Penulis: Benz

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang antara vektor $\textbf{a} = a_1\textbf{i} + a_2\textbf{j} + a_3\textbf{k}$ dengan $\textbf{b} = b_1\textbf{i} + b_2\textbf{j} + b_3\textbf{k}$ dihitung sebagai berikut:

$\textbf{a} \times \textbf{b} = \begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} =\begin{vmatrix}a_2 & a_3\\ b_2 & b_3\end{vmatrix}\textbf{i}\:-\:\begin{vmatrix}a_1 & a_3\\ b_1 & b_3\end{vmatrix}\textbf{j} + \begin{vmatrix}a_1 & a_2\\ b_1 & b_2\end{vmatrix}\textbf{k}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} =(a_2\cdot b_3\:-\:a_3\cdot b_2)\textbf{i}\:-\:(a_1\cdot b_3\:-\:a_3\cdot b_1)\textbf{j} + (a_1\cdot b_2\:-\:a_2\cdot b_1)\textbf{k}$

Hasil perkalian silang antara vektor $\textbf{a}$ dengan vektor $\textbf{b}$ akan menghasilkan suatu vektor $\textbf{c}$ yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.

Menentukan Luas Segitiga

$\color{blue} \text{Luas Segitiga } = \dfrac{1}{2} \left|\overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AC}}\right|$

$\overrightarrow{\text{AB}}=\textbf{b}\:-\:\textbf{a}$

$\overrightarrow{\text{AB}}=\left(\begin{array}{c}x_2\\ y_2\\z_2\end{array}\right) \:-\: \left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\text{AC}}=\textbf{c}\:-\:\textbf{a}$

$\overrightarrow{\text{AC}}=\left(\begin{array}{c}x_3\\ y_3\\z_3\end{array}\right) \:-\: \left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)$

Contoh Soal

Soal 1

Tentukan perkalian silang antara vektor $\textbf{a} = -\textbf{i} + 2\textbf{j} + 3\textbf{k}$ dengan $\textbf{b} = 4\textbf{i} \:-\:\textbf{j} + 5\textbf{k}$

Pembahasan Antiruwet

$\textbf{a} \times \textbf{b} = \begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\-1 & 2 & 3\\4 & -1 & 5\end{vmatrix}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} =\begin{vmatrix}2 & 3\\ -1 & 5\end{vmatrix}\textbf{i}\:-\:\begin{vmatrix}-1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix}\textbf{j} + \begin{vmatrix}-1 & 2\\ 4 & -1\end{vmatrix}\textbf{k}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} =(2\cdot 5\:-\:3\cdot (-1))\textbf{i}\:-\:(-1\cdot 5\:-\:3\cdot 4)\textbf{j} + (-1\cdot (-1)\:-\:2\cdot 4)\textbf{k}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} =13\textbf{i}\:-\:(-17)\textbf{j} + (-7)\textbf{k}$

$\textbf{a} \times \textbf{b} =13\textbf{i} + 17\textbf{j} \:-\:7\textbf{k}$

Jadi, hasil perkalian silang antara vektor $\textbf{a}$ dengan $\textbf{b}$ adalah $\textbf{c} = 13\textbf{i} + 17\textbf{j} \:-\:7\textbf{k}$

Vektor $\textbf{c}$ ini tegak lurus terhadap vektor $\textbf{a}$ dan juga terhadap vektor $\textbf{b}$

Soal 2

Find the area of the triangle with vertices:

A (2, 0, -1)

B (3, -2, 0)

C (4, 4, 1)

Pembahasan Antiruwet

$\overrightarrow{\text{AB}}=\textbf{b}\:-\:\textbf{a}$

$\overrightarrow{\text{AB}}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\0\end{array}\right) \:-\: \left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\text{AC}}=\textbf{c}\:-\:\textbf{a}$

$\overrightarrow{\text{AC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\1\end{array}\right) \:-\: \left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\4\\2\end{array}\right)$

