(1) Analisis Pola Bilangan:

Berdasarkan gambar, banyaknya batang korek api pada masing-masing pola adalah:

Pola 1 (\(U_1\)) = 3 batang

Pola 2 (\(U_2\)) = 9 batang

Pola 3 (\(U_3\)) = 18 batang

Karena selisih pada tingkat kedua konstan (tetap = 3), maka barisan ini merupakan barisan aritmetika tingkat dua.

(2) Menentukan Nilai \(a\), \(b\), dan \(c\):

Rumus umum suku ke-\(n\) untuk barisan aritmetika tingkat dua adalah:

\[U_n = an^2 + bn + c\]

Berdasarkan diagram selisih di atas, kita dapat menentukan nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) dengan menyusun persamaan berikut:

(1)  Menentukan nilai \(a\) (dari selisih tingkat 2):
\(2a = 3\)
\(a = \dfrac{3}{2}\)

(2)  Menentukan nilai \(b\) (dari selisih pertama tingkat 1):
\(3a + b = 6\)
\(3\left(\dfrac{3}{2}\right) + b = 6\)
\(\dfrac{9}{2} + b = 6\)
\(b = 6 – \dfrac{9}{2} = \dfrac{12 – 9}{2} = \dfrac{3}{2}\)

(3)  Menentukan nilai \(c\) (dari suku pertama):
\(a + b + c = 3\)
\(\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} + c = 3\)
\(\dfrac{6}{2} + c = 3\)
\(3 + c = 3 \implies c = 0\)

Sehingga, diperoleh rumus umum suku ke-\(n\) (\(U_n\)):
\[U_n = \dfrac{3}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n\]

(4) Menghitung Banyak Korek Api pada Pola ke-8 (\(U_8\)):
Substitusikan nilai \(n = 8\) ke dalam rumus umum:
\[U_8 = \dfrac{3}{2}(8)^2 + \dfrac{3}{2}(8)\] \[U_8 = \dfrac{3}{2}(64) + \dfrac{3}{2}(8)\] \[U_8 = (3 \times 32) + (3 \times 4)\] \[U_8 = 96 + 12 = 108\]

Jadi, banyaknya batang korek api yang dibutuhkan pada pola ke-8 adalah 108.

Jawaban: C

(1) Pemahaman Konsep Diagonal Bangun Segi-\(n\):
Diagonal adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak bersebelahan.

Untuk menemukan rumus banyaknya diagonal pada bangun segi-\(n\):

• Banyak diagonal yang dapat dibentuk dari 1 titik = \((n \:-\:3)\)
• Karena ada \(n\) buah titik sudut, total tarikan garis adalah = \(n \times (n \:-\: 3)\).
• Setiap garis diagonal menghubungkan 2 titik (artinya terhitung 2 kali bolak-balik), sehingga hasilnya harus dibagi 2.

Rumus umum banyaknya diagonal pada segi-\(n\) adalah:
\[D_n = \dfrac{n(n \:-\:3)}{2}\]

(2) Pembuktian Pola pada Soal:
Mari kita cocokkan rumus tersebut dengan gambar pada soal:

• Segi-4 (\(n = 4\)): \(D_4 = \dfrac{4 \times (4 \:-\:3)}{2} = \dfrac{4 \times 1}{2} = 2\) diagonal \(\checkmark\)
• Segi-5 (\(n = 5\)): \(D_5 = \dfrac{5 \times (5 \:-\: 3)}{2} = \dfrac{5 \times 2}{2} = 5\) diagonal \(\checkmark\)
• Segi-6 (\(n = 6\)): \(D_6 = \dfrac{6 \times (6 \:-\: 3)}{2} = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9\) diagonal \(\checkmark\)

(3) Menghitung Jumlah Diagonal Segi-20 (\(n = 20\)):
Substitusikan nilai \(n = 20\) ke dalam rumus:
\[D_{20} = \dfrac{20 \times (20 \:-\: 3)}{2}\] \[D_{20} = \dfrac{20 \times 17}{2}\] \[D_{20} = 10 \times 17 = 170\]

Jadi, banyaknya garis diagonal yang dapat dibuat pada bangun segi-20 adalah 170.

Jawaban: C

Untuk menghitung total batang korek api secara presisi, kita dapat menganalisis komponen penyusun grid \(n \times n\):

Cara 1: Analisis Komponen Geometri (Konseptual & Cepat)

Setiap susunan grid \(n \times n\) terdiri dari 3 kelompok batang korek api:

(1)  Batang mendatar (horizontal):
Terdapat \((n + 1)\) baris mendatar, dan setiap baris membutuhkan \(n\) batang korek api.

