1. Analisis Barisan Bilangan Bertingkat:

Berdasarkan gambar, jumlah batang korek api pada tiap pola adalah:

• Pola 1 (\(U_1\)) = \(3\) batang
• Pola 2 (\(U_2\)) = \(9\) batang
• Pola 3 (\(U_3\)) = \(18\) batang

Karena selisih pada tingkat kedua bernilai konstan (\(3\)), pola ini merupakan Barisan Aritmetika Bertingkat Dua (\(U_n = an^2 + bn + c\)).

2. Menentukan Rumus Suku ke-\(n\) (\(U_n\)):

\[
\begin{aligned}
2a &= 3 \implies a = \frac{3}{2} \\
3a + b &= 6 \implies 3\left(\frac{3}{2}\right) + b = 6 \implies b = 6 \:-\: \frac{9}{2} = \frac{3}{2} \\
a + b + c &= 3 \implies \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + c = 3 \implies 3 + c = 3 \implies c = 0
\end{aligned}
\] Diperoleh rumus umum:
\[U_n = \frac{3}{2}n^2 + \frac{3}{2}n = \frac{3n(n + 1)}{2}\]

3. Menghitung Pola ke-8 (\(U_8\)):

\[
\begin{aligned}
U_8 &= \frac{3(8)(8 + 1)}{2} \\
&= 12 \times 9 \\
&= 108\text{ batang}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya batang korek api pada pola ke-8 adalah 108 batang.

1. Konsep Diagonal Bangun Segi-\(n\):

• Dari setiap titik sudut, dapat ditarik \((n \:-\: 3)\) garis diagonal (karena tidak dapat menghubungkan ke dirinya sendiri dan \(2\) titik tetangga di sampingnya).
• Karena ada \(n\) buah titik sudut dan setiap garis terhitung dua kali bolak-balik, total garis diagonalnya adalah:
  \[D_n = \frac{n(n \:-\: 3)}{2}\]

2. Menghitung Jumlah Diagonal Segi-20 (\(n = 20\)):

\[
\begin{aligned}
D_{20} &= \frac{20(20 \:-\: 3)}{2} \\
&= 10 \times 17 \\
&= 170\text{ diagonal}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya garis diagonal pada segi-20 beraturan adalah 170 garis.

1. Analisis Komponen Rangka Grid \(n \times n\):

• Batang Horizontal: Ada \((n + 1)\) baris, masing-masing berisi \(n\) batang \(\implies n(n + 1)\).
• Batang Vertikal: Ada \((n + 1)\) kolom, masing-masing berisi \(n\) batang \(\implies n(n + 1)\).
• Batang Diagonal: Ada \(n^2\) buah kotak, masing-masing berisi \(2\) batang diagonal \(\implies 2n^2\).

\[
\begin{aligned}
U_n &= n(n + 1) + n(n + 1) + 2n^2 \\
&= 2n(n + 1) + 2n^2 \\
&= 2n^2 + 2n + 2n^2 \\
&= 4n^2 + 2n
\end{aligned}
\]

2. Menghitung Pola ke-6 (\(n = 6\)):

\[
\begin{aligned}
U_6 &= 4(6)^2 + 2(6) \\
&= 4(36) + 12 \\
&= 144 + 12 \\
&= 156\text{ batang}
\end{aligned}
\] Jadi, total batang korek api yang dibutuhkan adalah 156 batang.

1. Menentukan Nilai \(n\) Kolam Biru:

Ubin biru membentuk persegi berukuran \(n \times n\):
\[n^2 = 144 \implies n = \sqrt{144} = 12\]

2. Menghitung Jumlah Ubin Putih (\(W_n\)):

Jumlah ubin putih adalah selisih luas persegi luar berukuran \((n + 2) \times (n + 2)\) dengan kolam dalam:

\[
\begin{aligned}
W_n &= (n + 2)^2 \:-\: n^2 \\
&= (n^2 + 4n + 4) \:-\: n^2 \\
&= 4n + 4
\end{aligned}
\] Substitusikan nilai \(n = 12\):
\[
\begin{aligned}
W_{12} &= 4(12) + 4 \\
&= 48 + 4 \\
&= 52\text{ ubin}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya ubin putih yang mengelilingi kolam adalah 52 buah.

1. Menentukan Banyak Siklus Pembelahan (\(n\)):

\[
\begin{aligned}
\text{Total waktu} &= 2\text{ jam} = 120\text{ menit} \\
n &= \frac{120\text{ menit}}{15\text{ menit}} = 8\text{ siklus pembelahan}
\end{aligned}
\]

2. Model Barisan Geometri:

Bakteri awal (\(a\)) = \(1\), rasio pembelahan (\(r\)) = \(3\):

\[
\begin{aligned}
N_8 &= a \times r^n \\
&= 1 \times 3^8 \\
&= 3^4 \times 3^4 \\
&= 81 \times 81 \\
&= 6.561\text{ sel}
\end{aligned}
\] Jadi, jumlah bakteri setelah 2 jam adalah 6.561 sel.

1. Menentukan Rasio Luas Biru yang Tersisa:

Karena 1 dari 4 bagian dibuang (dikosongkan), maka pada setiap tahap luas biru tersisa \(\frac{3}{4}\) dari luas sebelumnya (\(r = \frac{3}{4}\)).

2. Menghitung Luas Pola ke-4 (\(U_4\)):

Luas awal sebelum tahap pembagian adalah \(A_0 = 256\text{ cm}^2\):

\[
\begin{aligned}
U_4 &= A_0 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \\
&= 256 \times \frac{3^4}{4^4} \\
&= 256 \times \frac{81}{256} \\
&= 81\text{ cm}^2
\end{aligned}
\] Jadi, luas daerah biru pada pola ke-4 adalah \(81\text{ cm}^2\).

1. Menganalisis Pola Barisan Bertingkat:

2. Menentukan Rumus Suku ke-\(n\) (\(U_n = an^2 + bn + c\)):

\[
\begin{aligned}
2a &= 2 \implies a = 1 \\
3a + b &= 4 \implies 3(1) + b = 4 \implies b = 1 \\
a + b + c &= 10 \implies 1 + 1 + c = 10 \implies c = 8
\end{aligned}
\] Diperoleh rumus umum:
\[U_n = n^2 + n + 8\]

3. Menghitung Jumlah Kursi Baris ke-12 (\(n = 12\)):

\[
\begin{aligned}
U_{12} &= (12)^2 + 12 + 8 \\
&= 144 + 20 \\
&= 164\text{ kursi}
\end{aligned}
\] Jadi, jumlah kursi pada baris ke-12 adalah 164 kursi.

1. Pola Barisan Fibonacci:

Panjang sisi setiap persegi mengikuti barisan Fibonacci:

\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots\]

• Suku ke-8 (\(F_8\)) = \(21\)
• Suku ke-9 (\(F_9\)) = \(34\)

2. Dimensi dan Keliling Gabungan Persegi:

Setiap penambahan persegi menghasilkan persegi panjang gabungan dengan dimensi panjang \(F_{n+1}\) dan lebar \(F_n\):

\[
\begin{aligned}
\text{Panjang} &= F_9 = 34 \\
\text{Lebar} &= F_8 = 21 \\
\text{Keliling} &= 2 \times (\text{Panjang} + \text{Lebar}) \\
&= 2 \times (34 + 21) \\
&= 2 \times 55 \\
&= 110\text{ satuan}
\end{aligned}
\] Jadi, keliling bangun gabungan hingga persegi ke-8 adalah 110 satuan.

1. Pola Pembagian Bidang (*Lazy Caterer’s Sequence*):

Setiap penambahan garis ke-\(n\) akan memotong semua garis sebelumnya, menambah sebanyak \(n\) daerah potongan baru:

• \(0\) garis = \(1\) bagian
• \(1\) garis = \(2\) bagian (\(+1\))
• \(2\) garis = \(4\) bagian (\(+2\))
• \(3\) garis = \(7\) bagian (\(+3\))
• \(4\) garis = \(11\) bagian (\(+4\))

Rumus umum potongan maksimal bidang oleh \(n\) garis adalah:
\[L_n = \frac{n(n + 1)}{2} + 1 = \frac{n^2 + n + 2}{2}\]

2. Menghitung Potongan untuk 10 Garis (\(n = 10\)):

\[
\begin{aligned}
L_{10} &= \frac{10(10 + 1)}{2} + 1 \\
&= \frac{10 \times 11}{2} + 1 \\
&= 55 + 1 \\
&= 56\text{ bagian}
\end{aligned}
\] Jadi, potongan pizza maksimal yang dapat terbentuk adalah 56 bagian.

1. Pola Kubus Satuan per Lapisan:

Piramida dengan tinggi \(n\) disusun oleh lapisan-lapisan persegi dari puncak ke dasar:

• Pola 1 (\(n=1\)): \(1^2 = 1\) kubus
• Pola 2 (\(n=2\)): \(1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\) kubus
• Pola 3 (\(n=3\)): \(1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14\) kubus

Total kubus pada pola ke-\(n\) merupakan jumlah kuadrat dari \(n\) bilangan asli pertama:
\[U_n = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]

2. Menghitung Total Kubus untuk Pola ke-6 (\(n = 6\)):

\[
\begin{aligned}
U_6 &= \frac{6(6 + 1)(2(6) + 1)}{6} \\
&= \frac{6 \times 7 \times 13}{6} \\
&= 7 \times 13 \\
&= 91\text{ kubus}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya kotak kubus kecil penyusun piramida pada pola ke-6 adalah 91 kubus.