Benang Lurus
Benang Lurus
Menyelesaian Soal KPK dan FPB
Soal 01
Dua buah bilangan bulat positif, \(P\) dan \(Q\), dinyatakan dalam bentuk faktorisasi prima sebagai berikut:
\(P = 2^a \times 3^2 \times 7^c\)
\(Q = 2^4 \times 3^b \times 5^d\)
Diketahui bahwa Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari bilangan \(P\) dan \(Q\) adalah 72, sedangkan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari kedua bilangan tersebut adalah 25.200.
(a) Tentukan nilai dari eksponen \(a, b, c,\) dan \(d\).
(b) Tentukan nilai \(P\) dan \(Q\).
(c) Tentukan nilai \(\dfrac{P \times Q}{\text{FPB}(P, Q) \times \text{KPK}(P, Q)}\)
Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memahami konsep dasar penyusunan FPB dan KPK melalui faktorisasi prima:
Cara menentukan FPB: pilih faktor persekutuan prima dengan pangkat terkecil.
Cara menentukan KPK: pilih semua faktor prima yang mungkin dengan mengambil pangkat terbesar.
(a) Menentukan nilai dari eksponen \(a, b, c,\) dan \(d\).
\(\text{FPB} = 72 = 8 \times 9 = \mathbf{2^3 \times 3^2}\)
\(\text{KPK} = 25.200 = 252 \times 100 = (2^2 \times 3^2 \times 7) \times (2^2 \times 5^2) = \mathbf{2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1}\)
Nilai \(a = 3; b = 2; c = 1; d = 2\)
(b) Menentukan nilai \(P\) dan \(Q\).
Substitusikan nilai eksponen kembali ke dalam variabel awal:
\[P = 2^3 \times 3^2 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 7 = \mathbf{504}\]
\[Q = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 16 \times 9 \times 25 = \mathbf{3.600}\]
(c) Menentukan rasio
\[\begin{aligned}
P \times Q &= 504 \times 3.600 = \mathbf{1.814.400} \\
\text{FPB} \times \text{KPK} &= 72 \times 25.200 = \mathbf{1.814.400}
\end{aligned}\]
Sehingga rasionya adalah:
\[\dfrac{P \times Q}{\text{FPB}(P, Q) \times \text{KPK}(P, Q)} = \dfrac{1.814.400}{1.814.400} = \mathbf{1}\]
Soal 02
(i) Tentukan faktorisasi prima dari 144 dan 360.
(ii) Tiga buah bilangan bulat positif, \(X\), \(Y\), dan \(Z\), dinyatakan dalam bentuk faktorisasi prima sebagai berikut:
\(X = 2^a \times 3^2\)
\(Y = 2^3 \times 3^b \times 5\)
\(Z = 2^2 \times 3^4 \times 5^c\)
Diketahui bahwa Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari ketiga bilangan tersebut adalah 36, sedangkan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari ketiganya adalah 32.400. Jika terdapat hubungan aljabar bahwa nilai eksponen \(b = c\), tentukan:
(a) Nilai eksponen dari \(a\), \(b\), dan \(c\).
(b) Nilai \(Z\).
(i) Menentukan faktorisasi prima dari 144 dan 360.
\(144 = 16 \times 9 = \mathbf{2^4 \times 3^2}\)
\(360 = 36 \times 10 = (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^3 \times 3^2 \times 5^1}\)
(ii.a) Menentukan nilai eksponen dari \(a\), \(b\), dan \(c\).
Nyatakan nilai FPB dan KPK ke dalam bentuk faktorisasi prima terlebih dahulu.
\(\text{FPB} = 36 = 4 \times 9 = \mathbf{2^2 \times 3^2}\)
\(\text{KPK} = 32.400 = 324 \times 100 = (2^2 \times 3^4) \times (2^2 \times 5^2) = \mathbf{2^4 \times 3^4 \times 5^2}\)
Diperoleh nilai eksponen: \(\mathbf{a = 4}\), \(\mathbf{b = 2}\), dan \(\mathbf{c = 2}\).
(ii.b) Menentukan nilai \(Z\).
\[\begin{aligned}
Z &= 2^2 \times 3^4 \times 5^2 \\
&= 4 \times 81 \times 25 \\
&= (4 \times 25) \times 81 \\
&= 100 \times 81 \\
&= \mathbf{8.100}
\end{aligned}\]
Jadi, nilai \(Z\) adalah 8.100.
Soal 03
Tiga armada bus listrik cepat (rute A, B, dan C) beroperasi dari sebuah terminal pusat yang sama di kota pintar. Selisih waktu keberangkatan antarus untuk masing-masing rute adalah sebagai berikut:
Bus rute A berangkat setiap 8 menit.
Bus rute B berangkat setiap 12 menit.
Bus rute C berangkat setiap 15 menit.
Terminal tersebut memiliki jam operasional yang terbatas, yaitu dibuka mulai pukul 06.00 dan ditutup pukul 22.00 setiap harinya. Diketahui bahwa pada pukul 07.15, ketiga armada bus tersebut berangkat bersama-sama untuk pertama kalinya.
(a) Tentukan setiap berapa jam sekali ketiga bus tersebut berangkat bersama-sama dari terminal.
(b) Pukul berapakah ketiga bus tersebut akan berangkat bersama-sama untuk yang kedua kalinya?
(c) Berapa kali ketiga bus tersebut berangkat bersama-sama dalam satu hari operasional penuh?
Kasus keberangkatan bersama secara berkala merupakan aplikasi dari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Mari kita selesaikan secara bertahap:
(a) Menentukan interval waktu ketiga bus berangkat bersama-sama dari terminal.
Pertama, cari faktorisasi prima dari interval masing-masing rute bus:
\(8 = \mathbf{2^3}\)
\(12 = 4 \times 3 = \mathbf{2^2 \times 3}\)
\(15 = \mathbf{3 \times 5}\)
Nilai KPK dicari dengan mengalikan semua basis prima dengan pangkat terbesar yang muncul:
\[\begin{aligned}
\text{KPK}(8, 12, 15) &= 2^3 \times 3 \times 5 \\
&= 8 \times 3 \times 5 \\
&= \mathbf{120 \text{ menit}}
\end{aligned}\]
Konversikan satuan menit ke dalam jam:
\[120 \text{ menit} = \frac{120}{60} = \mathbf{2 \text{ jam}}\]
Jadi, ketiga bus tersebut akan berangkat bersama-sama setiap 2 jam sekali.
(b) Menentukan waktu ketiga bus berangkat bersama-sama untuk yang kedua kalinya
Diketahui keberangkatan bersama yang pertama terjadi pada pukul 07.15. Maka, keberangkatan bersama berikutnya adalah:
\[\begin{aligned}
\text{Pertemuan kedua} &= 07.15 + 2 \text{ jam} \\
&= \mathbf{09.15 \text{ WIB}}
\end{aligned}\]
(c) Menghitung Frekuensi dalam Sehari
Jam operasional terminal dibatasi dari pukul 06.00 hingga 22.00. Kita dapat mendata seluruh jadwal keberangkatan bersama yang jatuh di dalam rentang waktu tersebut dengan menjumlahkan interval 2 jam secara runtut:
(1) Keberangkatan bersama ke-1: 07.15 (Sesuai jam operasional)
(2) Keberangkatan bersama ke-2: 09.15 (Sesuai jam operasional)
(3) Keberangkatan bersama ke-3: 11.15 (Sesuai jam operasional)
(4) Keberangkatan bersama ke-4: 13.15 (Sesuai jam operasional)
(5) Keberangkatan bersama ke-5: 15.15 (Sesuai jam operasional)
(6) Keberangkatan bersama ke-6: 17.15 (Sesuai jam operasional)
(7) Keberangkatan bersama ke-7: 19.15 (Sesuai jam operasional)
(8) Keberangkatan bersama ke-8: 21.15 (Sesuai jam operasional)
Catatan:
- Jika kita mencari waktu mundur sebelum pukul 07.15, diperoleh pukul \(07.15 – 2 \text{ jam} = 05.15\). Waktu ini tidak valid karena terminal belum dibuka (buka pukul 06.00).
- Jika kita mencari waktu maju setelah pukul 21.15, diperoleh pukul \(21.15 + 2 \text{ jam} = 23.15\). Waktu ini tidak valid karena terminal sudah ditutup (tutup pukul 22.00).
Jadi, dalam satu hari operasional penuh, ketiga rute bus berangkat bersama-sama sebanyak 8 kali.