\(\text{Jumlah} = n(n + 1)\)

(2)  Batang tegak (vertikal):
Terdapat \((n + 1)\) kolom tegak, dan setiap kolom membutuhkan \(n\) batang korek api.

\(\text{Jumlah} = n(n + 1)\)

(3)  Batang diagonal:
Terdapat \(n^2\) buah kotak kecil (\(1 \times 1\)), dan setiap kotak berisi 2 batang diagonal.

\(\text{Jumlah} = 2n^2\)

Rumus umum total batang korek api (\(U_n\)):
\[U_n = \text{horizontal} + \text{vertikal} + \text{diagonal}\] \[U_n = n(n + 1) + n(n + 1) + 2n^2\] \[U_n = 2n(n + 1) + 2n^2\] \[U_n = 2n^2 + 2n + 2n^2\] \[U_n = 4n^2 + 2n\]

Cara 2: Pembuktian Lewat Barisan Aritmetika Bertingkat Dua
Mari kita hitung jumlah batang korek api tiap pola dari data gambar:

Pola 1 (\(n = 1\)) = 6 batang

Pola 2 (\(n = 2\)) = 20 batang

Pola 3 (\(n = 3\)) = 42 batang

Analisis selisih antar-suku:

Gunakan rumus koefisien barisan bertingkat dua (\(U_n = an^2 + bn + c\)):

• \(2a = 8 \implies a = 4\)
• \(3a + b = 14 \implies 3(4) + b = 14 \implies 12 + b = 14 \implies b = 2\)
• \(a + b + c = 6 \implies 4 + 2 + c = 6 \implies c = 0\)

Diperoleh rumus terbukti konsisten: \[U_n = 4n^2 + 2n\]

(3) Menghitung Pola ke-6 (\(U_6\) untuk Grid \(6 \times 6\)):
Substitusikan nilai \(n = 6\) ke dalam rumus umum:
\[U_6 = 4(6)^2 + 2(6)\] \[U_6 = 4(36) + 12\] \[U_6 = 144 + 12 = 156\]

Jadi, banyaknya batang korek api yang dibutuhkan untuk menyusun pola ke-6 adalah 156.

Jawaban: D

(1) Menentukan Ukuran Pola (\(n\)) dari Ubin Biru:
Ubin biru berbentuk persegi dengan ukuran sisi \(n \times n\).
\[\text{Jumlah ubin biru} = n^2\] \[144 = n^2 \implies n = \sqrt{144} = 12\] Jadi, kolam berada pada pola ke-12 (\(n = 12\)).

(2) Menentukan Rumus Ubin Putih (\(W_n\)):
Jumlah ubin putih adalah selisih antara luas persegi besar/luar \((n + 2) \times (n + 2)\) dengan luas ubin biru di tengah (\(n^2\)):
\[W_n = (n + 2)^2 \:-\:n^2\] \[W_n = (n^2 + 4n + 4) \:-\: n^2\] \[W_n = 4n + 4\]

(Logika cepat: 4 sisi luar masing-masing sepanjang \(n\) ubin, ditambah 4 ubin di tiap pojok/sudut).

(3) Menghitung Jumlah Ubin Putih untuk \(n = 12\):
Substitusikan nilai \(n = 12\) ke dalam rumus:
\[W_{12} = 4(12) + 4\] \[W_{12} = 48 + 4 = 52\]

Jadi, banyaknya ubin putih yang mengelilingi kolam biru adalah 52 buah.

Jawaban: B

(1) Menghitung Banyaknya Siklus Pembelahan (\(n\)):
Konversikan total waktu pengamatan ke dalam satuan menit:
\[\text{Total waktu} = 2\text{ jam} = 2 \times 60 = 120\text{ menit}\]

Banyaknya frekuensi/siklus pembelahan (\(n\)) yang terjadi setiap 15 menit adalah:
\[n = \dfrac{\text{total waktu}}{\text{interval pembelahan}} = \dfrac{120\text{ menit}}{15\text{ menit}} = 8\text{ kali pembelahan}\]

(2) Menyusun Model Pertumbuhan Geometri:
Proses pembelahan bakteri ini mengikuti pola Pertumbuhan Eksponensial (Geometri):

• Jumlah bakteri awal (\(a\)) = 1 sel
• Rasio pembelahan (\(r\)) = 3 (setiap sel membelah menjadi 3 sel)

Rumus umum jumlah bakteri setelah \(n\) kali pembelahan:
\[N_n = a \times r^n\]

(3) Menghitung Jumlah Bakteri Setelah 8 Kali Pembelahan (\(N_8\)):
Substitusikan nilai \(a = 1\), \(r = 3\), dan \(n = 8\):
\[N_8 = 1 \times 3^8\] \[N_8 = 3^8\] \[N_8 = 81 \times 81 = 6.561\]

Jadi, jumlah total sel bakteri setelah 2 jam pengamatan adalah 6.561 sel.

