A. Hukum Gravitasi Newton (Gaya Tarik-Menarik)

Besar gaya gravitasi antara dua massa:

\[ F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \]

B. Percepatan Gravitasi (Kuat Medan Gravitasi)

Di permukaan planet:

\[ g = G \dfrac{M}{R^2} \]

Pada ketinggian \( h \) di atas permukaan planet (\( r = R + h \)):

\[ g_h = G \dfrac{M}{(R + h)^2} \]

Perbandingan percepatan gravitasi pada dua titik berbeda:

\[ \dfrac{g_1}{g_2} = \left( \dfrac{r_2}{r_1} \right)^2 \quad \text{atau} \quad \dfrac{g_h}{g} = \left( \dfrac{R}{R + h} \right)^2 \]

C. Kecepatan Satelit & Kecepatan Lepas

Kecepatan orbit satelit:

\[ v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{g R} \]

Kecepatan lepas (agar lepas dari gravitasi planet):

\[ v_{lepas} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR} \]

Keterangan Variabel & Satuan (SI):

\( F \) = Gaya gravitasi (\( \text{N} \))

\( G \) = Konstanta gravitasi umum (\( 6{,}673 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 \))

\( M, m \) = Massa planet / benda (\( \text{kg} \))

\( R \) = Jari-jari planet (\( \text{m} \))

\( h \) = Ketinggian dari permukaan (\( \text{m} \))

\( r \) = Jarak dari pusat planet (\( \text{m} \))

\( g \) = Percepatan gravitasi (\( \text{m/s}^2 \))

\( v \) = Kecepatan (\( \text{m/s} \))

Pembuktian Rumus Kecepatan Orbit Satelit

Konsep Dasar:

Satelit bermassa \( m \) yang mengorbit planet bermassa \( M \) pada lintasan lingkaran berjari-jari \( r \) dipertahankan oleh gaya gravitasi yang berfungsi sebagai gaya sentripetal (\( F_s \)).

Langkah 1: Menyamakan Gaya Sentripetal dengan Gaya Gravitasi

\[ F_s = F_{gravitasi} \]

Langkah 2: Memasukkan Rumus Masing-Masing Gaya

\[ m \dfrac{v^2}{r} = G \dfrac{M m}{r^2} \]

Langkah 3: Menyederhanakan Persamaan

Coret massa satelit (\( m \)) di kedua ruas dan hilangkan satu variabel jarak (\( r \)):

\[ v^2 = \dfrac{GM}{r} \]

Langkah 4: Menarik Akar Kuadrat

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]

(Terbukti untuk kecepatan orbit pada jarak \( r \) dari pusat planet)

Bentuk Lain: Hubungan dengan Percepatan Gravitasi Permukaan (\( g \))

Diketahui percepatan gravitasi di permukaan planet:

\[ g = \dfrac{GM}{R^2} \quad \Rightarrow \quad GM = g R^2 \]

Jika satelit mengorbit sangat dekat dengan permukaan planet (\( r \approx R \)), substitusikan \( GM = g R^2 \) ke dalam rumus kecepatan:

\[ v = \sqrt{\frac{g R^2}{R}} \]

\[ v = \sqrt{g R} \]

(Terbukti untuk satelit di dekat permukaan planet)

Pembuktian Rumus Kecepatan Lepas (Escape Velocity)

Konsep Dasar:

Kecepatan lepas adalah kecepatan awal minimum yang dibutuhkan suatu benda bermassa \( m \) di permukaan planet bermassa \( M \) (berjari-jari \( R \)) agar dapat lepas dari pengaruh medan gravitasi menuju titik tak hingga (\( r = \infty \)).

Pembuktian ini menggunakan Hukum Kekekalan Energi Mekanik.

Langkah 1: Menentukan Energi Mekanik di Dua Kondisi

Kondisi 1 (Di Permukaan Planet):

\[ E_{m1} = E_{k1} + E_{p1} = \dfrac{1}{2}mv^2 + \left( -G\dfrac{Mm}{R} \right) \]

Kondisi 2 (Di Titik Tak Hingga / \( r = \infty \)):

Benda tepat berhenti (\( v = 0 \)) dan berada di luar jangkauan gravitasi (\( r = \infty \)), sehingga:

\[ E_{k2} = 0 \] \[ E_{p2} = -G\frac{Mm}{\infty} = 0 \] \[ E_{m2} = 0 \]

Langkah 2: Menerapkan Hukum Kekekalan Energi Mekanik

\[ E_{m1} = E_{m2} \]

\[ \dfrac{1}{2}mv^2 \:-\:G\dfrac{Mm}{R} = 0 \]

\[ \dfrac{1}{2}mv^2 = G\dfrac{Mm}{R} \]

Langkah 3: Menyederhanakan dan Menghitung Nilai \( v \)

Coret massa benda (\( m \)) di kedua ruas:

\[ \dfrac{1}{2}v^2 = \dfrac{GM}{R} \]

\[ v^2 = \dfrac{2GM}{R} \]

\[ v = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} \]

(Terbukti untuk rumus dasar kecepatan lepas)

Bentuk Lain: Hubungan dengan Percepatan Gravitasi Permukaan (\( g \))

Karena percepatan gravitasi di permukaan adalah:

\[ g = \dfrac{GM}{R^2} \quad \Rightarrow \quad GM = g R^2 \]

Substitusikan nilai \( GM \) ke rumus kecepatan lepas:

\[ v = \sqrt{\dfrac{2(g R^2)}{R}} \]

\[ v = \sqrt{2gR} \]

(Terbukti untuk bentuk berbasis percepatan gravitasi)