Benang Lurus
Soal Latihan Hukum Newton Tentang Gravitasi 01
Soal 01
Dua buah benda bermassa \( 4\text{ kg} \) dan \( 9\text{ kg} \) terpisah pada jarak \( 2\text{ m} \). Tentukan besar gaya tarik-menarik gravitasi antara kedua benda tersebut! (Gunakan \( G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 \))
Diketahui:
\( m_1 = 4\text{ kg} \)
\( m_2 = 9\text{ kg} \)
\( r = 2\text{ m} \)
Rumus gaya gravitasi:
\[ F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \] \[ F = (6{,}67 \times 10^{-11}) \dfrac{4 \times 9}{2^2} \] \[ F = (6{,}67 \times 10^{-11}) \dfrac{36}{4} \] \[ F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 9 = 6{,}003 \times 10^{-10}\text{ N} \]
Jawaban:
Besar gayanya adalah \( 6{,}003 \times 10^{-10}\text{ N} \).
Soal 02
Dua benda mula-mula mengalami gaya tarik gravitasi sebesar \( F \). Jika jarak kedua benda diperbesar menjadi \( 3 \) kali lipat dari jarak semula, berapakah besar gaya gravitasi yang baru?
Berdasarkan rumus \( F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \), besar gaya gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (\( F \propto \dfrac{1}{r^2} \)):
\[ \dfrac{F_2}{F_1} = \left( \dfrac{r_1}{r_2} \right)^2 \] \[ \dfrac{F_2}{F} = \left( \dfrac{r}{3r} \right)^2 \] \[ \dfrac{F_2}{F} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 = \dfrac{1}{9} \] \[ F_2 = \dfrac{1}{9}F \]
Jawaban:
Gaya gravitasi menjadi \( \dfrac{1}{9}F \) dari semula.
Soal 03
Dua benda bermassa \( m_A = 4\text{ kg} \) dan \( m_B = 9\text{ kg} \) terpisah sejauh \( 10\text{ meter} \). Di manakah posisi benda ketiga \( m_C \) harus diletakkan pada garis hubung kedua benda agar gaya gravitasi total yang dialaminya sama dengan nol?
Misalkan jarak benda \( C \) dari benda \( A \) adalah \( x \), maka jaraknya dari benda \( B \) adalah \( (10 \:-\:x) \).
Agar resultan gaya pada benda \( C \) bernilai nol (\( F_{CA} = F_{CB} \)):
\[ G \dfrac{m_A \cdot m_C}{x^2} = G \dfrac{m_B \cdot m_C}{(10 \:-\: x)^2} \] \[ \dfrac{m_A}{x^2} = \dfrac{m_B}{(10\:-\: x)^2} \] \[ \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{9}{(10 \:-\: x)^2} \]
Akar-kuadratkan kedua sisi ruas:
\[ \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{(10 \:-\: x)^2}} \] \[ \dfrac{2}{x} = \dfrac{3}{10 \:-\: x} \] \[ 2(10 \:-\: x) = 3x \] \[ 20\:-\:2x = 3x \] \[ 5x = 20 \Rightarrow x = 4\text{ m} \]
Jawaban:
Benda \( C \) diletakkan pada jarak \( 4\text{ m} \) dari benda \( A \) (atau \( 6\text{ m} \) dari benda \( B \)).
Soal 04
Suatu planet memiliki massa \( 6 \times 10^{24}\text{ kg} \) dan jari-jari \( 6 \times 10^6\text{ m} \). Tentukan percepatan gravitasi di permukaan planet tersebut! (Gunakan \( G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 \))
\[ g = G \dfrac{M}{R^2} \] \[ g = (6{,}67 \times 10^{-11}) \dfrac{6 \times 10^{24}}{(6 \times 10^6)^2} \] \[ g = (6{,}67 \times 10^{-11}) \dfrac{6 \times 10^{24}}{36 \times 10^{12}} \] \[ g = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \left( \dfrac{1}{6} \times 10^{12} \right) \] \[ g = \dfrac{6{,}67 \times 10^1}{6} = \dfrac{66{,}7}{6} \approx 11{,}12\text{ m/s}^2 \]
Jawaban:
Percepatan gravitasinya adalah \( \approx 11{,}12\text{ m/s}^2 \).
Soal 05
Jika percepatan gravitasi di permukaan Bumi bernilai \( g = 10\text{ m/s}^2 \), tentukan percepatan gravitasi di suatu titik yang berada pada ketinggian \( h = R \) di atas permukaan Bumi (dengan \( R \) adalah jari-jari Bumi)!
Jarak titik dari pusat bumi adalah \( r = R + h = R + R = 2R \).
\[ \dfrac{g_h}{g} = \left( \dfrac{R}{R + h} \right)^2 \] \[ \dfrac{g_h}{10} = \left( \dfrac{R}{2R} \right)^2 \] \[ \dfrac{g_h}{10} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{4} \] \[ g_h = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\text{ m/s}^2 \]
Jawaban:
Percepatan gravitasinya adalah \( 2{,}5\text{ m/s}^2 \).
Soal 06
Berat seorang astronot di permukaan Bumi adalah \( 600\text{ N} \). Tentukan berat astronot tersebut ketika berada di dalam pesawat yang mengorbit pada ketinggian \( 2R \) di atas permukaan Bumi!
Berat benda berbanding lurus dengan percepatan gravitasi (\( W = mg \)), sehingga:
\[ \dfrac{W_h}{W} = \left( \dfrac{R}{R + h} \right)^2 \] \[ \dfrac{W_h}{600} = \left( \dfrac{R}{R + 2R} \right)^2 \] \[ \dfrac{W_h}{600} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \] \[ W_h = \dfrac{600}{9} \approx 66{,}67\text{ N} \]
Jawaban:
Berat astronot tersebut menjadi \( \approx 66{,}67\text{ N} \).
Soal 07
Planet X memiliki massa \( 2 \) kali massa Bumi dan jari-jari \( 2 \) kali jari-jari Bumi. Jika percepatan gravitasi di permukaan Bumi adalah \( 10\text{ m/s}^2 \), berapakah percepatan gravitasi di permukaan planet X?
Perbandingan rumus percepatan gravitasi:
\[ \dfrac{g_X}{g_B} = \left( \dfrac{M_X}{M_B} \right) \left( \dfrac{R_B}{R_X} \right)^2 \] \[ \dfrac{g_X}{10} = \left( \dfrac{2M_B}{M_B} \right) \left( \dfrac{R_B}{2R_B} \right)^2 \] \[ \dfrac{g_X}{10} = 2 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 \] \[ \dfrac{g_X}{10} = 2 \times \dfrac{1}{4} = \frac{1}{2} \] \[ g_X = \dfrac{10}{2} = 5\text{ m/s}^2 \]
Jawaban:
Percepatan gravitasi planet X adalah \( 5\text{ m/s}^2 \).
Soal 08
Sebuah satelit mengorbit Bumi pada lintasan yang sangat dekat dengan permukaan Bumi. Jika jari-jari Bumi \( R = 6{,}4 \times 10^6\text{ m} \) dan \( g = 10\text{ m/s}^2 \), hitung kelajuan orbit satelit tersebut!
Untuk orbit di dekat permukaan (\( r \approx R \)):
\[ v = \sqrt{g R} \] \[ v = \sqrt{10 \times (6{,}4 \times 10^6)} \] \[ v = \sqrt{64 \times 10^6} \] \[ v = 8 \times 10^3\text{ m/s} = 8.000\text{ m/s} = 8\text{ km/s} \]
Jawaban:
Kelajuan orbit satelit adalah \( 8.000\text{ m/s} \) atau \( 8\text{ km/s} \).
Soal 09
Tentukan kecepatan lepas (\( v_{lepas} \)) yang dibutuhkan sebuah roket agar terbebas dari tarikan gravitasi Bumi jika \( g = 10\text{ m/s}^2 \) dan jari-jari Bumi \( R = 6{,}4 \times 10^6\text{ m} \)!
\[ v_{lepas} = \sqrt{2gR} \] \[ v_{lepas} = \sqrt{2 \times 10 \times (6{,}4 \times 10^6)} \] \[ v_{lepas} = \sqrt{128 \times 10^6} = \sqrt{64 \times 2 \times 10^6} \] \[ v_{lepas} = 8 \times 10^3 \sqrt{2}\text{ m/s} \approx 8.000 \times 1{,}414 = 11.312\text{ m/s} \]
Jawaban:
Kecepatan lepasnya adalah \( 8\sqrt{2}\text{ km/s} \) (atau sekitar \( 11{,}31\text{ km/s} \)).
Soal 10
Satelit 1 dan Satelit 2 mengitari Bumi masing-masing pada jari-jari orbit \( R_1 = r \) dan \( R_2 = 4r \).
Tentukan perbandingan kelajuan orbit Satelit 1 dan Satelit 2 (\( v_1 : v_2 \))!
Rumus kelajuan orbit satelit adalah \( v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} \), sehingga \( v \propto \dfrac{1}{\sqrt{r}} \):
\[ \dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{R_2}{R_1}} \] \[ \dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{4r}{r}} = \sqrt{4} = \dfrac{2}{1} \] \[ v_1 : v_2 = 2 : 1 \]
Jawaban:
Perbandingan kelajuan orbitnya adalah \( 2 : 1 \).