Jawaban: C

(1) Memahami Pola Penyusutan Luas Biru:
Ketika setiap segitiga biru dibagi menjadi 4 bagian sama besar dan 1 bagian tengahnya dikosongkan (diubah menjadi putih), maka tersisa 3 dari 4 bagian (\(\frac{3}{4}\) bagian) yang tetap berwarna biru.

Artinya, pada setiap tahapan pola, luas daerah berwarna biru menyusut dengan rasio (\(r\)):
\[r = \dfrac{3}{4}\]

(2) Menyusun Rumus Barisan Geometri:
Diketahui luas awal segitiga sebelum proses fraktal (\(A_0\)) = \(256\text{ cm}^2\).

• Pola 1 (\(U_1\)) = \(256 \times \dfrac{3}{4} = 192\text{ cm}^2\)
• Pola 2 (\(U_2\)) = \(192 \times \dfrac{3}{4} = 144\text{ cm}^2\)

Rumus umum luas daerah biru pada pola ke-\(n\) adalah:
\[U_n = A_0 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\]

(3) Menghitung Luas Daerah Biru pada Pola ke-4 (\(U_4\)):
Substitusikan nilai \(n = 4\) ke dalam rumus:
\[U_4 = 256 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^4\] \[U_4 = 256 \times \dfrac{3^4}{4^4}\] \[U_4 = 256 \times \dfrac{81}{256}\] \[U_4 = 81\text{ cm}^2\]

Jadi, luas daerah yang tetap berwarna biru pada pola ke-4 adalah \(81\text{ cm}^2\).

Jawaban: C

(1) Analisis Pola Barisan Kursi:
Mendaftar jumlah kursi pada setiap baris:

• Baris 1 (\(U_1\)) = 10 kursi
• Baris 2 (\(U_2\)) = 14 kursi
• Baris 3 (\(U_3\)) = 20 kursi
• Baris 4 (\(U_4\)) = 28 kursi

Berikut diagram selisih antar-suku bertingkat:

Karena selisih pada tingkat kedua konstan (tetap = 2), susunan kursi ini merupakan Barisan Aritmetika Tingkat Dua.

(2) Menentukan Nilai \(a\), \(b\), dan \(c\):
Rumus umum barisan aritmetika tingkat dua adalah:
\[U_n = an^2 + bn + c\]

Berdasarkan diagram selisih di atas:

1. Menentukan nilai \(a\) (dari selisih tingkat 2):
   \[2a = 2 \implies a = 1\]
2. Menentukan nilai \(b\) (dari selisih pertama tingkat 1):
   \[3a + b = 4\] \[3(1) + b = 4 \implies b = 1\]
3. Menentukan nilai \(c\) (dari suku pertama \(U_1\)):
   \[a + b + c = 10\] \[1 + 1 + c = 10 \implies c = 8\]

Sehingga, diperoleh rumus umum suku ke-\(n\) (\(U_n\)):
\[U_n = n^2 + n + 8\]

(3) Menghitung Jumlah Kursi pada Baris ke-12 (\(U_{12}\)):
Substitusikan nilai \(n = 12\) ke dalam rumus:
\[U_{12} = (12)^2 + 12 + 8\] \[U_{12} = 144 + 12 + 8 = 164\]

Jadi, jumlah kursi yang terdapat pada baris ke-12 adalah 164 kursi.

Jawaban: D

(1) Memahami Pola Barisan Fibonacci:
Panjang sisi setiap persegi pada konstruksi ini mengikuti Barisan Fibonacci, di mana suku berikutnya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya:
\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots\]

Maka, daftar urutan suku Fibonacci (\(F_i\)) adalah:

• \(F_1 = 1\)
• \(F_2 = 1\)
• \(F_3 = 2\)
• \(F_4 = 3\)
• \(F_5 = 5\)
• \(F_6 = 8\)
• \(F_7 = 13\)
• \(F_8 = 21\)
• \(F_9 = 34\)
• \(F_{10} = 55\)

(2) Menganalisis Dimensi Bangun Gabungan:
Setiap kali satu persegi ditambahkan, seluruh gabungan persegi tersebut membentuk sebuah persegi panjang yang panjang dan lebarnya merupakan dua suku Fibonacci berurutan (\(F_{n+1}\) dan \(F_n\)):

• 1 Persegi (\(n = 1\)): persegi \(1 \times 1\) \(\rightarrow\) \(\text{keliling} = 2(1 + 1) = 4\)
• 2 Persegi (\(n = 2\)): persegi panjang \(2 \times 1\) \(\rightarrow\) \(\text{keliling} = 2(2 + 1) = 6\)
• 3 Persegi (\(n = 3\)): persegi panjang \(3 \times 2\) \(\rightarrow\) \(\text{keliling} = 2(3 + 2) = 10\)
• 4 Persegi (\(n = 4\)): persegi panjang \(5 \times 3\) \(\rightarrow\) \(\text{keliling} = 2(5 + 3) = 16\)
• 5 Persegi (\(n = 5\)): persegi panjang \(8 \times 5\) \(\rightarrow\) \(\text{keliling} = 2(8 + 5) = 26\)

(3) Menghitung Keliling Gabungan Persegi ke-8 (\(n = 8\)):
Untuk gabungan hingga persegi ke-8, dimensi persegi panjang yang terbentuk adalah:

• Panjang = suku ke-9 (\(F_9\)) = \(34\)
• Lebar = suku ke-8 (\(F_8\)) = \(21\)

Maka, keliling bangun gabungan persegi tersebut adalah:
\[\text{Keliling} = 2 \times (\text{panjang} + \text{lebar})\] \[\text{Keliling} = 2 \times (34 + 21)\] \[\text{Keliling} = 2 \times 55 = 110\text{ satuan}\]

Jadi, keliling gabungan hingga persegi ke-8 adalah 110 satuan.

Jawaban: D

(1) Analisis Pembagian Wilayah Maksimal (Lazy Caterer’s Sequence):
Agar menghasilkan potongan wilayah terbanyak (maksimal), setiap garis baru yang ditarik harus memotong seluruh garis sebelumnya di titik potong yang berbeda (posisi umum/general position).

Mari kita amati jumlah potongan maksimal yang dihasilkan:

• 0 garis = 1 wilayah (pizza utuh)
• 1 garis = 2 wilayah
• 2 garis = 4 wilayah
• 3 garis = 7 wilayah
• 4 garis = 11 wilayah

Berikut diagram selisih antar-suku bertingkat untuk banyaknya potongan:

Karena selisih pada tingkat kedua konstan (tetap = 1), pola ini merupakan Barisan Aritmetika Tingkat Dua.

(2) Menentukan Rumus Potongan Maksimal oleh \(n\) Garis (\(L_n\)):
Rumus umum potongan bidang maksimal oleh \(n\) garis lurus adalah:
\[L_n = \dfrac{n^2 + n + 2}{2}\]

Atau dapat disederhanakan menjadi:
\[L_n = \dfrac{n(n + 1)}{2} + 1\]

(3) Menghitung Jumlah Potongan untuk 10 Garis (\(n = 10\)):
Substitusikan nilai \(n = 10\) ke dalam rumus:
\[L_{10} = \dfrac{10^2 + 10 + 2}{2}\] \[L_{10} = \dfrac{100 + 10 + 2}{2}\] \[L_{10} = \dfrac{112}{2} = 56\text{ bagian}\]

Jadi, jumlah wilayah potongan pizza maksimal yang dapat terbentuk dari 10 garis lurus adalah 56 bagian.

Jawaban: D

(1) Menganalisis Struktur Piramida per Tingkat:
Piramida 3D dengan tinggi \(n\) disusun oleh lapisan-lapisan kubus berbentuk persegi dari puncak teratas ke dasar terbawah:

• Pola 1 (tinggi 1): terdiri dari 1 lapisan puncak = \(1^2 = 1\) kubus
• Pola 2 (tinggi 2): lapisan puncak (\(1^2\)) + Lapisan dasar (\(2^2\)) = \(1 + 4 = 5\) kubus
• Pola 3 (tinggi 3): lapisan puncak (\(1^2\)) + Lapisan tengah (\(2^2\)) + Lapisan dasar (\(3^2\)) = \(1 + 4 + 9 = 14\) kubus

(2) Menyusun Rumus Jumlah Kuadrat Bilangan Asli (\(U_n\)):
Total kubus pada pola ke-\(n\) merupakan jumlah kuadrat dari \(n\) bilangan asli pertama:
\[U_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2\]

Rumus umum jumlah kuadrat bilangan asli adalah:
\[U_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]

(3) Menghitung Total Kubus untuk Pola ke-6 (\(U_6\)):
Substitusikan nilai \(n = 6\) ke dalam rumus:
\[U_6 = \dfrac{6 \times (6 + 1) \times (2(6) + 1)}{6}\] \[U_6 = \dfrac{6 \times 7 \times (12 + 1)}{6}\] \[U_6 = \dfrac{6 \times 7 \times 13}{6}\] \[U_6 = 7 \times 13 = 91\text{ kubus}\]

Jadi, jumlah kotak kubus kecil penyusun piramida 3D pada pola ke-6 adalah 91 kubus.

Jawaban: D