A. Data Tunggal
Mean (rata-rata) dari data: \(x_1, x_2, x_3, x_4, \dotso, x_n\) adalah \(\bar {x}\)
\(\bar{x} = \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n}\)
\(\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dotso + x_n}{n}\)
\(n = \text{ banyak data}\)
B. Data Kelompok
Cara 1
\(\color{cyan}\bar {x} = \dfrac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i}\)
\(\color{yellow}\text{x}_i\) = titik tengah kelas = ½ × (batas atas + batas bawah)
\(\color{yellow}\sum f_i\) = total frekuensi
Contoh soal
Tentukan rata-rata data di bawah ini:
| Nilai |
Frekuensi |
| 3 − 7 |
2 |
| 8 − 12 |
5 |
| 13 − 17 |
4 |
| 18 − 22 |
2 |
| 23 − 27 |
6 |
| 28 − 32 |
1 |
Penyelesaian:
| Nilai |
$f_i$ |
$x_i$ |
$f_i\cdot x_i$ |
| 3 − 7 |
2 |
5 |
10 |
| 8 − 12 |
5 |
10 |
50 |
| 13 − 17 |
4 |
15 |
60 |
| 18 − 22 |
2 |
20 |
40 |
| 23 − 27 |
6 |
25 |
150 |
| 28 − 32 |
1 |
30 |
30 |
| Total |
20 |
|
340 |
\(\bar {x} = \dfrac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i}\)
\(\bar {x} = \dfrac{340}{20}\)
\(\bar {x} = 17\)
Jadi, nilai rata-rata data di atas adalah 17
Cara 2
\(\color{cyan} \bar {x} = \bar {x}_s + \left(\dfrac{\sum f_i \cdot u_i}{\sum f_i}\right)\cdot c\)
\(\color{yellow}u_i\) = pengkodean data (data dengan frekuensi terbesar diberi kode nol)
\(\color{yellow}\bar {x}_s\) = rataan sementara = titik tengah kelas yang diberi kode nol
\(\color{yellow} c\) = panjang kelas
\(\color{yellow}\sum f_i\) = total frekuensi
Contoh soal
Gunakan metode coding untuk menentukan nilai rata-rata data di bawah ini:
| Nilai |
Frekuensi |
| 3 − 7 |
2 |
| 8 − 12 |
5 |
| 13 − 17 |
4 |
| 18 − 22 |
2 |
| 23 − 27 |
6 |
| 28 − 32 |
1 |
Penyelesaian:
| Nilai |
$f_i$ |
$u_i$ |
$f_i\cdot u_i$ |
| 3 − 7 |
2 |
−3 |
−6 |
| 8 − 12 |
5 |
−2 |
−10 |
| 13 − 17 |
4 |
−1 |
−4 |
| 18 − 22 |
2 |
0 |
0 |
| 23 − 27 |
6 |
1 |
6 |
| 28 − 32 |
1 |
2 |
2 |
| Total |
20 |
|
−12 |
\(\bar {x}_s\) adalah titik tengah kelas 18 − 22.
\(\bar {x}_s = 20\)
\(\bar {x} = \bar {x}_s + \left(\dfrac{\sum f_i \cdot u_i}{\sum f_i}\right)\cdot c\)
\(\bar {x} = 20 + \left(\dfrac{-12}{20}\right)\cdot 5\)
\(\bar {x} = 20 + \dfrac{-60}{20}\)
\(\bar {x} = 20 \:-\:3\)
\(\bar {x} = 17\)
Jadi, nilai rata-rata data di atas adalah 17
LATIHAN SOAL
Soal 01
Sekumpulan data: \(x_1, x_2, x_3, \dotso, x_{100}\) mempunyai rata-rata 44, maka rata-rata dari data: \((3x_1 + 1), (3x_2 + 4), (3x_3 + 7), \dotso, (3x_{100} + 298)\) adalah…
(A) 280,5
(B) 281,5
(C) 282,5
(D) 283,5
(E) 284,0
Jawaban: B
\(\bar{x}_{\text{baru}} = 3\cdot\bar{x}_{\text{lama}} + \dfrac{1 + 4 + 7 + \dotso + 298}{100}\)
\(\bar{x}_{\text{baru}} = 3(44) + \dfrac{1 + 4 + 7 + \dotso + 298}{100}\)
Menghitung jumlah deret aritmetika \(1 + 4 + 7 + \dotso + 298\)
\(\color{cyan} s_n = \dfrac{n}{2}(a + U_n)\)
\(s_{100} = \dfrac{100}{2}(1 + 298)\)
\(s_{100} = 50(299)\)
\(s_{100} = 50(299)\)