Soal 04
Pak Danu ingin mengemas bantuan sembako untuk dibagikan secara merata kepada sejumlah warga yang membutuhkan di lingkungannya. Setiap paket bantuan harus berisi beras, minyak goreng, dan gula pasir dengan komposisi yang sama banyak. Persediaan awal barang-barang di gudang Pak Danu adalah sebagai berikut:
Beras: 162 kg
Minyak goreng: 115 liter
Gula pasir: 243 kg
Setelah seluruh persediaan dikemas ke dalam sejumlah paket bantuan dengan kapasitas maksimum, Pak Danu mencatat hal-hal berikut:
(1) Terdapat sisa beras sebanyak 12 kg yang tidak dapat dikemas.
(2) Minyak goreng mengalami kekurangan sebanyak 5 liter, sehingga Pak Danu harus membeli kekurangannya terlebih dahulu agar seluruh paket terisi merata.
(3) Terdapat sisa gula pasir sebanyak 3 kg yang tidak dapat dikemas.
(a) Tentukan jumlah paket sembako terbanyak yang dapat dibuat oleh Pak Danu.
(b) Berapakah takaran masing-masing komoditas (beras, minyak goreng, dan gula pasir) di dalam setiap paket sembako tersebut?
Untuk menyelesaikan pembagian merata dengan sisa atau kekurangan barang, langkah pertama adalah menyesuaikan jumlah barang agar diperoleh angka riil yang dapat dibagi habis tanpa sisa.
Menghitung Jumlah Barang yang Dikemas
Beras: Karena terdapat sisa 12 kg, maka beras yang berhasil dikemas adalah:
\[\text{Beras dikemas} = 162 \text{ kg} \:-\: 12 \text{ kg} = \mathbf{150 \text{ kg}}\]
Minyak Goreng: Karena kekurangan 5 liter dan harus dibeli lagi, maka minyak goreng yang dikemas adalah:
\[\text{Minyak dikemas} = 115 \text{ liter} + 5 \text{ liter} = \mathbf{120 \text{ liter}}\]
Gula Pasir: Karena terdapat sisa 3 kg, maka gula pasir yang berhasil dikemas adalah:
\[\text{Gula dikemas} = 243 \text{ kg} \:-\: 3 \text{ kg} = \mathbf{240 \text{ kg}}\]
(a) Menentukan jumlah paket sembako terbanyak yang dapat dibuat oleh Pak Danu.
Jumlah paket terbanyak yang dapat dibuat merupakan nilai FPB dari kuantitas riil ketiga barang tersebut (\(150\), \(120\), dan \(240\)).
Lakukan faktorisasi prima:
\(150 = 15 \times 10 = \mathbf{2 \times 3 \times 5^2}\)
\(120 = 12 \times 10 = \mathbf{2^3 \times 3 \times 5}\)
\(240 = 24 \times 10 = \mathbf{2^4 \times 3 \times 5}\)
Untuk menentukan FPB, pilih faktor prima persekutuan dengan pangkat terkecil.
\[\begin{aligned}
\text{FPB}(150, 120, 240) &= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \\
&= 2 \times 3 \times 5 \\
&= \mathbf{30 \text{ paket sembako}}
\end{aligned}\]
Jadi, jumlah paket sembako terbanyak yang dapat dibuat oleh Pak Danu adalah 30 paket.
(b) Menentukan takaran masing-masing komoditas (beras, minyak goreng, dan gula pasir) di dalam setiap paket sembako tersebut
Bagi jumlah riil masing-masing komoditas dengan total paket sembako (\(30\)):
Kandungan beras per paket:
\[\text{Beras} = \dfrac{150 \text{ kg}}{30 \text{ paket}} = \mathbf{5 \text{ kg}}\]
Kandungan minyak goreng per paket:
\[\text{Minyak goreng} = \dfrac{120 \text{ liter}}{30 \text{ paket}} = \mathbf{4 \text{ liter}}\]
Kandungan gula pasir per paket:
\[\text{Gula pasir} = \dfrac{240 \text{ kg}}{30 \text{ paket}} = \mathbf{8 \text{ kg}}\]
Jadi, setiap paket bantuan akan berisi 5 kg beras, 4 liter minyak goreng, dan 8 kg gula pasir.