Jawaban: E

Banyaknya cara memilih 3 orang siswa dengan syarat tidak mendapatkan pasangan yang sedang berpacaran adalah:

Bebas − terpilih sepasang siswa yang sedang berpacaran

\(\text{C}^{40}_3\:-\: \text{C}^{3}_1\times\text{C}^{38}_1\)

\(9880\:-\: 3 \times 38\)

\(9880\:-\: 114\)

\(9766\)

Jawaban: D

Banyaknya cara tiga orang masuk melalui pintu yang sama = \(\text{C}^6_1\)

Banyaknya cara tiga orang keluar melalui pintu yang berbeda = \(\text{C}^6_3 \times 3!\)

Jadi, banyaknya kemungkinan yang terjadi adalah \(\text{C}^6_1 \times \text{C}^6_3 \times 3! = 720\text{ cara}\)

Jawaban: C

Kemungkinan 1

Dari soal nomor 9 dan 10 hanya salah satu yang dikerjakan

Banyaknya cara = \(\text{C}^2_1 \times \text{C}^8_4 = 140\)

Kemungkinan 2

Soal nomor 9 dan 10 semua dikerjakan

Banyaknya cara = \(\text{C}^2_2 \times \text{C}^8_3 = 56\)

Jadi, banyak cara memilih soal untuk dikerjakan adalah 140 + 56 = 196

Jawaban: E

Banyak cara mengatur posisi duduk keenam orang dalam posisi melingkar dengan syarat Budi dan Endang tidak duduk bersebelahan adalah:

Posisi bebas − Budi dan Endang duduk bersebelahan

(6 − 1)! − [(5 − 1)! × 2!]

5! − 4! × 2!

120 − 48 = 72 cara

Jawaban: B

Banyaknya cara memilih 1 orang pria dan 2 orang wanita dari 4 siswa laki-laki yang ada dan 3 siswa perempuan yang ada adalah:

\(\textbf{C}^4_1 \times \textbf{C}^3_2\)

\(\dfrac{4!}{(4 \:-\:1)!\cdot 1!} \times \dfrac{3!}{(3\:-\:2)!\cdot 2!}\)

\(\dfrac{4!}{3!\cdot 1} \times \dfrac{3!}{1\cdot 2!}\)

\(\dfrac{4\times \cancel{3!}}{\cancel{3!}} \times \dfrac{3\times \cancel{2!}}{\cancel{2!}}\)

\(4 \times 3 = 12 \text{ cara}\)

Jawaban: B

2 ekstra toping dipilih Jono dari 5 ekstra toping yang tersedia yaitu v, w, x, y, dan z

Banyaknya cara memilih adalah:

\(^5\text{C}_2 = \dfrac{5!}{(5 – 2)!\cdot 2!}\)

\(^5\text{C}_2 = \dfrac{5!}{3!\cdot 2!}\)

\(^5\text{C}_2 = \dfrac{5\cdot \cancelto{2}{4} \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}\cdot \cancel{2}} = 10\)

Jadi ada 10 kombinasi yang berbeda yang dapat Jono pilih

Jawaban: A

Permainan akan berakhir seri jika keduanya tepat sasaran atau keduanya tidak tepat sasaran

Peluang bahwa permainan akan berakhir seri = (peluang Malik tepat sasaran × peluang Ali tepat sasaran) + (peluang Malik tidak tepat sasaran × peluang Ali tidak tepat sasaran)

Peluang bahwa permainan akan berakhir seri = (0,65 × 0,45) + [(1 − 0,65) × (1 − 0,45)]

Peluang bahwa permainan akan berakhir seri = 0,2925 + (0,35 × 0,55)

Peluang bahwa permainan akan berakhir seri = 0,2925 + 0,1925 = 0,4850

Jawaban: B

Jawaban: C

Misal tiga buah bilangan tersebut adalah x, y, dan z

Rata-rata tiga buah bilangan adalah 18

\(\dfrac{x + y + z}{3} = 18\)

\(x + y + z = 54\dotso\dotso (1)\)

Jika salah satu bilangan diganti dengan 18, maka rata-ratanya bertambah 2

Misal bilangan yang diganti adalah \(z\)

\(\dfrac{x + y + 18}{3} = 18 + 2\)

\(x + y + 18 = 20 \times 3\)

\(x + y = 60\:-\:18 = 42\)

Substitusikan hasil \(x + y = 42\) ke persamaan (1)

\(x + y + z = 54\)

\(42 + z = 54\)

\(z = 54\:-\:42 = 12\)

Jadi, bilangan yang diganti adalah 12, sehingga P = Q

Jawaban: B

Rata-rata awal enam murid yang mengikuti remedial  \(\bar {x}_1\) adalah (30 + 35 + 40 + 45 + 50 + 55) ÷ 6 = 42,5

Menghitung rata-rata nilai murid yang tidak remedial:

\(\bar {x}_{\text{gabungan}} = \dfrac{\bar {x}_1\cdot \text{n}_1 + \bar {x}_2\cdot \text{n}_2}{\text{n}_1 + \text{n}_2}\)

\(78,625 = \dfrac{42,5 \cdot 6 + \bar {x}_2\cdot (40\:-\:6)}{40}\)

\(3145 = 255 + 34\bar {x}_2\)

\(2890 = 34\bar {x}_2\)

\(\bar {x}_2 = 85\)

Rata-rata enam murid setelah mengikuti remedial = 42,5 + 10 = 52,5

Menghitung rata-rata nilai ulangan matematika kelas yang baru

\(\bar {x}_{\text{gabungan}} = \dfrac{\bar {x}_1\cdot \text{n}_1 + \bar {x}_2\cdot \text{n}_2}{\text{n}_1 + \text{n}_2}\)

\(\bar {x}_{\text{gabungan}} = \dfrac{52,5\cdot 6 + 85 \cdot 34}{40}\)

\(\bar {x}_{\text{gabungan}} = \dfrac{315 + 2890}{40}\)

\(\bar {x}_{\text{gabungan}} = \dfrac{3205}{40}\)

\(\bar {x}_{\text{gabungan}} = 80,125\)

Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika di kelas tersebut akan naik sebesar \(80,125 \:-\: 78,625 = 1,5 \text{ poin}\)

Jawaban: D

Mengacak posisi duduk para pria

Banyak cara = \((5\:-\:1)!\)

Mengacak posisi duduk para wanita

Dalam posisi melingkar, setiap wanita akan duduk diantara 2 orang pria. Terdapat 5 slot kursi bagi para wanita itu duduk diantara 2 pria.

Banyak cara = \(^5\text{C}_3 \times 3!\)

Banyak cara mengatur para tamu duduk = \((5\:-\:1)! \times ^5\text{C}_3 \times 3! = 24 \times 60 = 1440 \)

Jawaban: B

Kemungkinan I

Angka yang diletakkan di belakang ada 1 pilihan yaitu 0 karena ada syarat bilangan genap

Angka yang diletakkan di depan ada 5 pilihan yaitu 1, 3, 4, 5, atau 8 yang menyatakan seratusan, tigaratusan, empatratusan, limaratusan, atau delapanratusan

Dari 7 angka yang tersedia sudah dipakai 1 di depan dan 1 di belakang, sehingga angka yang dapat diletakkan di tengah pilihannya tinggal 5

Jadi pada kemungkinan I ini, bilangan genap yang dapat dibentuk ada 5 × 5 × 1 = 25

Kemungkinan II

Angka yang diletakkan di belakang ada 2 pilihan yaitu 4 atau 8 karena ada syarat bilangan genap

Angka yang diletakkan di depan dipilih dari angka 1, 3, 4, 5, atau 8 yang menyatakan  seratusan, tigaratusan, empatratusan, limaratusan, atau delapanratusan. Karena salah satu dari angka 4 atau 8 sudah dipakai di belakang maka tinggal 4 pilihan angka saja

Dari 7 angka yang tersedia sudah dipakai 1 di depan dan 1 di belakang, sehingga angka yang dapat diletakkan di tengah pilihannya tinggal 5

Pada kemungkinan II ini, bilangan genap yang dapat dibentuk ada 4 × 5 × 2 = 40

Jadi, banyaknya bilangan genap dengan angka yang berbeda antara 100 dan 900 yang dibentuk dari angka 0, 1, 3, 4, 5, 8, dan 9 ada 25 + 40 = 65

Jawaban: C

Huruf yang tersedia C, A, D, A, S

Penyusunan kata tanpa huruf A

C, D, S → banyak susunan kata yang dapat dibentuk adalah 3! = 6

Penyusunan kata dengan 1 huruf A

A, C, D → banyak susunan kata yang dapat dibentuk adalah 3! = 6

A, C, S → banyak susunan kata yang dapat dibentuk adalah 3! = 6

A, D, S → banyak susunan kata yang dapat dibentuk adalah 3! = 6

Penyusunan kata dengan 2 huruf A

A, A, C → banyak susunan kata yang dapat dibentuk adalah 3!/2! = 3

A, A, D → banyak susunan kata yang dapat dibentuk adalah 3!/2! = 3

A, A, S → banyak susunan kata yang dapat dibentuk adalah 3!/2! = 3

Total susunan kata yang dapat dibentuk = 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 3 = 33

Jawaban: B

Huruf yang dituliskan di kertas ada 14 yaitu A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N