$\color{blue} \text{Area of triangle } = \dfrac{1}{2} \left|\overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AC}}\right|$

$\overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AC}} = \left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\4\\2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AC}} =\begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\1 & -2 & 1\\2 & 4 & 2\end{vmatrix}$

$\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}} =\begin{vmatrix}-2 & 1\\ 4& 2\end{vmatrix}\textbf{i}\:-\:\begin{vmatrix}1&1\\ 2& 2\end{vmatrix}\textbf{j} + \begin{vmatrix}1 & -2\\ 2 & 4\end{vmatrix}\textbf{k}$

$\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}} =(-2\cdot 2\:-\:1\cdot 4)\textbf{i}\:-\:(1\cdot 2\:-\:1\cdot 2)\textbf{j} + (1\cdot 4\:-\:(-2)\cdot 2)\textbf{k}$

$\overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AC}} =-8\textbf{i}\:-\:0\textbf{j} +8\textbf{k}$

$\overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AC}} = -8\textbf{i} + 8\textbf{k}$

$\text{Area of triangle } = \dfrac{1}{2}\sqrt{(-8)^2 + 8^2}$

$\text{Area of triangle } = \dfrac{1}{2}\sqrt{64 + 64}$

$\text{Area of triangle } = \dfrac{1}{2}\sqrt{2\times 64}$

$\text{Area of triangle } = \dfrac{8}{2}\sqrt{2}$

$\text{Area of triangle } = 4\sqrt{2} \text{ square units}$

19/01/2022
Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor ortogonal $\textbf{u}$ pada $\textbf{v}$ menghasilkan vektor $\textbf{w}$

$\textbf{w} = \dfrac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{(||\textbf{v}||)^2} \cdot \textbf{v}$

Sedangkan panjang proyeksi vektor $\textbf{u}$ pada $\textbf{v}$ adalah $||\textbf{w}||$

$||\textbf{w}|| = \dfrac{|\textbf{u} \cdot \textbf{v}|}{||\textbf{v}||}$

Contoh Soal

Soal 1

Tentukan proyeksi vektor ortogonal $\textbf{u} = -\textbf{i} + 2\textbf{j}$ pada $\textbf{v} = 3\textbf{i} \:-\: \textbf{j}$.

Pembahasan Antiruwet

Misal hasil vektor proyeksi $\textbf{u}$ pada $\textbf{v}$ adalah $\textbf{w}$

$\textbf{w} = \dfrac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{(||\textbf{v}||)^2} \cdot \textbf{v}$

$\textbf{w} = \dfrac{\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)}{(\sqrt{3^2 + (-1)^2})^2} \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$

$\textbf{w} = \dfrac{(-1)(3) + (2)(-1)}{3^2 + (-1)^2} \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$

$\textbf{w} = \dfrac{-5}{10} \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$

$\textbf{w} = -\dfrac{1}{2} \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$

$\textbf{w} = \left(\begin{array}{c}-\dfrac{3}{2}\\ \dfrac{1}{2}\end{array}\right)$

$\textbf{w} = -\dfrac{3}{2}\textbf{i}+ \dfrac{1}{2}\textbf{j} $

Jadi hasil vektor proyeksi $\textbf{u}$ pada $\textbf{v}$ adalah $\textbf{w} = -\frac{3}{2}\textbf{i} + \frac{1}{2}\textbf{j} $

Soal 2

Tentukan proyeksi skalar vektor $\textbf{v} = 4\textbf{i} + \textbf{j}$ pada $\textbf{u} = -2\textbf{i} \:-\: 3\textbf{j}$.

