Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menghitung banyak data (\(n\)) dan total nilai
Banyaknya datum adalah \(n = 8\).
\[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dotso + x_8}{n} \] \[ 7{,}5 = \dfrac{6 + 8 + 5 + 10 + 7 + 9 + x + 6}{8} \]Langkah 2: Menyelesaikan nilai \(x\)
\[ 7{,}5 = \dfrac{51 + x}{8} \] \[ 51 + x = 7{,}5 \times 8 \] \[ 51 + x = 60 \] \[ x = 60 \:-\: 51 = 9 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menghitung jumlah nilai keseluruhan \(30\) orang siswa
\[ \sum x_{30} = 30 \times 82 = 2.460 \]Langkah 2: Menghitung jumlah nilai \(27\) orang siswa
\[ \sum x_{27} = 27 \times 83 = 2.241 \]

Langkah 3: Menentukan nilai Carly
Jumlah nilai ketiga anak (Adi, Budi, dan Carly) adalah selisih dari kedua jumlah tersebut:
\[ \text{Nilai (Adi + Budi + Carly)} = 2.460 \:-\: 2.241 = 219 \] Substitusikan nilai Adi (\(88\)) dan nilai Budi (\(91\)):
\[ 88 + 91 + \text{Nilai Carly} = 219 \] \[ 179 + \text{Nilai Carly} = 219 \] \[ \text{Nilai Carly} = 219 \:-\: 179 = 40 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan frekuensi setiap datum

• Nilai \(4\) frekuensi \(3 \implies f_1 \cdot x_1 = 4 \times 3 = 12\)
• Nilai \(5\) frekuensi \(6 \implies f_2 \cdot x_2 = 5 \times 6 = 30\)
• Nilai \(6\) frekuensi \(9 \implies f_3 \cdot x_3 = 6 \times 9 = 54\)
• Nilai \(7\) frekuensi \(5 \implies f_4 \cdot x_4 = 7 \times 5 = 35\)
• Nilai \(8\) frekuensi \(2 \implies f_5 \cdot x_5 = 8 \times 2 = 16\)

Langkah 2: Menghitung total frekuensi (\(\sum f_i\)) dan jumlah perkalian (\(\sum f_i \cdot x_i\))
\[ \sum f_i = 3 + 6 + 9 + 5 + 2 = 25 \] \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 12 + 30 + 54 + 35 + 16 = 147 \]

Langkah 3: Menghitung nilai rata-rata (\(\bar{x}\))
\[ \bar{x} = \dfrac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} = \dfrac{147}{25} = 5{,}88 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan titik tengah (\(x_i\)) dan hasil kali (\(f_i \cdot x_i\))

Kelas	\(f_i\)	\(x_i\)	\(f_i \cdot x_i\)
\(41 – 45\)	3	43	129
\(46 – 50\)	6	48	288
\(51 – 55\)	10	53	530
\(56 – 60\)	7	58	406
\(61 – 65\)	4	63	252
Total (\(\sum\))	30	—	1.605

Langkah 2: Menghitung mean
\[ \bar{x} = \dfrac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} = \dfrac{1.605}{30} = 53{,}5\,\text{kg} \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menguraikan formulasi rata-rata data baru
Sesuai sifat linearitas rata-rata, suku variabel \(x\) dan deret bilangan penambah dapat dipisahkan:
\[ \bar{x}_{\text{baru}} = \dfrac{\sum_{i=1}^{100} (3x_i + U_i)}{100} = 3 \cdot \bar{x}_{\text{lama}} + \dfrac{1 + 4 + 7 + \dotso + 298}{100} \] Diketahui \(\bar{x}_{\text{lama}} = 44\), sehingga:
\[ 3 \cdot \bar{x}_{\text{lama}} = 3(44) = 132 \]Langkah 2: Menghitung jumlah deret aritmetika (\(S_{100}\))
Deret penambah: \(1 + 4 + 7 + \dotso + 298\) dengan \(a = 1\), beda \(b = 3\), \(n = 100\), dan \(U_{100} = 298\).
\[ S_n = \dfrac{n}{2}(a + U_n) \] \[ S_{100} = \dfrac{100}{2}(1 + 298) = 50(299) = 14.950 \]

