, besar resultan gaya yang dialami \(q_5\) di ruang hampa adalah \(270\sqrt{5} \text{ N}\).

b) Menentukan Besar Resultan Gaya Listrik pada \(q_5\) di dalam Medium Minyak (\(\epsilon_r = 2,5\))

Gaya Coulomb di dalam suatu bahan medium dengan permitivitas relatif (\(\epsilon_r\)) akan melemah dibanding di ruang hampa:

\(F_{\text{medium}} = \dfrac{F_{\text{vakum}}}{\epsilon_r}\)

Substitusikan nilai yang telah kita peroleh:

\(F_{\text{medium}} = \dfrac{270\sqrt{5} \text{ N}}{2,5}\)

\(F_{\text{medium}} = \dfrac{270 \times 2}{5} \sqrt{5} = 54 \times 2\sqrt{5} = 108\sqrt{5} \text{ N} \approx 241,5 \text{ N}\)

Jadi, besar resultan gaya yang dialami \(q_5\) ketika sistem diletakkan di dalam minyak adalah \(108\sqrt{5} \text{ N}\).

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian gaya Coulomb menggunakan analisis vektor komponen sumbu-X dan sumbu-Y:

1. Analisis Geometri dan Jarak

Titik E berada tepat di tengah sisi DC (\(AB = DC = 6 \text{ cm}\)), sehingga panjang kawat \(DE = EC = 3 \text{ cm} = 0,03 \text{ m}\).
Jarak dari muatan A ke E (\(r_{AE}\)) dan muatan B ke E (\(r_{BE}\)) membentuk segitiga siku-siku istimewa (\(3-4-5\)):
\(r_{AE} = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m}\)
\(r_{BE} = \sqrt{BC^2 + EC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m}\)
Sudut kemiringan garis diagonal (\(\theta\)) terhadap garis horizontal memiliki perbandingan trigonometri:
\(\cos\theta = \frac{3}{5} = 0,6 \quad \text{dan} \quad \sin\theta = \frac{4}{5} = 0,8\)

2. Hitung Besar Gaya Masing-Masing Muatan terhadap \(q_E\)

A. Gaya Tarik dari muatan D (\(F_{DE}\)):
Muatan D (\(-\)) menarik muatan E (\(+\)) ke arah kiri (menuju D):

\(F_{DE} = \dfrac{k \cdot |q_D| \cdot |q_E|}{r_{DE}^2}\)

\(F_{DE} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (4 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6})}{(0,03)^2}\)

\(F_{DE} = \dfrac{180 \times 10^{-3}}{9 \times 10^{-4}} = 200 \text{ N (ke kiri)}\)

B. Gaya Tolak dari muatan A (\(F_{AE}\)):
Muatan A (\(+\)) menolak muatan E (\(+\)) ke arah kanan atas (menjauhi A):

\(F_{AE} = \dfrac{k \cdot |q_A| \cdot |q_E|}{r_{AE}^2}\)

\(F_{AE} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6})}{(0,05)^2}\)

\(F_{AE} = \dfrac{90 \times 10^{-3}}{25 \times 10^{-4}} = 36 \text{ N}\)

C. Gaya Tarik dari muatan B (\(F_{BE}\)):
Muatan B (\(-\)) menarik muatan E (\(+\)) ke arah kanan bawah (menuju B):

\(F_{BE} = \dfrac{k \cdot |q_B| \cdot |q_E|}{r_{BE}^2}\)

\(F_{BE} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6})}{(0,05)^2} = 36 \text{ N}\)

3. Analisis Komponen Gaya dan Resultan Akhir

Mari kita uraikan gaya-gaya diagonal (\(F_{AE}\) dan \(F_{BE}\)) ke dalam sumbu-X dan sumbu-Y:

Sumbu-Y (Vertikal):
Komponen vertikal gaya \(F_{AE}\) mengarah ke atas (\(+F_{AE}\sin\theta\)), sedangkan komponen vertikal gaya \(F_{BE}\) mengarah ke bawah (\(-F_{BE}\sin\theta\)). Karena besarnya sama, kedua gaya vertikal ini saling menghilangkan:
\(\sum F_y = F_{AE}\sin\theta\:-\:F_{BE}\sin\theta\)
\(\sum F_y = (36 \times 0,8)\:-\: (36 \times 0,8) = 0 \text{ N}\)

Sumbu-X (Horizontal):
Kedua gaya diagonal memiliki komponen horizontal yang mengarah ke kanan (\(+F_{AE}\cos\theta\) dan \(+F_{BE}\cos\theta\)), sedangkan gaya \(F_{DE}\) sepenuhnya mengarah ke kiri (\(-F_{DE}\)):
\(\sum F_x = -F_{DE} + F_{AE}\cos\theta + F_{BE}\cos\theta\)
\(\sum F_x = -200 + (36 \times 0,6) + (36 \times 0,6)\)
\(\sum F_x = -200 + 21,6 + 21,6 = -156,8 \text{ N}\)

Besar resultan gaya total adalah:

\(F_{\text{net}} = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}\)

\(F_{\text{net}} = \sqrt{(-156,8)^2 + 0^2} = 156,8 \text{ N}\)

Kesimpulan:
Besar resultan gaya listrik yang dialami oleh muatan \(q_E\) adalah sebesar \(156,8 \text{ N}\) dengan arah horizontal ke kiri (searah sumbu X negatif / menuju D).

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian kuat medan listrik dengan pendekatan fisis terstruktur:

a) Menghitung Kuat Medan Listrik di Titik Tengah M

Langkah 1: Identifikasi jarak dari masing-masing muatan ke titik tengah M (\(r\))
Titik M berada tepat di tengah-tengah kedua muatan, sehingga jaraknya adalah:

\(r_1 = r_2 = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}\)

Maka nilai kuadrat jarak (\(r_1^2 = r_2^2\)) adalah:

\(r_1^2 = r_2^2 = (2 \times 10^{-2})^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)

Langkah 2: Tentukan arah medan listrik di titik M

Muatan \(q_1\) bernilai positif (\(+\)), sehingga medan listrik yang dihasilkannya di titik M (\(\vec{E}_1\)) menjauhi \(q_1\) (mengarah ke kanan).
Muatan \(q_2\) bernilai negatif (\(-\)), sehingga medan listrik yang dihasilkannya di titik M (\(\vec{E}_2\)) mendekati \(q_2\) (mengarah ke kanan).
Karena kedua vektor medan searah (ke kanan), maka kuat medan total (\(E_{\text{mid}}\)) adalah penjumlahan langsung keduanya:

\(E_{\text{mid}} = E_1 + E_2\)

\(E_{\text{mid}} = \dfrac{k \cdot |q_1|}{r_1^2} + \frac{k \cdot |q_2|}{r_2^2}\)

\(E_{\text{mid}} = \dfrac{k}{r_1^2} (|q_1| + |q_2|)\)

\(E_{\text{mid}} = \dfrac{9 \times 10^9}{4 \times 10^{-4}} \times (18 \times 10^{-6} + 32 \times 10^{-6})\)

\(E_{\text{mid}} = (2,25 \times 10^{13}) \times (50 \times 10^{-6})\)

\(E_{\text{mid}} = 112,5 \times 10^7 = 1,125 \times 10^9 \text{ N/C}\)

Jadi, besar kuat medan listrik di titik tengah kedua muatan adalah \(1,125 \times 10^9 \text{ N/C}\) (mengarah ke kanan / menuju muatan \(q_2\)).

b) Menentukan Letak Titik P di mana Kuat Medan Listriknya Bernilai Nol

Langkah 1: Analisis Letak Titik P

Karena kedua muatan berbeda jenis, medan listrik bernilai nol hanya mungkin terjadi di luar garis hubung kedua muatan.
Titik tersebut harus berada lebih dekat ke muatan yang nilainya lebih kecil, yaitu muatan \(q_1 = +18 \ \mu\text{C}\).
Misalkan titik P terletak di sebelah kiri \(q_1\) sejauh \(y\) (dalam cm). Jarak dari P ke \(q_1\) adalah \(y\), sedangkan jarak dari P ke \(q_2\) adalah \(4 + y\).

Langkah 2: Menghitung Nilai \(y\)
Agar medan listrik di P bernilai nol, besar medan dari \(q_1\) (\(E_1\)) harus sama dengan besar medan dari \(q_2\) (\(E_2\)):

\(E_1 = E_2\)

\(\dfrac{k \cdot |q_1|}{y^2} = \dfrac{k \cdot |q_2|}{(4 + y)^2}\)

\(\dfrac{18}{y^2} = \dfrac{32}{(4 + y)^2}\)

Sederhanakan pecahan dengan membagi kedua pembilang dengan angka 2:

\(\dfrac{9}{y^2} = \dfrac{16}{(4 + y)^2}\)

Tarik akar kuadrat pada kedua ruas untuk mempermudah perhitungan cepat:

\(\sqrt{\dfrac{9}{y^2}} = \sqrt{\dfrac{16}{(4 + y)^2}}\)

\(\dfrac{3}{y} = \dfrac{4}{4 + y}\)

\(3(4 + y) = 4y\)

\(12 + 3y = 4y \implies y = 12 \text{ cm}\)

Jadi, titik P harus diletakkan pada jarak \(12\text{ cm}\) di sebelah kiri muatan \(q_1\) (atau \(16\text{ cm}\) di sebelah kiri muatan \(q_2\)).

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian fisis untuk menghitung nilai potensial dan kuat medan listrik di pusat persegi:

1. Analisis Geometri Persegi

Panjang sisi persegi (\(s\)) adalah \(2\text{ m}\).
Panjang diagonal persegi adalah \(d = s\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\text{ m}\).
Jarak dari setiap sudut ke titik pusat (\(r\)) adalah setengah dari diagonal:
\(r = \frac{d}{2} = \sqrt{2} \text{ m}\)
Maka, nilai kuadrat jarak (\(r^2\)) adalah:
\(r^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ m}^2\)

a) Menghitung Potensial Listrik di Titik Pusat Rangkaian (\(V\))

Potensial listrik merupakan besaran skalar (tidak memiliki arah kearah sudut, hanya bergantung pada tanda muatannya saja). Kita cukup menjumlahkannya secara aljabar biasa:

\(V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4\)

\(V = \dfrac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)\)

Hitung jumlah total muatan listrik (\(\sum q\)):

\(\sum q = (+2 \:-\: 2 + 4 \:-\: 8) \ \mu\text{C} = -4 \ \mu\text{C} = -4 \times 10^{-6} \text{ C}\)

Substitusikan ke rumus potensial:

\(V = \dfrac{9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2}{\sqrt{2} \text{ m}} \times (-4 \times 10^{-6} \text{ C})\)

\(V = -\dfrac{36 \times 10^3}{\sqrt{2}} = -18\sqrt{2} \times 10^3 \text{ V} = -18\sqrt{2} \text{ kV} \approx -25,46 \text{ kV}\)

Jadi, besar potensial listrik di titik pusat persegi tersebut adalah \(-18\sqrt{2} \text{ kV}\).

b) Menghitung Kuat Medan Listrik di Titik Pusat Rangkaian (\(E\))

Medan listrik merupakan besaran vektor, sehingga arah dari setiap garis diagonal harus dihitung secara terpisah:

Langkah A: Analisis Medan pada Diagonal 1 (Garis hubung \(q_1\) dan \(q_3\))

Muatan \(q_1\) (\(+\)) memancarkan medan menjauhi dirinya, maka arah medan di pusat (\(\vec{E}_1\)) mengarah ke kanan-bawah (menuju \(q_3\)):
\(E_1 = \dfrac{k \cdot |q_1|}{r^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})}{2} = 9 \times 10^3 \text{ N/C}\)
Muatan \(q_3\) (\(+\)) juga memancarkan medan menjauhi dirinya, maka arah medan di pusat (\(\vec{E}_3\)) mengarah ke kiri-atas (menjauhi \(q_3\) / menuju \(q_1\)):
\(E_3 = \dfrac{k \cdot |q_3|}{r^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (4 \times 10^{-6})}{2} = 18 \times 10^3 \text{ N/C}\)
Karena kedua medan ini berlawanan arah, maka resultan medan di diagonal 1 (\(E_{\text{diag1}}\)) bernilai:
\(E_{\text{diag1}} = E_3 \:-\: E_1 = (18 \:-\: 9) \times 10^3 = 9 \times 10^3 \text{ N/C}\) (mengarah ke kiri-atas)

Langkah B: Analisis Medan pada Diagonal 2 (Garis hubung \(q_2\) dan \(q_4\))

Muatan \(q_2\) (\(-\)) menarik medan ke arah dirinya, maka arah medan di pusat (\(\vec{E}_2\)) mengarah ke kanan-atas (menuju \(q_2\)):
\(E_2 = \dfrac{k \cdot |q_2|}{r^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})}{2} = 9 \times 10^3 \text{ N/C}\)
Muatan \(q_4\) (\(-\)) juga menarik medan ke arah dirinya, maka arah medan di pusat (\(\vec{E}_4\)) mengarah ke kiri-bawah (menuju \(q_4\)):
\(E_4 = \dfrac{k \cdot |q_4|}{r^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times (8 \times 10^{-6})}{2} = 36 \times 10^3 \text{ N/C}\)
Karena kedua medan ini berlawanan arah, maka resultan medan di diagonal 2 (\(E_{\text{diag2}}\)) bernilai:
\(E_{\text{diag2}} = E_4 \:-\: E_2 = (36 \:-\: 9) \times 10^3 = 27 \times 10^3 \text{ N/C}\) (mengarah ke kiri-bawah)

Langkah C: Hitung Resultan Akhir Kuat Medan (\(E_{\text{net}}\))
Kedua garis diagonal pada persegi saling berpotongan tegak lurus (\(\alpha = 90^\circ\)), sehingga medan \(E_{\text{diag1}}\) dan \(E_{\text{diag2}}\) saling tegak lurus:

\(E_{\text{net}} = \sqrt{E_{\text{diag1}}^2 + E_{\text{diag2}}^2}\)

Trik berhitung Antiruwet:
Perhatikan bahwa \(E_{\text{diag2}} = 27 \times 10^3 \text{ N/C}\) merupakan kelipatan dari \(E_{\text{diag1}} = 9 \times 10^3 \text{ N/C}\).
Misalkan \(A = 9 \times 10^3\), maka:

\(E_{\text{net}} = \sqrt{A^2 + (3A)^2} = \sqrt{10A^2} = A\sqrt{10}\)

\(E_{\text{net}} = 9\sqrt{10} \times 10^3 \text{ N/C} = 9\sqrt{10} \text{ kV/m} \approx 28,46 \text{ kV/m}\)

Jadi, besar kuat medan listrik di pusat persegi adalah sebesar \(9\sqrt{10} \text{ kV/m}\).

Berikut adalah pembahasan lengkap menggunakan analisis fisis dan rumus bola konduktor berongga:

a) Kuat Medan Listrik (\(E\)) dan Potensial Listrik (\(V\)) pada Berbagai Jarak

Diketahui:

Jari-jari bola (\(R\)) = \(2 \text{ cm} = 0,02 \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}\)
Muatan bola (\(q\)) = \(+1 \ \mu\text{C} = 10^{-6} \text{ C}\)

(1)  Pada Jarak \(1\text{ cm}\) dari pusat (\(r = 1\text{ cm} < R\) / di dalam bola):

Kuat Medan Listrik (\(E_{1\text{cm}}\)): Di dalam konduktor bola berongga, tidak terdapat muatan di dalamnya (muatan hanya menyebar di permukaan luar), sehingga kuat medan listrik bernilai nol:
\(E_{1\text{cm}} = 0 \text{ N/C}\)
Potensial Listrik (\(V_{1\text{cm}}\)): Potensial listrik di dalam bola adalah konstan dan sama dengan potensial listrik di permukaannya (\(V_{\text{permukaan}}\)):
\(V_{1\text{cm}} = \dfrac{k \cdot q}{R} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-2}} = \dfrac{9000}{0,02} = 4,5 \times 10^5 \text{ V} = 450 \text{ kV}\)

(2)  Pada Jarak \(2\text{ cm}\) dari pusat (\(r = R = 2\text{ cm}\) / di permukaan bola):

Kuat Medan Listrik (\(E_{2\text{cm}}\)):
\(E_{2\text{cm}} = \dfrac{k \cdot q}{R^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{(2 \times 10^{-2})^2} = \dfrac{9000}{4 \times 10^{-4}} = 2,25 \times 10^7 \text{ N/C}\)
Potensial Listrik (\(V_{2\text{cm}}\)):
\(V_{2\text{cm}} = 4,5 \times 10^5 \text{ V} = 450 \text{ kV}\)

(3)  Pada Jarak \(4\text{ cm}\) dari pusat (\(r = 4\text{ cm} > R\) / di luar bola):

Kuat Medan Listrik (\(E_{4\text{cm}}\)):
\(E_{4\text{cm}} = \dfrac{k \cdot q}{r^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} = \dfrac{9000}{16 \times 10^{-4}} = 5,625 \times 10^6 \text{ N/C}\)
Potensial Listrik (\(V_{4\text{cm}}\)):
\(V_{4\text{cm}} = \dfrac{k \cdot q}{r} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-2}} = \dfrac{9000}{0,04} = 2,25 \times 10^5 \text{ V} = 225 \text{ kV}\)

b) Usaha untuk Memindahkan Muatan uji \(q_0 = +4 \ \mu\text{C}\) dari B ke A

Usaha (\(W\)) untuk memindahkan muatan ditentukan oleh beda potensial antara titik akhir dan titik awal:

\(W_{B \to A} = q_0 (V_A\:-\: V_B)\)

Karena titik B berada di permukaan bola (\(V_B = 4,5 \times 10^5 \text{ V}\)) dan titik A berada di dalam bola (\(V_A = 4,5 \times 10^5 \text{ V}\)), maka potensial di kedua titik adalah sama (equipotential):

\(W_{B \to A} = (4 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (4,5 \times 10^5 \text{ V} – 4,5 \times 10^5 \text{ V})\)

\(W_{B \to A} = 0 \text{ Joule}\)

Jadi, usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan dari B ke A adalah \(0 \text{ Joule}\).

c) Usaha untuk Memindahkan Muatan uji \(q_0 = +4 \ \mu\text{C}\) dari C ke A

Gunakan rumus beda potensial dari titik C menuju titik A:

\(W_{C \to A} = q_0 (V_A \:-\: V_C)\)

Substitusikan nilai potensial di titik A (\(V_A = 4,5 \times 10^5 \text{ V}\)) dan titik C (\(V_C = 2,25 \times 10^5 \text{ V}\)):

\(W_{C \to A} = (4 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (4,5 \times 10^5 \text{ V} – 2,25 \times 10^5 \text{ V})\)

\(W_{C \to A} = (4 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (2,25 \times 10^5 \text{ V})\)

\(W_{C \to A} = 9 \times 10^{-1} = 0,9 \text{ Joule}\)

Jadi, usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan dari C ke A adalah sebesar \(0,9 \text{ Joule}\).

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian fisis lengkap menggunakan konsep potensial listrik dan hukum kekekalan energi mekanik:

a) Kuat Medan Listrik (\(E\)) dan Potensial Listrik (\(V\)) di Titik A, B, dan C

Diketahui:

Jari-jari bola (\(R\)) = \(4 \text{ cm} = 0,04 \text{ m} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}\)
Muatan utama bola (\(Q\)) = \(+2 \ \mu\text{C} = 2 \times 10^{-6} \text{ C}\)

(1)  Di titik A (\(r_A = 2\text{ cm} < R\) / di dalam bola):

Kuat Medan Listrik (\(E_A\)): Di dalam bola konduktor berongga, muatannya tersebar merata di permukaan luar saja. Berdasarkan hukum Gauss, kuat medan listrik di bagian dalam konduktor bernilai nol:
\(E_A = 0 \text{ N/C}\)
Potensial Listrik (\(V_A\)): Potensial di dalam bola bernilai konstan dan sama dengan potensial di permukaan kulitnya (\(V_{\text{permukaan}}\)):
\(V_A = \dfrac{k \cdot Q}{R} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-2}} = \dfrac{18000}{0,04} = 4,5 \times 10^5 \text{ V} = 450 \text{ kV}\)

(2)  Di titik B (\(r_B = R = 4\text{ cm}\) / di permukaan bola):

Kuat Medan Listrik (\(E_B\)):
\(E_B = \dfrac{k \cdot Q}{R^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} = \dfrac{18000}{16 \times 10^{-4}} = 1,125 \times 10^7 \text{ N/C}\)
Potensial Listrik (\(V_B\)):
\(V_B = 4,5 \times 10^5 \text{ V} = 450 \text{ kV}\)

(3)  Di titik C (\(r_C = 10\text{ cm} > R\) / di luar bola):

Kuat Medan Listrik (\(E_C\)):
\(E_C = \dfrac{k \cdot Q}{r_C^2} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{(10^{-1})^2} = \dfrac{18000}{10^{-2}} = 1,8 \times 10^6 \text{ N/C}\)
Potensial Listrik (\(V_C\)):
\(V_C = \dfrac{k \cdot Q}{r_C} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{10^{-1}} = \dfrac{18000}{0,1} = 1,8 \times 10^5 \text{ V} = 180 \text{ kV}\)

b) Menentukan Usaha Listrik Memindahkan Muatan uji \(q_0 = -1 \ \mu\text{C}\) dari C ke B

Usaha oleh medan listrik (\(W_{C \to B}\)) ditentukan oleh hubungan:

\(W_{C \to B} = – \Delta E_p = -q_0 (V_B\:-\: V_C)\)

Substitusikan nilai potensial di titik B (\(4,5 \times 10^5 \text{ V}\)) dan C (\(1,8 \times 10^5 \text{ V}\)):

\(W_{C \to B} = -(-10^{-6} \text{ C}) \times (4,5 \times 10^5 \text{ V} – 1,8 \times 10^5 \text{ V})\)

\(W_{C \to B} = 10^{-6} \times (2,7 \times 10^5) = 0,27 \text{ Joule}\)

(Tanda positif berarti medan listrik yang melakukan usaha positif secara alami untuk menarik muatan negatif mendekati bola bermuatan positif).

c) Menentukan Kecepatan Akhir Muatan uji saat Tiba di Titik B

Gunakan Hukum Kekekalan Energi Mekanik (karena gaya listrik bersifat konservatif):

\(E_{M1} = E_{M2} \implies E_{pC} + E_{kC} = E_{pB} + E_{kB}\)

Karena muatan dilepas dari keadaan diam di titik C, maka \(E_{kC} = 0\):

\(q_0 \cdot V_C + 0 = q_0 \cdot V_B + \frac{1}{2} m \cdot v_B^2\)

\(\dfrac{1}{2} m \cdot v_B^2 = -q_0 (V_B – V_C)\)

Perhatikan bahwa ruas kanan adalah nilai usaha listrik positif yang kita hitung pada bagian b (\(0,27 \text{ J}\)):

\(\dfrac{1}{2} m \cdot v_B^2 = 0,27 \text{ J}\)

\(\dfrac{1}{2} \times (2 \times 10^{-10} \text{ kg}) \times v_B^2 = 0,27\)

\(10^{-10} \times v_B^2 = 0,27\)

\(v_B^2 = 0,27 \times 10^{10} = 27 \times 10^8\)

\(v_B = \sqrt{27 \times 10^8} = 3\sqrt{3} \times 10^4 \text{ m/s} = 30000\sqrt{3} \text{ m/s}\)

Jika didesimalkan (menggunakan \(\text{approx } \sqrt{3} \approx 1,732\)):

\(v_B \approx 51.960 \text{ m/s} = 51,96 \text{ km/s}\)

Jadi, kecepatan akhir muatan saat tiba di titik B adalah sebesar \(30000\sqrt{3} \text{ m/s}\).