Pembahasan Antiruwet

Proyeksi skalar (panjang proyeksi) vektor $\textbf{v}$ pada $\textbf{u}$ adalah $||\textbf{w}||$

$||\textbf{w}|| = \dfrac{|\textbf{v} \cdot \textbf{u}|}{||\textbf{u}||}$

$||\textbf{w}|| = \dfrac{\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right)\right|}{\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2}}$

$||\textbf{w}|| = \dfrac{|(4)(-2) + (1)(-3)|}{\sqrt{4 + 9}}$

$||\textbf{w}|| = \dfrac{11}{\sqrt{13}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

$||\textbf{w}|| = \dfrac{11}{13}\sqrt{13}$

Jadi proyeksi skalar $\textbf{v}$ pada $\textbf{u}$ adalah $||\textbf{w}|| = \dfrac{11}{13}\sqrt{13}$ satuan

19/01/2022
Sudut Antara Dua Vektor

Sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$, dihitung sebagai berikut:

$\cos \theta = \dfrac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}||}$

Dua vektor yang saling tegak lurus (membentuk sudut 90°)

$\cos 90^{\circ} = \dfrac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}||}$

$0 = \dfrac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}||}$

$\color{blue} \textbf{u} \cdot \textbf{v} = 0$

Dua vektor yang berhimpit (membentuk sudut 0°)

$\cos 0^{\circ} = \dfrac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}||}$

$1 = \dfrac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}||}$

$\color{blue} \textbf{u} \cdot \textbf{v} = ||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}||$

Contoh Soal

Soal 1

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ di bawah ini:

Pembahasan Anti Ruwet

Sudut yang dibentuk antara vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ adalah $180^{\circ}\:-\:60^{\circ} = 120^{\circ}$

Soal 2

Diketahui vektor $\textbf{a} = 2\textbf{i}\:-\:\textbf{j} + 2\textbf{k}$ dan vektor $\textbf{b} = 3\textbf{j}\:-\:4\textbf{k}$. Tentukan cosinus sudut antara kedua vektor tersebut, dan tentukan jenis sudutnya.

Pembahasan Anti Ruwet

$\cos \theta = \dfrac{\textbf{a} \cdot \textbf{b}}{||\textbf{a}|| \cdot ||\textbf{b}||}$

$\cos \theta = \dfrac{\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\-4\end{array}\right)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}\cdot \sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2}}$

$\cos \theta = \dfrac{0\:-\:3\:-\:8}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{25}}$

$\cos \theta = \dfrac{-11}{3\cdot 5}$

$\cos \theta = \dfrac{-11}{15}$

Karena hasil $\cos \theta$ negatif, maka jenis sudut $\theta$ adalah sudut tumpul.

Soal 3

Jika sudut yang dibentuk oleh vektor $\textbf{u} = -2\textbf{i} + 6\textbf{j}$ dan $\textbf{v} = m\textbf{i} + 3\textbf{j}$ adalah $90^{\circ}$, maka tentukan nilai $m$ yang memenuhi.

Pembahasan Anti Ruwet

Vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ saling tegak lurus (membentuk sudut 90°), maka berlaku $\textbf{u}\cdot \textbf{v} = 0$

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right) = 0$

$-2m + 6(3) = 0$

$-2m + 18 = 0$

$-2m = -18$

$m = \frac{-18}{-2} = 9$

Soal 4

Tentukan nilai $m$ yang memenuhi agar vektor $\textbf{a} = (m + 2)\textbf{i} \:-\:\textbf{j} + 2\textbf{k}$ dan vektor $\textbf{b} = \textbf{i} \:-\:m\textbf{j} + \textbf{k}$ saling tegak lurus.

Pembahasan Anti Ruwet

Vektor $\textbf{a}$ dan $\textbf{b}$ saling tegak lurus, maka $\textbf{a}\cdot \textbf{b} = 0$

$\left(\begin{array}{c}m + 2\\ -1\\2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -m\\1\end{array}\right) = 0$

$m + 2 + m + 2 = 0$

$2m + 4 = 0$

$2m = -4$

$m = -2$

Soal 5

Jika $\theta$ adalah sudut antara vektor $\textbf{a}$ dan $\textbf{b}$ dan hasil dari $\textbf{a}\cdot \textbf{b} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}||\textbf{a}||\cdot ||\textbf{b}||$, maka tentukan nilai $\theta$.