Langkah 3: Menghitung total nilai rata-rata baru
\[ \bar{x}_{\text{baru}} = 132 + \dfrac{14.950}{100} = 132 + 149{,}5 = 281{,}5 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Membaca tepi kelas dan menentukan tabel frekuensi
Tepi kelas: \(8{,}5;\ 18{,}5;\ 28{,}5;\ 38{,}5;\ 48{,}5;\ 58{,}5\).
Panjang kelas: \(c = 18{,}5 \:-\: 8{,}5 = 10\).

Kelas Interval	\(f_i\)	Kode (\(u_i\))	\(f_i \cdot u_i\)
\(9 – 18\)	2	\(-2\)	\(-4\)
\(19 – 28\)	8	\(-1\)	\(-8\)
\(29 – 38\) (\(\bar{x}_s\))	13	0	0
\(39 – 48\)	10	1	10
\(49 – 58\)	7	2	14
Total (\(\sum\))	40	—	12

Langkah 2: Menghitung mean dengan metode coding

• Rataan sementara: \(\bar{x}_s = \dfrac{28{,}5 + 38{,}5}{2} = 33{,}5\)
• Panjang interval: \(c = 10\)
• Total frekuensi: \(\sum f_i = 40\)
• Jumlah perkalian kode: \(\sum (f_i \cdot u_i) = 12\)

\[ \bar{x} = \bar{x}_s + \left(\dfrac{\sum f_i \cdot u_i}{\sum f_i}\right) \cdot c \] \[ \bar{x} = 33{,}5 + \left(\dfrac{12}{40}\right) \cdot 10 = 33{,}5 + 3 = 36{,}5 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan variabel metode coding
Pilih kelas \(164 – 169\) yang memuat frekuensi \(a\) sebagai kelas pusat (\(u_i = 0\)):

• Titik tengah acuan: \(\bar{x}_s = \dfrac{164 + 169}{2} = 166{,}5\)
• Panjang kelas: \(c = 151 \:-\: 146 + 1 = 6\)

Data	\(f_i\)	\(u_i\)	\(f_i \cdot u_i\)
\(146 – 151\)	5	\(-3\)	\(-15\)
\(152 – 157\)	7	\(-2\)	\(-14\)
\(158 – 163\)	11	\(-1\)	\(-11\)
\(164 – 169\)	\(a\)	0	0
\(170 – 175\)	9	1	9
\(176 – 181\)	5	2	10
Total (\(\sum\))	\(37 + a\)	—	\(-21\)

Langkah 2: Menghitung nilai \(a\)
\[ \bar{x} = \bar{x}_s + \left(\dfrac{\sum f_i \cdot u_i}{\sum f_i}\right) \cdot c \] \[ 164{,}25 = 166{,}5 + \left(\dfrac{-21}{37 + a}\right) \cdot 6 \] \[ 164{,}25 \:-\: 166{,}5 = \dfrac{-126}{37 + a} \] \[ -2{,}25 = \dfrac{-126}{37 + a} \] \[ 37 + a = \dfrac{-126}{-2{,}25} = 56 \] \[ a = 56 \:-\: 37 = 19 \]

Langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Mengubah ogive positif ke frekuensi mutlak setiap kelas

• Kelas \(5 – 8\): \(5 \:-\: 0 = 5\)
• Kelas \(9 – 12\): \(11 \:-\: 5 = 6\)
• Kelas \(13 – 16\): \(18 \:-\: 11 = 7\)
• Kelas \(17 – 20\): \(40 \:-\: 18 = 22\)
• Kelas \(21 – 24\): \(47 \:-\: 40 = 7\)
• Kelas \(25 – 28\): \(50 \:-\: 47 = 3\)

