Langkah Penyelesaian:

Ubah ruas kanan menjadi bilangan berpangkat dengan basis \(5\):
\[
\begin{aligned}
5^{2x \:-\: 7} &= 125 \\
5^{2x \:-\: 7} &= 5^3
\end{aligned}
\] Karena basis kedua ruas sudah sama (\(5\)), samakan nilai pangkatnya:
\[
\begin{aligned}
2x \:-\: 7 &= 3 \\
2x &= 3 + 7 \\
2x &= 10 \implies x = 5
\end{aligned}
\] Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\text{HP} = \lbrace 5 \rbrace\).

Langkah Penyelesaian:

Ingat bahwa \(3 = 3^1\):
\[
\begin{aligned}
3^{x^2 \:-\: 3} &= 3^1 \\
x^2 \:-\: 3 &= 1 \\
x^2 \:-\: 3 \:-\: 1 &= 0 \\
x^2 \:-\: 4 &= 0
\end{aligned}
\] Faktorkan bentuk selisih dua kuadrat \(a^2 \:-\: b^2 = (a + b)(a \:-\: b)\):
\[
\begin{aligned}
(x + 2)(x \:-\: 2) &= 0 \\
x + 2 = 0 &\implies x = -2 \\
x \:-\: 2 = 0 &\implies x = 2
\end{aligned}
\] Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\text{HP} = \lbrace -2, 2 \rbrace\).

Langkah Penyelesaian:

Nyatakan \(8\) sebagai \(2^3\):
\[
\begin{aligned}
2^{x^2 + 5x + 9} &= 2^3 \\
x^2 + 5x + 9 &= 3 \\
x^2 + 5x + 9 \:-\: 3 &= 0 \\
x^2 + 5x + 6 &= 0
\end{aligned}
\] Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
\[
\begin{aligned}
(x + 3)(x + 2) &= 0 \\
x + 3 = 0 &\implies x = -3 \\
x + 2 = 0 &\implies x = -2
\end{aligned}
\] Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\text{HP} = \lbrace -3, -2 \rbrace\).

Langkah Penyelesaian:

Cara Efisien (Gunakan Basis 25):
Perhatikan bahwa \(625 = 25^2\), sehingga persamaan dapat ditulis langsung:
\[
\begin{aligned}
25^{x^2 + 7x \:-\: 6} &= 25^2 \\
x^2 + 7x \:-\: 6 &= 2 \\
x^2 + 7x \:-\: 6 \:-\: 2 &= 0 \\
x^2 + 7x \:-\: 8 &= 0
\end{aligned}
\] Faktorkan persamaan kuadrat:
\[
\begin{aligned}
(x + 8)(x \:-\: 1) &= 0 \\
x + 8 = 0 &\implies x = -8 \\
x \:-\: 1 = 0 &\implies x = 1
\end{aligned}
\] Jadi, nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x = -8\) atau \(x = 1\).

Langkah Penyelesaian:

Gunakan sifat eksponen pecahan \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\):
\[
\begin{aligned}
\left(2^{-1}\right)^{-2x^2 \:-\: 3x} &= 2^{14} \\
2^{(-1)(-2x^2 \:-\: 3x)} &= 2^{14} \\
2^{2x^2 + 3x} &= 2^{14}
\end{aligned}
\] Samakan pangkat pada kedua ruas:
\[
\begin{aligned}
2x^2 + 3x &= 14 \\
2x^2 + 3x \:-\: 14 &= 0
\end{aligned}
\] Faktorkan persamaan kuadrat berkoefisien \(a = 2\):
\[
\begin{aligned}
(2x + 7)(x \:-\: 2) &= 0 \\
2x + 7 = 0 &\implies x = -\frac{7}{2} \\
x \:-\: 2 = 0 &\implies x = 2
\end{aligned}
\] Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\text{HP} = \left\lbrace -\dfrac{7}{2}, 2 \right\rbrace\).

Langkah Penyelesaian:

Ubah kedua ruas ke basis pokok \(4\):
\[
\begin{aligned}
\left(4^{-1}\right)^{x^2 \:-\: 3x \:-\: 6} &= 4^2 \\
4^{-x^2 + 3x + 6} &= 4^2
\end{aligned}
\] Samakan pangkat eksponen:
\[
\begin{aligned}
-x^2 + 3x + 6 &= 2 \\
-x^2 + 3x + 4 &= 0 \\
x^2 \:-\: 3x \:-\: 4 &= 0
\end{aligned}
\] Faktorkan persamaan kuadrat:
\[
\begin{aligned}
(x \:-\: 4)(x + 1) &= 0 \\
x \:-\: 4 = 0 &\implies x = 4 \\
x + 1 = 0 &\implies x = -1
\end{aligned}
\] Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\text{HP} = \lbrace -1, 4 \rbrace\).

Langkah Penyelesaian:

Ingat bahwa \(\sqrt{a^m} = a^{\frac{m}{2}}\) dan \(25 = 5^2\):
\[
\begin{aligned}
5^{\frac{x^2 \:-\: x \:-\: 2}{2}} &= 5^2 \\
\frac{x^2 \:-\: x \:-\: 2}{2} &= 2
\end{aligned}
\] Kalikan kedua ruas dengan \(2\):
\[
\begin{aligned}
x^2 \:-\: x \:-\: 2 &= 4 \\
x^2 \:-\: x \:-\: 6 &= 0
\end{aligned}
\] Faktorkan persamaan kuadrat:
\[
\begin{aligned}
(x \:-\: 3)(x + 2) &= 0 \\
x \:-\: 3 = 0 &\implies x = 3 \\
x + 2 = 0 &\implies x = -2
\end{aligned}
\] Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\text{HP} = \lbrace -2, 3 \rbrace\).

Langkah Penyelesaian:

Ubah seluruh komponen ke bilangan pokok berpangkat basis \(2\):
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{8} = 2^{-3} \quad &\text{dan} \quad 4 = 2^2 \\
\left[\left(2^{-3}\right)^{x^2 \:-\: 2x \:-\: 7}\right]^{\frac{1}{3}} &= 2^2 \\
2^{\frac{-3(x^2 \:-\: 2x \:-\: 7)}{3}} &= 2^2 \\
2^{-(x^2 \:-\: 2x \:-\: 7)} &= 2^2
\end{aligned}
\] Samakan nilai pangkatnya:
\[
\begin{aligned}
-x^2 + 2x + 7 &= 2 \\
-x^2 + 2x + 5 &= 0 \\
x^2 \:-\: 2x \:-\: 5 &= 0
\end{aligned}
\] Gunakan teorema Vieta untuk persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -5
\] Hitung nilai \(x_1^2 + x_2^2\):
\[
\begin{aligned}
x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 \:-\: 2x_1 x_2 \\
&= (2)^2 \:-\: 2(-5) \\
&= 4 + 10 \\
&= 14
\end{aligned}
\]

Langkah Penyelesaian:

Ubah konstanta ruas kanan \(1\) ke basis \(3\), yaitu \(1 = 3^0\):
\[
\begin{aligned}
3^{x^3 \:-\: 4x^2 \:-\: x + 4} &= 3^0 \\
x^3 \:-\: 4x^2 \:-\: x + 4 &= 0
\end{aligned}
\] Faktorkan suku banyak berderajat 3 dengan pengelompokan suku:
\[
\begin{aligned}
x^2(x \:-\: 4) \:-\: 1(x \:-\: 4) &= 0 \\
(x^2 \:-\: 1)(x \:-\: 4) &= 0 \\
(x + 1)(x \:-\: 1)(x \:-\: 4) &= 0
\end{aligned}
\] Diperoleh tiga nilai real pembuat nol:
\[
x_1 = -1, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 4
\] Maka \(\text{HP} = \lbrace -1, 1, 4 \rbrace\), sehingga banyaknya anggota himpunan penyelesaian adalah \(3\).

Langkah Penyelesaian:

Sederhanakan kedua ruas menggunakan sifat eksponen:
\[
\begin{aligned}
\text{Ruas Kiri} &: \sqrt[4]{4^{x^2 \:-\: 5x \:-\: 6}} = 4^{\frac{x^2 \:-\: 5x \:-\: 6}{4}} \\[6pt] \text{Ruas Kanan} &: \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(4^{-1}\right)^{-2} = 4^2
\end{aligned}
\] Samakan kedua ruas dengan basis \(4\):
\[
\begin{aligned}
4^{\frac{x^2 \:-\: 5x \:-\: 6}{4}} &= 4^2 \\
\frac{x^2 \:-\: 5x \:-\: 6}{4} &= 2
\end{aligned}
\] Kalikan kedua ruas dengan \(4\):
\[
\begin{aligned}
x^2 \:-\: 5x \:-\: 6 &= 8 \\
x^2 \:-\: 5x \:-\: 14 &= 0
\end{aligned}
\] Berdasarkan rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\):
\[
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{-14}{1} \\
&= -14
\end{aligned}
\] (Verifikasi pemfaktoran: \((x \:-\: 7)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 7, x_2 = -2 \implies 7 \times (-2) = -14\)).