\(s_{100} = 14.950\)
\(\bar{x}_{\text{baru}} = 3(44) + \dfrac{14.950}{100}\)
\(\bar{x}_{\text{baru}} = 132 + 149,5\)
\(\bar{x}_{\text{baru}} = 281,5\)
Soal 02
Rata-rata nilai ulangan siswa kelas XI yang jumlahnya 30 orang adalah 82. Jika nilai Adi, Budi, dan Carly tidak diikutkan maka rata-ratanya menjadi 83. Jika nilai Adi adalah 88 dan nilai Budi 91, maka nilai Carly adalah…
(A) 20
(B) 30
(C) 40
(D) 50
(E) 60
Jawaban: C
Mengitung jumlah nilai dari 30 orang siswa
\(\bar{x} = \dfrac{\text{ jumlah nilai 30 orang siswa}}{n}\)
\(82 = \dfrac{\text{ jumlah nilai 30 orang siswa}}{30}\)
\(\text{ jumlah nilai 30 orang siswa} = 82 \times 30 = 2.460\)
Mengitung jumlah nilai dari 27 orang siswa (Adi, Budi, dan Carly tidak diikutkan)
\(83 = \dfrac{\text{ jumlah nilai 27 orang siswa}}{27}\)
\(\text{ jumlah nilai 27 orang siswa} = 83 \times 27 = 2.241\)
Mengitung jumlah nilai Adi, Budi, dan Carly
Jumlah nilai Adi, Budi, dan Carly = 2.460 − 2.241 = 219
Nilai Carly = 219 − nilai Adi − nilai Budi
Nilai Carly = 219 − 88 − 91
Nilai Carly = 40
Soal 03
Rataan hitung dari data tunggal berbobot yang disajikan dalam bentuk histogram di bawah ini adalah …
(A) 5,68
(B) 5,72
(C) 5,88
(D) 5,92
(E) 6,20
Jawaban: C
\(\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot f_i}{\sum f}\)
\(\bar{x} = \dfrac{4(3) + 5(6) + 6(9) + 7(5) + 8(2)}{3 + 6 + 9 + 5 + 2}\)
\(\bar{x} = \dfrac{12 + 30 + 54 + 35 + 16}{25}\)
\(\bar{x} = \dfrac{147}{25} = 5,88\)
Soal 04
Sebuah data terdiri dari 6 datum bernilai bulat dengan jangkauan 7, memiliki modus 12, dan median 13. Jika rata-rata maksimum yang mungkin adalah \(\bar{x}_{\text{max}}\) dan rata-rata minimum yang mungkin adalah \(\bar{x}_{\text{min}}\), maka nilai \(\bar{x}_{\text{max}}\:-\:\bar{x}_{\text{min}} = \dotso\)
(A) \(\dfrac{4}{3}\)
(B) \(\dfrac{5}{3}\)
(C) \(\dfrac{6}{3}\)
(D) \(\dfrac{7}{3}\)
(E) \(\dfrac{8}{3}\)
Jawaban: B
Kemungkinan 1:
Untuk mendapatkan rata-rata maksimum maka datanya adalah:
\(12, 12, 12, 14, 19, 19\)
\(\bar{x}_{\text{max}} = \dfrac{12 + 12 + 12 + 14 + 19 + 19}{6} = \dfrac{88}{6}\)
Kemungkinan 2:
Untuk mendapatkan rata-rata minimum maka datanya adalah:
\(9, 12, 12, 14, 15, 16\)
\(\bar{x}_{\text{min}} = \dfrac{9 + 12 + 12 + 14 + 15 + 16}{6} = \dfrac{78}{6}\)
\(\bar{x}_{\text{max}}\:-\:\bar{x}_{\text{min}} = \dfrac{88}{6}\:-\: \dfrac{78}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}\)
Soal 05
Perhatikan histogram di bawah ini:
Rataan hitung data di atas adalah…
(A) 36,5
(B) 37,0
(C) 37,5
(D) 38,0
(E) 38,5
Jawaban: A
Menghitung mean (rata-rata) dengan metode coding
\(\bar{\text{x}} = \text{x}_{\text{s}} + \left(\dfrac{\sum \text{f}_i \cdot \text{u}_i}{\sum \text{f}_i}\right)\cdot \text{c}\)
\(\text{u}_i\) adalah pengkodean (data dengan frekuensi terbesar diberi kode nol)
\(\text{x}_{\text{s}}\) adalah rataan sementara = titik tengah kelas yang diberi kode nol, yaitu \(\dfrac{29 + 38}{2} = \color{cyan}33,5\)
\(\text{c}\) adalah panjang kelas, yaitu \(38,5 \:-\:28,5 = \color{cyan} 10\)
\(\sum\text{f}_i\) adalah total frekuensi, yaitu \(\color{cyan} 40\)
\(\bar{\text{x}} = 33,5 + \dfrac{12}{40}\cdot 10\)
\(\bar{\text{x}} = 33,5 + \dfrac{120}{40}\)
\(\bar{\text{x}} = 33,5 + 3\)
\(\bar{\text{x}} = 36,5\)
Jadi mean (rata-rata) data tersebut adalah 36,5
Soal 06
Jika rataan hitung dari data di bawah adalah 164,25, maka nilai \(a\) adalah…
(A) 17
(B) 19
(C) 21
(D) 23
(E) 25
Jawaban: B
\(\bar{\text{x}} = \text{x}_{\text{s}} + \left(\dfrac{\sum \text{f}_i \cdot \text{u}_i}{\sum \text{f}_i}\right)\cdot \text{c}\)
\(\text{u}_i\) adalah pengkodean (data dengan frekuensi terbesar diberi kode nol)
\(\text{x}_{\text{s}}\) adalah rataan sementara = titik tengah kelas yang diberi kode nol, yaitu \(\dfrac{164 + 169}{2} = \color{cyan} 166,5\)
\(\text{c}\) adalah panjang kelas, yaitu \(169,5 \:-\:163,5 = \color{cyan} 6\)
\(\sum\text{f}_i\) adalah total frekuensi, yaitu \(\color{cyan}37 + a\)
\(\bar{\text{x}} = 166,5 + \dfrac{-21}{37 + a}\cdot 6\)
\(164,25 = 166,5 + \dfrac{-126}{37 + a}\)
\(-2,25 = \dfrac{-126}{37 + a}\)
\(2,25(37 + a) = 126\)
\(83,25 + 2,25a = 126\)
\(2,25a = 42,75\)
\(a = \dfrac{42,75}{2,25}\)
\(a = 19\)
Soal 07
Di bawah ini data umur pasien yang datang ke puskesmas hari ini.
Rataan hitung data di atas adalah …
(A) 15,66
(B) 16,66
(C) 16,74
(D) 16,82
(E) 16,94
Jawaban: D
Ogive positif merupakan grafik yang diperoleh dari tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari.
- Data yang kurang dari atau sama dengan 8,5 ada sebanyak 5
- Data yang kurang dari atau sama dengan 12,5 ada sebanyak 11 − 5 = 6
- Data yang kurang dari atau sama dengan 16,5 ada sebanyak 18 − 11 = 7
- Data yang kurang dari atau sama dengan 20,5 ada sebanyak 40 − 18 = 22
- Data yang kurang dari atau sama dengan 24,5 ada sebanyak 47 − 40 = 7
- Data yang kurang dari atau sama dengan 28,5 ada sebanyak 50 − 47 = 3
Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari tepi atas kelas dapat dibuat sebagai berikut:
Menghitung mean (rata-rata) dengan metode coding
\(\bar{\text{x}} = \text{x}_{\text{s}} + \left(\dfrac{\sum \text{f}_i \cdot \text{u}_i}{\sum \text{f}_i}\right)\cdot \text{c}\)
\(\text{u}_i\) adalah pengkodean (data dengan frekuensi terbesar diberi kode nol)
\(\text{x}_{\text{s}}\) adalah rataan sementara = titik tengah kelas yang diberi kode nol, yaitu \(\dfrac{17 + 20}{2} = \color{cyan} 18,5\)
\(\text{c}\) adalah panjang kelas, yaitu \(20,5 \:-\:16,5 = \color{cyan} 4\)
\(\sum\text{f}_i\) adalah total frekuensi, yaitu \(\color{cyan} 50\)
\(\bar{\text{x}} = 18,5 + \dfrac{-21}{50}\cdot 4\)
\(\bar{\text{x}} = 18,5 + \dfrac{-84}{50}\)
\(\bar{\text{x}} = 18,5 \:-\: 1,68\)
\(\bar{\text{x}} = 16,82\)
Jadi mean (rata-rata) data tersebut adalah 16,82