Huruf vokalnya ada 3 yaitu A, E, dan I

Peluang terambil kertas yang bertuliskan huruf vokal = \(\dfrac{3}{14}\)

Frekuensi harapannya = \(\dfrac{3}{\cancel{14}}\times \cancelto{8}{112} = 24\)

Jawaban: A

Kemungkinan 1: pada pengambilan pertama koin emas tidak terambil

Peluang pertama = \(\dfrac{^5\text{C}_3}{^6\text{C}_3} \times \dfrac{^{12}\text{C}_3}{^{12}\text{C}_3} \times \dfrac{^6\text{C}_2}{^6\text{C}_2}\)

Peluang pertama = \(\dfrac{1}{2}\)

Kemungkinan 2: pada pengambilan pertama koin emas terambil

Peluang kedua = \(\dfrac{^5\text{C}_2\cdot ^1\text{C}_1}{^6\text{C}_3} \times \dfrac{^{11}\text{C}_2\cdot ^1\text{C}_1}{^{12}\text{C}_3} \times \dfrac{^5\text{C}_1\cdot ^1\text{C}_1}{^6\text{C}_2}\)

Peluang kedua = \(\dfrac{1}{24}\)

Peluang total = peluang pertama + peluang kedua

Peluang total = \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{13}{24}\)

Jawaban: B

Misal,

Banyak siswa laki-laki = \(x\)

Banyak siswa perempuan = \(y\)

Peluang siswa laki-laki terpilih menjadi ketua = \(\dfrac{x}{x + y}\)

Peluang siswa perempuan terpilih menjadi ketua = \(\dfrac{y}{x + y}\)

Diketahui peluang siswa laki-laki terpilih sama dengan \(\dfrac {2}{3}\) kali peluang siswa perempuan terpilih.

\(\dfrac{x}{\cancel{x + y}} =\dfrac {2}{3}\times \dfrac{y}{\cancel{x + y}}\)

\(x = \dfrac {2}{3}y\)

Persentase siswa perempuan = \(\dfrac{y}{x + y}\times 100\%\)

Persentase siswa perempuan = \(\dfrac{y}{\dfrac {2}{3}y + y}\times 100\%\)

Persentase siswa perempuan = \(\dfrac{\cancel{y}}{\dfrac {5}{3}\cancel{y}}\times 100\%\)

Persentase siswa perempuan = \(\dfrac{3}{5}\times 100\% = 60\%\)

Jawaban: D

Perhatikan tabel berikut:

Jawaban: B

\(\bar {x}_{\text{gabungan}} = \dfrac{\bar {x_1}\cdot n_1 + \bar {x_2}\cdot n_2}{n_1 + n_2}\)

\(7 = \dfrac{6,5\cdot 8 + \bar {x_2}\cdot 4}{8 +4}\)

\(7 = \dfrac{52 + \bar {x_2}\cdot 4}{12}\:\:\:\:\:\color{cyan}\text{kali silang}\)

\(84 = 52 + \bar {x_2}\cdot 4\)

\(84\:-\:52 = \bar {x_2}\cdot 4\)

\(32 = \bar {x_2}\cdot 4\)

\(\bar {x_2} = \dfrac{32}{4} = 8\)

Jadi, untuk 4 test yang tersisa, Amir harus mendapatkan nilai rata-rata minimal 8,0

Jawaban: C

Karena diketahui nilai modus = 7 dan nilai median = 8, datanya dapat kita susun sebagai berikut:
\(7, 7, 7, 9, x_5, x_6\)

Selanjutnya dari informasi nilai rataan hitung = 9, kita dapat menulis persamaan:

\(\dfrac{7 + 7 + 7 + 9 + x_5 + x_6}{6} = 9\)

\(7 + 7 + 7 + 9 + x_5 + x_6 = 54\)

\(30 + x_5 + x_6 = 54\)

\(x_5 + x_6 = 54\:-\:30\)

\(x_5 + x_6 = 24\)

Agar jangkauan minimum maka data haruslah:

\(7 + 7 + 7 + 9 + 12 +12\)

Jangkauan minimum = data terbesar − data terkecil

Jangkauan minimum = 12 − 7 = 5

Jawaban: A

\(\dfrac {2x + y + 3z}{3} = \dfrac{x + 2z}{2}\:\:\:\:\:\color{cyan}\text{kali silang}\)

\(2(2x + y + 3z) = 3(x + 2z)\)

\(4x + 2y + 6z = 3x + 6z\)

\(x + 2y = 0\)

\(x = – 2y\)

\(x\: : \: 2x + y = -2y\: : \:2(-2y) + y\)

\(-2y\: : \:-3y\:\:\:\:\:\color{cyan}\text{bagi kedua ruas dengan } -y\)

\(2\: : \: 3\)