Langkah 2: Menghitung mean dengan metode coding
Pilih kelas \(17 – 20\) (frekuensi terbanyak \(= 22\)) sebagai kelas acuan (\(u_i = 0\)):

• Titik tengah acuan: \(\bar{x}_s = \dfrac{17 + 20}{2} = 18{,}5\)
• Panjang kelas: \(c = 20{,}5 \:-\: 16{,}5 = 4\)

Umur	\(f_i\)	\(u_i\)	\(f_i \cdot u_i\)
\(5 – 8\)	5	\(-3\)	\(-15\)
\(9 – 12\)	6	\(-2\)	\(-12\)
\(13 – 16\)	7	\(-1\)	\(-7\)
\(17 – 20\)	22	0	0
\(21 – 24\)	7	1	7
\(25 – 28\)	3	2	6
Total (\(\sum\))	50	—	\(-21\)

Langkah 3: Menghitung nilai rataan hitung akhir
\[ \bar{x} = \bar{x}_s + \left(\dfrac{\sum f_i \cdot u_i}{\sum f_i}\right) \cdot c \] \[ \bar{x} = 18{,}5 + \left(\dfrac{-21}{50}\right) \cdot 4 \] \[ \bar{x} = 18{,}5 \:-\: \dfrac{84}{50} = 18{,}5 \:-\: 1{,}68 = 16{,}82 \]

Langkah Penyelesaian:

Misalkan keenam datum bilangan bulat terurut tersebut adalah:
\[ a \le b \le c \le d \le e \le f \] Berdasarkan data pada soal:

• Median \(= \dfrac{c + d}{2} = 13 \implies c + d = 26\)
• Modus \(= 12\). Karena modus bernilai \(12\) (lebih kecil dari median \(13\)), maka nilai \(12\) harus muncul lebih dari satu kali di sisi bawah median, sehingga \(b = c = 12\).
• Karena \(c = 12\), didapat \(d = 26 \:-\: 12 = 14\).
• Jangkauan \(= f \:-\: a = 7 \implies f = a + 7\).

Langkah 1: Menentukan susunan datum untuk rata-rata maksimum (\(\bar{x}_{\max}\))
Agar rata-rata bernilai maksimal, datum pertama \(a\) dipilih sebesar mungkin. Karena batasnya adalah \(a \le b = 12\), maka kita tetapkan \(a = 12\).
\[ f = a + 7 = 12 + 7 = 19 \] Supaya jumlah datum maksimal, kita pilih datum kelima sebesar mungkin, yaitu \(e = f = 19\).
Susunan datanya adalah: \(12, 12, 12, 14, 19, 19\)
\[ \bar{x}_{\max} = \dfrac{12 + 12 + 12 + 14 + 19 + 19}{6} = \dfrac{88}{6} \]

Langkah 2: Menentukan susunan datum untuk rata-rata minimum (\(\bar{x}_{\min}\))
Agar rata-rata bernilai minimum, datum pertama \(a\) dipilih sekecil mungkin. Modus tunggal harus tetap \(12\) (kemunculan \(12\) sebanyak \(2\) kali), sehingga angka lain tidak boleh kembar.
Pilih datum \(e\) dan \(f\) sekecil mungkin yang lebih besar dari \(d = 14\), yaitu \(e = 15\) dan \(f = 16\).
\[ a = f \:-\: 7 = 16 \:-\: 7 = 9 \] Susunan datanya adalah: \(9, 12, 12, 14, 15, 16\)
\[ \bar{x}_{\min} = \dfrac{9 + 12 + 12 + 14 + 15 + 16}{6} = \dfrac{78}{6} \]

Langkah 3: Menghitung selisih rata-rata maksimum dan minimum
\[ \bar{x}_{\max} \:-\: \bar{x}_{\min} = \dfrac{88}{6} \:-\: \dfrac{78}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \]