Benang Lurus
Benang Lurus
Konsep Dasar dan Pembahasan Soal Anuitas
Anuitas adalah salah satu cara pembayaran atau penerimaan yang dilakukan secara berkala dalam jangka waktu tertentu dengan besaran yang tetap, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran.
\(\color{cyan} \text{Anuitas} = \text{angsuran} + \text{bunga}\)
\(\color{cyan} A = a_n + b_n\)
\(A = \text{ anuitas}\)
\(a_n = \text{ angsuran ke − n}\)
\(b_n = \text{ bunga ke − n}\)
Besarnya anuitas dari suatu pinjaman M dengan suku bunga i % per periode selama n periode adalah:
\(\color{cyan} A= \dfrac{M \cdot i}{1\:-\:(1 + i)^{-n}}\)
Keterangan:
\(A = \text{ anuitas}\)
\(M = \text{ modal (besar pinjaman/nilai tunai)}\)
\(i = \text{ persentase bunga dalam tahun/bulan (%)}\)
\(n = \text{ jangka waktu pinjaman}\)
Menghitung besar bunga periode pertama \(b_1\)
\(\color{yellow} b_1 = M \times i\)
\(\color{yellow} b_n = A\:-\:a_n\)
dimana:
\(b_n = \text{ besarnya bunga pada angsuran ke − n}\)
\(b_1\) = besar bunga pada angsuran pertama \(a_1\)
Menghitung besar angsuran \(a_n\)
\(\color{yellow} a_n = a_1 (1 + i)^{n\:-\:1}\)
\(\color{yellow} a_n = A\:-\:b_n\)
dimana:
\(a_n = \text{ besarnya angsuran ke − n}\)
\(a_1 = \text{ besar angsuran pertama}\)
LATIHAN SOAL
Soal 01
Pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 dilunasi dengan anuitas bulanan selama 1,5 tahun dengan suku bunga 2% per bulan, tentukan:
(A) Anuitasnya
(B) Bunga pertama dan angsuran pertama
(C) Bunga dan angsuran ke-15
Diketahui:
\(M\) = Rp20.000.000,00
\(i\) = 2% = 0,02
\(n\) = 1,5 tahun = 18 bulan
(A) Menentukan besar anuitas per bulan
\(\color{cyan} A= \dfrac{M \cdot i}{1\:-\:(1 + i)^{-n}}\)
\(A = \dfrac{20.000.000 \cdot 0,02}{1\:-\:(1 + 0,02)^{-18}}\)
\(A = \dfrac{400.000}{1\:-\:(1,02)^{-18}}\)
\(A = \dfrac{400.000}{0,29984}\)
\(A = 1.334.044,82\)
Jadi, besarnya anuitas Rp1.334.044,82 (cicilan per bulan)
(B) Menentukan bunga pertama dan angsuran pertama
Bunga pertama \(\color{cyan} b_1 = M \cdot i\)
\(b_1 = 20.000.000 \cdot 0,02\)
\(b_1 = 400.000\)
Angsuran pertama \(\color{cyan} a_1 = A \:-\: b_1\)
\(a_1 = 1.334.044,82 \:-\: 400.000\)
\(a_1 = 934.044,82\)
Jadi, bunga pertama Rp400.000,00 dan angsuran pertama Rp934.044,82
(C) Menghitung bunga dan angsuran ke-15
Besar angsuran ke-n rumusnya \(\color{cyan} a_n = a_1(1 + i)^{n\:-\:1}\)
\(a_{15} = a_1(1 + i)^{15\:-\:1}\)
\(a_{15} = 934.044,82(1 + 0,02)^{14}\)
\(a_{15} = 934.044,82(1,02)^{14}\)
\(a_{15} = 1.232.452,304\)
Menghitung bunga ke-15
\(b_{15} = A\:-\: a_{15}\)
\(b_{15} = 1.334.044,82\:-\: 1.232.452,304\)
\(b_{15} = 101.592,516\)
Jadi besar angsuran ke-15 adalah Rp1.232.452,304 dan bunga ke-15 adalah Rp101.592,516
Soal 02
Pak Joko meminjam uang di Bank sebesar Rp20.000.000,00 dengan bunga 12% per tahun. Pinjaman tersebut akan dilunasi dalam waktu 2 tahun.
Tentukan:
(A) Besar anuitas yang harus dibayar setiap bulannya.
(B) Besar angsuran pertama
(C) Besar angsuran ke-10
Diketahui:
\(M = \text{ Rp20.000.000,00}\)
\(i = \dfrac{12 \%}{1 \text{ tahun}} = \dfrac{0,12}{\text{ 12 bulan}} = \dfrac{0,01}{\text{ 1 bulan}}\)
\(n = \text{ 2 tahun} = 24 \text{ bulan}\)
(A) Menghitung besar anuitas yang harus dibayar setiap bulannya
\(\color{cyan} A= \dfrac{M \cdot i}{1\:-\:(1 + i)^{-n}}\)
\(A= \dfrac{20.000.000 \cdot 0,01}{1\:-\:(1 +0,01)^{-24}}\)
\(A= \dfrac{200.000}{1\:-\:(1,01)^{-24}}\)
\(A= \dfrac{200.000}{0,2124338726}\)
\(A= 941.469,44\)
Jadi, besar anuitas yang harus dibayarkan Rp941.469,44
(B) Menghitung besar angsuran pertama
Hitung dahulu besar bunga pertama
\(b_1 = M \cdot i\)
\(b_1 = 20.000.000\cdot 0,01\)
\(b_1 = 200.000\)
Bunga pertama Rp200.000,00
Angsuran pertama = anuitas − bunga pertama
\(a_1 = A \:-\: b_1\)
\(a_1 = 941.469,44 \:-\: 200.000\)
\(a_1 = 741.469,44\)
Angsuran pertama Rp741.469,44
(C) Menghitung besar angsuran ke-10
Besar angsuran ke-n rumusnya \(\color{cyan} a_n = a_1(1 + i)^{n\:-\:1}\)
\(a_{10} = 741.469,44(1 + 0,01)^{10\:-\:1}\)
\(a_{10} = 741.469,44(1,01)^{9}\)
\(a_{10} = 810.934,21\)
Angsuran ke-10 Rp810.934,21
Soal 03
Pinjaman Rp2.000.000,00 dilunasi dengan cara anuitas Rp449.254,21 dengan suku bunga 4% per bulan. Buatlah rencana angsurannya.
| Bulan ke | Pinjaman awal | Bunga | Angsuran | Sisa pinjaman akhir bulan |
| 1 | 2.000.000 | 80.000 | ||
| 2 | ||||
| 3 | ||||
| 4 | ||||
| 5 | ||||
| Jumlah | 2.000.000 |
| Bulan ke | Pinjaman awal | Bunga | Angsuran | Sisa pinjaman akhir bulan |
| 1 | 2.000.000 | 80.000 | 369.254,21 | 1.630.745,79 |
| 2 | 1.630.745,79 | 65.229,8316 | 384.024,3784 | 1.246.721,412 |
| 3 | 1.246.721,412 | 49.868,85648 | 399.385,3535 | 847.336,0585 |
| 4 | 847.336,0585 | 33.893,44234 | 415.360,7677 | 431.975,2908 |
| 5 | 431.975,2908 | 17.279,01163 | 431.975,1984 | 0 |
| Jumlah | 2.000.000 |
Soal 04
Perhatikan tabel pelunasan pinjaman berikut.
| Tahun ke | Pinjaman awal tahun | Bunga | Angsuran | Sisa Pinjaman |
| 1 | … | … | Rp550.100,00 | … |
| 2 | Rp2.449.900,00 | … | … | Rp1.880.500,00 |
| 3 | … | … | … | …. |
Sisa pinjaman tahun ke-3 pada tabel di atas adalah…
(A) Rp1.880.500,00
(B) Rp1.814.700,00
(C) Rp1.291.219,00
(D) Rp1.159.600,00
(E) Rp1.119.500,00
Jawaban: C
| Tahun ke | Pinjaman awal tahun | Bunga | Angsuran | Sisa Pinjaman |
| 1 | Rp3.000.000,00 | … | Rp550.100,00 | Rp2.449.900,00 |
| 2 | Rp2.449.900,00 | … | Rp569.400,00 | Rp1.880.500,00 |
| 3 | Rp1.880.500,00 | … | Rp589.280,8725 | Rp1.291.219,128 |
Menghitung persentase bunga pinjaman per tahun
\(\color{yellow} a_n = a_1(1 + i)^{n\:-\:1}\)
\(a_2 = a_1(1 + i)^1\)
\(569.400 = 550.100(1 + i)\)
\(\dfrac{569.400}{550.100} = 1 + i\)
\(1,035 = 1 + i\)
\(i = 0,035\)
Menghitung besar angsuran pada tahun ke-3
\(\color{yellow} a_n = a_1(1 + i)^{n\:-\:1}\)
\(a_3 = a_1(1 + i)^{3\:-\:1}\)
\(a_3 = 550.100(1 + 0,035)^{2}\)
\(a_3 = 550.100(1,035)^{2}\)
\(a_3 = 589.280,8725\)
Soal 05
Perhatikan tabel pelunasan berikut!
| Tahun ke | Pinjaman awal tahun | Bunga | Angsuran | Sisa Pinjaman |
| 1 | Rp200.000,00 | Rp10.000,00 | …. | Rp165.000,00 |
| 2 | Rp165.000,00 | Rp8.250,00 | … | Rp128.250,00 |
| 3 | Rp128.250,00 | … | … | Rp89.662,50 |
Besar angsuran ke-3 adalah…
(A) Rp32.175,00
(B) Rp35.000,00
(C) Rp36.750,00
(D) Rp38.587,50
(E) Rp41.412,50
Jawaban: D
| Tahun ke | Pinjaman awal tahun | Bunga | Angsuran | Sisa Pinjaman |
| 1 | Rp200.000,00 | Rp10.000,00 | Rp35.000,00 | Rp165.000,00 |
| 2 | Rp165.000,00 | Rp8.250,00 | … | Rp128.250,00 |
| 3 | Rp128.250,00 | … | … | Rp89.662,50 |
Menghitung persentase bunga per tahun
\(b_1 = M \cdot i\)
\(10.000 = 200.000 \cdot i\)
\(i = 0,05\)
Menghitung besar angsuran pada tahun ke-3
\(\color{cyan} a_n = a_1(1 + i)^{n\:-\:1}\)
\(a_3 = a_1(1 + i)^{3\:-\:1}\)
\(a_3 = 35.000(1 + 0,05)^{2}\)
\(a_3 = 35.000(1,05)^{2}\)
\(a_3 = 38.587,50\)
Soal 06
Pak Joko memiliki pinjaman sebesar M akan dilunasi dengan anuitas. Jika angsuran pertama Rp2.500.000,00 dan dengan bunga 8% per tahun serta jangka pembayaran 10 tahun, besar pinjaman adalah…
(A) Rp36.215.455,89
(B) Rp37.000.000,00
(C) Rp37.216.406,20
(D) Rp38.516.500,50
(E) Rp39.526.465,09
Jawaban: A
Menghitung anuitas
\(A = a_1 + b_1\)
\(A = a_1 + M \cdot i\)
\(A = 2.500.000 + 0,08M\)
\(\color{cyan} A= \dfrac{M \cdot i}{1\:-\:(1 + i)^{-n}}\)
\(\dfrac{0,08M}{1\:-\:(1 + 0,08)^{-10}} = 2.500.000 + 0,08M\)
\(\dfrac{0,08M}{1\:-\:(1,08)^{-10}} = 2.500.000 + 0,08M\)
\(\dfrac{0,08M}{0,5368} = 2.500.000 + 0,08M\)
\(0,1490313 M = 2.500.000 + 0,08M\)
\(0,0690313M = 2.500.000\)
\(M = 36.215.455,89\)
Jadi besar pinjamannya adalah Rp36.215.455,89
Soal 07
Pak Joko meminjam uang di bank sebesar Rp4.200.000,00 dengan suku bunga 2,5% per bulan. Pada bulan pertama sisa pinjamannya Rp3.200.000,00. Nilai anuitas pada pinjaman tersebut adalah…
(A) Rp891.500,00
(B) Rp892.500,00
(C) Rp999.500,00
(D) Rp1.100.000,00
(E) Rp1.105.000,00
Jawaban: E
Besar angsuran pertama = Rp4.200.00 − Rp3.200.000,00
Besar angsuran pertama = Rp1.000.000,00
Bunga pertama = Rp4.200.000 × 0,025 = Rp105.000,00
Anuitas = angsuran pertama + bunga pertama
Anuitas = 1.000.000 + 105.000
Anuitas = Rp1.105.000,00