Pembahasan Anti Ruwet

$\cos \theta = \dfrac{\textbf{a} \cdot \textbf{b}}{|\textbf{a}| \cdot |\textbf{b}|}$

$\cos \theta = \dfrac{-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cancel{||\textbf{a}||\cdot ||\textbf{b}||}}{\cancel{||\textbf{a}|| \cdot ||\textbf{b}||}}$

$\cos \theta = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

$\theta = 180^{\circ}\:-\:45^{\circ}$

$\theta = 135^{\circ}$

Soal 6

Suatu segitiga ABC, memiliki koordinat titik A(0, 2, 3), B(1, 4, 4), dan C(1, 0 , 2). Tentukan besar cosinus sudut ABC.

Pembahasan Anti Ruwet

Sudut ABC dibentuk oleh vektor $\overrightarrow{\text{BC}}$ dan $\overrightarrow{\text{BA}}$ (titik pangkal kedua vektor berada di titik B)

$\overrightarrow{\text{BC}} = \textbf{c}\:-\:\textbf{b}$

$\overrightarrow{\text{BC}} = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\2\end{array}\right)\:-\:\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\4\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\-2\end{array}\right) $

$\overrightarrow{\text{BA}} = \textbf{a}\:-\:\textbf{b}$

$\overrightarrow{\text{BA}} = \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\3\end{array}\right)\:-\:\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\-1\end{array}\right)$

$\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{\text{BC}} \cdot \overrightarrow{\text{BA}}}{|\overrightarrow{\text{BC}}|\cdot |\overrightarrow{\text{BA}}|}$

$\cos \theta = \dfrac{\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\-2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\-1\end{array}\right)}{\sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2}}$

$\cos \theta = \dfrac{(0)(-1) + (-4)(-2) + (-2)(-1)}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{6}}$

$\cos \theta = \dfrac{10}{\sqrt{120}}$

$\cos \theta = \dfrac{10}{2\sqrt{30}}$

$\cos \theta = \dfrac{5}{\sqrt{30}} \times \color{red}\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} $

$\cos \theta = \dfrac{5\sqrt{30}}{30}$

$\cos \theta = \frac{1}{6}\sqrt{30}$

Jadi, besar cosinus sudut ABC adalah $\frac{1}{6}\sqrt{30}$

19/01/2022
Perkalian Skalar (Dot Product)

Diketahui vektor $\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ dan $\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$.

Perkalian skalar antara vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ dihitung sebagai berikut:

$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right) = ac + bd$

Berapakah hasil $\textbf{u}\cdot \textbf{u}$?

$\textbf{u}\cdot \textbf{u} = ||\textbf{u}||^2$

Contoh Soal

Soal 1

Tentukan hasil perkalian skalar antara vektor $\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$ dan $\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}-5\\ 1\end{array}\right)$

Pembahasan Antiruwet

$\left(\begin{array}{c}-3\\2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\1\end{array}\right) = (-3)(-5) + 2(1)$

$\left(\begin{array}{c}-3\\2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\1\end{array}\right) = 15 + 2 = 17$

Soal 2

Tentukan hasil perkalian skalar antara vektor $\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\2\end{array}\right)$ dan $\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}3\\8\\-5\end{array}\right)$

Pembahasan Antiruwet

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}3\\8\\-5\end{array}\right) = (-1)(3) + 0(8) + 2(-5)$

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}3\\8\\-5\end{array}\right) = -3 + 0 \:-\:10 = -13$

19/01/2022
Perbandingan Vektor

Diketahui titik A, B, dan C terletak pada ruas garis yang sama.

Vektor posisi titik A, B, dan C berturut-turut adalah $\textbf{a}$, $\textbf{b}$, dan $\textbf{c}$.

Titik C berada diantara titik A dan B dalam perbandingan AC : CB = m : n.

Vektor posisi $\textbf{c}$ dapat dicari sebagai berikut:

$\textbf{c} = \dfrac{m\textbf{b} + n\textbf{a} }{m + n}$

Contoh Soal

Soal 1

Diketahui koordinat titik A(4, 3) dan B(-3, 4). Titik C berada pada ruas garis AB, dengan perbandingan $\text{AC} : \text{CB} = 1 : 3$. Tentukan koordinat titik C tersebut.

Pembahasan Antiruwet

Diketahui:

$\textbf{a} = \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$

$\textbf{b} = \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\end{array}\right)$

$\text{AC} : \text{CB} = m : n = 1 : 3$

Vektor posisi $\textbf{c}$ dapat dicari sebagai berikut:

$\textbf{c} = \dfrac{m\textbf{b} + n\textbf{a} }{m + n}$

$\textbf{c} = \dfrac{1\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\end{array}\right) + 3\cdot\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)}{1 + 3}$

$\textbf{c} = \dfrac{\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}12\\ 9\end{array}\right)}{4}$

$\textbf{c} = \dfrac{\left(\begin{array}{c}-3 + 12\\ 4 + 9\end{array}\right)}{4}$

$\textbf{c} = \dfrac{\left(\begin{array}{c}9\\ 13\end{array}\right)}{4}$

$\textbf{c} = \left(\begin{array}{c}\frac{9}{4}\\ \frac{13}{4}\end{array}\right)$

Jadi koordinat titik C adalah $(\frac{9}{4},\:\frac{13}{4})$

Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini:

Diketahui OC : CB = 5 : 1 dan BD : DA = 4 : 2. Garis OD berpotongan dengan garis AC di titik P sehingga OP : PD = x : y dan AP : PC = m : n. Tentukan:

(A) x : y

(B) m : n

Pembahasan Antiruwet

Langkah 1: Nyatakan vektor posisi $\overrightarrow{\text{OD}}$

$\overrightarrow{\text{OD}}= \dfrac{2\cdot \overrightarrow{\text{OB}} + 4\cdot \overrightarrow{\text{OA}}}{2 + 4}$

$\overrightarrow{\text{OD}}= \dfrac{2\cdot \overrightarrow{\text{OB}} + 4\cdot \overrightarrow{\text{OA}}}{6}$

Langkah 2: Nyatakan vektor $\overrightarrow{\text{AC}}$

$\overrightarrow{\text{AC}}= \dfrac{5\cdot \overrightarrow{\text{AB}} + 1\cdot \overrightarrow{\text{AO}}}{5+1}$

$\overrightarrow{\text{AC}}= \dfrac{5\cdot \overrightarrow{\text{AB}} + 1\cdot \overrightarrow{\text{AO}}}{6}$

$\text{Note:}$

$\color{blue} \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AB}} =\color{blue} \overrightarrow{\text{OB}}$

$\color{blue} \overrightarrow{\text{AB}} =\color{blue} \overrightarrow{\text{OB}}\:-\:\overrightarrow{\text{OA}}$

$\overrightarrow{\text{AC}}= \dfrac{5\cdot (\overrightarrow{\text{OB}}\:-\:\overrightarrow{\text{OA}})+ 1\cdot \overrightarrow{\text{AO}}}{6}$

$\overrightarrow{\text{AC}}= \dfrac{5\cdot (\overrightarrow{\text{OB}}\:-\:\overrightarrow{\text{OA}})\:-\: \overrightarrow{\text{OA}}}{6}$

$\overrightarrow{\text{AC}}= \dfrac{5\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\:-\:6\cdot\overrightarrow{\text{OA}}}{6}$

Langkah 3: $\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{PA}}$

$\overrightarrow{\text{OP}} = \dfrac{x}{x + y}\cdot \overrightarrow{\text{OD}}$

$\overrightarrow{\text{PA}} = \dfrac{m}{m + n}\cdot \overrightarrow{\text{CA}}$

$\overrightarrow{\text{PA}} = -\dfrac{m}{m + n}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}$

$\overrightarrow{\text{OA}} = \dfrac{x}{x + y}\cdot \overrightarrow{\text{OD}} \:-\: \dfrac{m}{m + n}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}$

$\overrightarrow{\text{OA}} = \dfrac{x}{x + y}\left(\dfrac{2\cdot \overrightarrow{\text{OB}} + 4\cdot \overrightarrow{\text{OA}}}{6}\right) \:-\: \dfrac{m}{m + n}\left(\dfrac{5\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\:-\:6\cdot\overrightarrow{\text{OA}}}{6}\right)$

$\textbf{a} = \dfrac{x}{x + y}\left(\dfrac{\textbf{b} + 2\textbf{a}}{3}\right) \:-\: \dfrac{m}{m + n}\left(\dfrac{5\textbf{b}\:-\:6\textbf{a}}{6}\right)$

$\textbf{a} =\dfrac{x}{3(x+y)}\textbf{b} + \dfrac{2x}{3(x + y)}\textbf{a}\:-\:\dfrac{5m}{6(m +n)}\textbf{b} + \dfrac{m}{m+n}\textbf{a}$

$0\textbf{b} + 1\textbf{a} =\dfrac{x}{3(x+y)}\textbf{b} \:-\:\dfrac{5m}{6(m +n)}\textbf{b} + \dfrac{2x}{3(x + y)}\textbf{a}+ \dfrac{m}{m+n}\textbf{a}$

Samakan koefisien dari masing-masing vektor

$0 = \dfrac{x}{3(x+y)}\:-\:\dfrac{5m}{6(m +n)}\dotso\dotso\color{blue}(1)$

$1 = \dfrac{2x}{3(x + y)} + \dfrac{m}{m+n}\dotso\dotso\color{blue}(2)$

Selanjutnya eliminasi kedua persamaan tersebut

Persamaan pertama dikali 2, persamaan kedua dikali 1

$0 = \dfrac{2x}{3(x+y)}\:-\:\dfrac{10m}{6(m +n)}\dotso\dotso\color{blue}(1)$

$1 = \dfrac{2x}{3(x + y)} + \dfrac{m}{m+n}\dotso\dotso\color{blue}(2)$

Kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2)

$-1 = -\dfrac{8}{3}\cdot \dfrac{m}{m+n}$

$1 = \dfrac{8m}{3(m+n)}$

$3(m + n) = 8m$

$3m + 3n = 8m$

$3n = 5m$

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{m}{n}$

Jadi m : n = 3 : 5

Dengan menggunakan cara eliminasi lagi

Persamaan pertama dikali 1, persamaan kedua dikali $\frac{5}{6}$

$0 = \dfrac{x}{3(x+y)} \:-\:\dfrac{5m}{6(m + n)}$

$\dfrac{5}{6} = \dfrac{10x}{18(x + y)} + \dfrac{5m}{6(m + n)}$

Jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua

$\dfrac{5}{6} = \dfrac{8x}{9(x + y)}$

$45(x + y) = 48x$

$45x + 45y = 48x$

$45y = 3x$

$15y = x$

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{15}{1}$

Jadi x : y = 15 : 1

19/01/2022
Penjumlahan Vektor

Penjumlahan Vektor

Jika $\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ dan $\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$ maka:

$\textbf{u} + \textbf{v} = \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$

$\textbf{u} +\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}a + c\\ b + d\end{array}\right)$

Pengurangan Vektor

Jika $\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ dan $\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$ maka:

$\textbf{u} \:-\: \textbf{v} = \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right) \:-\: \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$

$\textbf{u} \:-\: \textbf{v} = \left(\begin{array}{c}a \:-\: c\\ b \:-\: d\end{array}\right)$

Contoh Soal

Soal 1

Jika $\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}-12\\ 5\end{array}\right)$ dan $\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right)$, tentukan nilai $\textbf{u} +\textbf{v} $

Pembahasan Antiruwet

$\textbf{u} +\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}-12\\ 5\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right)$

$\textbf{u} +\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}-12 + 4\\ 5 + (-3)\end{array}\right)$

$\textbf{u} +\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\end{array}\right)$

Soal 2

Jika $\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right)$ dan $\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$, tentukan $||\textbf{u} \:-\:\textbf{v}||$

Pembahasan Antiruwet

$\textbf{u} \:-\:\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right) \:-\: \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$

$\textbf{u} \:-\:\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}12\:-\: 4\\ 7\:-\:1\end{array}\right)$

$\textbf{u} \:-\:\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}8\\ 6\end{array}\right)$

$||\textbf{u} \:-\:\textbf{v}|| = \sqrt{8^2 + 6^2}$

$||\textbf{u} \:-\:\textbf{v}|| = \sqrt{64 + 36}$

$||\textbf{u} \:-\:\textbf{v}|| = \sqrt{100} = 10 \text{ satuan}$

Soal 3

Tentukan nilai $m$ yang memenuhi persamaan $-2\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1+m\\ 0\end{array}\right)$

Pembahasan Antiruwet

$-2\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1+m\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1+m\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}-6 + (-4)\\ -2 + 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1+m\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1+m\\ 0\end{array}\right)$

$-10 = 1 + m$

$-10\:-\:1 = m$

$m = -11$

19/01/2022

Konsep Dasar

Penyelesaian yang melibatkan nilai mutlak:

(1) Jika $a$ bilangan real positif, maka:

$|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$
$|x| \geq a \Leftrightarrow x \geq a \text{ atau } x \leq -a$

(2) Dengan menggunakan definisi nilai mutlak

$|x|=\begin{cases}x & x \geq 0\\-x & x < 0\end{cases}$

Contoh Soal

Contoh 1

Tentukan solusi pertidaksamaan $|x \:-\: 5| > 3$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 2

Tentukan solusi pertidaksamaan $|2x\:-\: 3| \leq 7$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 3

Tentukan solusi pertidaksamaan $|x \:-\: 4| > 1\:-\:2x$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 4

Tentukan solusi pertidaksamaan $\left|\dfrac{2x\:-\:3}{x + 1}\right| \geq 1$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 5

Tentukan solusi pertidaksamaan $|x \:-\: 4|^2 \:-\: 7|x \:-\: 4| + 10 \leq 0$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 6

Tentukan solusi pertidaksamaan $|x \:-\: 1| + |x \:-\: 2| \leq 5$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 7

Tentukan solusi dari pertidaksamaan $|x + 2| + |x \:-\: 3| > x + 5$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 8

Tentukan solusi dari pertidaksamaan $|x^2 + 2x \:-\: 3| \geq |x \:-\: 1|$

Pembahasan Antiruwet

17/01/2022

Latihan Persamaan Nilai Mutlak 01

Soal 1

Himpunan penyelesaian persamaan $|x\:-\:2|\:-\:|5x| + |2x + 7| = 5$ adalah …

(A) $\lbrace -\dfrac{2}{3}, 0 \rbrace$

(B) $\lbrace -\dfrac{2}{3}, 1 \rbrace$

(D) $\lbrace 0, 1 , 5\rbrace$

(E) $\lbrace 0, -\dfrac{2}{3}, 1, 5 \rbrace$

Pembahasan Antiruwet

Soal 2

Himpunan penyelesaian persamaan $|x^2\:-\:x + 2| = 4$ adalah …

(A) $\lbrace -2, 1 \rbrace$

(B) $\lbrace -2, 2 \rbrace$

(D) $\lbrace 1, 2 \rbrace$

(E) $\lbrace 1, 2, 3 \rbrace$

Pembahasan Antiruwet

Soal 3

Himpunan penyelesaian persamaan $|2x + 5| = -|x\:-\:4| + 11$ adalah …

(A) $\lbrace -4, 2 \rbrace$

(B) $\lbrace -4, 4 \rbrace$

(D) $\lbrace 2, 4, 6 \rbrace$

(E) $\lbrace 5, 6, 10 \rbrace$

Pembahasan Antiruwet

16/01/2022

Persamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan real $x$ didefinisikan sebagai berikut:

$$\bbox[yellow, 5px]{|x|=\begin{cases}x & x \geq 0\\-x & x < 0\end{cases}}$$

Sifat-sifat nilai mutlak:

$|x| \geq 0$
$|x \times y| = |x| \times |y|$
$|x + y| \leq |x| + |y|$
$|-x| = |x|$
$|x \:-\: y| \geq ||x| \:-\: |y||$
$\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac {|x|}{|y|}$

Contoh Soal

Contoh 1

Hitunglah $|-5 + 1| + |2 \:-\: 3|$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 2

Hitunglah $|4 + 2(-3)^2 \:-\: 30|$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x \:-\: 5| = 10$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 4

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x + 1| = |2x \:-\: 3|$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 5

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|4x \:-\: 1| + |3x + 2| = 10$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 6

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x + 5| = 2x + 2$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 7

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3|2x \:-\: 1| \:-\: 2x = 1$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 8

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x \:-\: 1| + |x\:-\: 2| + |x \:-\:3| = 9$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 9

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left|\dfrac{x + 3}{x\:-\: 2}\right| = 2$

Pembahasan Antiruwet

Contoh 10

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left||x| \:-\: 5\right| = 2$

Pembahasan Antiruwet

16/01/2022

Soal Fungsi Logaritma 01

Soal 1
Perhatikan kurva berikut:

Berdasarkan gambar di atas, persamaan fungsi logaritma yang benar adalah …

(A) $\text{f(x)} =\: ^2\log_{}{(x + 3)} + 1$

(B) $\text{f(x)} =\: ^2\log_{}{(x + 4)} + 1$

(C) $\text{f(x)} =\: ^2\log_{}{(x + 4)} + 2$

(D) $\text{f(x)} =\: ^2\log_{}{(x + 6)} + 2$

(E) $\text{f(x)} =\: ^2\log_{}{(x + 7)} + 3$

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Kurva di atas, memiliki asimtot vertikal $x = -3$ dan melalui titik $(-2, 1)$ dan titik $(1, 3)$

Misal persamaan kurva adalah $\color{blue} y =\: ^a\log_{}{(x + b)} + c$

Asimtot vertikalnya adalah $x + b = 0$ atau ditulis $x = – b$. Karena pada gambar asimtot vertikalnya adalah $x = -3$ , maka nilai $b = 3$

Kurva melalui titik $(-2, 1)$, maka:

$1 =\: ^a\log_{}{(-2 + 3)} + c$

$1 =\: ^a\log_{}{1} + c$

$1 = 0 + c$

$c = 1$

Kurva melalui titik $(1, 3)$, maka:

$3 =\:^a\log_{}{(1 + 3)} + 1$

$3 =\: ^a\log_{}{4} + 1$

$3\:-\:1 =\: ^a\log_{}{4}$

$2 =\: ^a\log_{}{4}$

$a^{2} = 4$

$a = 2$

Persamaan fungsi logaritmanya adalah:

$\color{blue} \text{f(x)} =\: ^2\log_{}{(x + 3)} + 1$

Soal 2
Perhatikan kurva berikut:

Kurva logaritma di atas dapat dinyatakan dalam bentuk $y =\:^a\log_{}{(x + b)} + c$. Nilai dari $2a + b + c = \dotso$

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Kurva di atas, memiliki asimtot vertikal $x = -1$ dan melalui titik $(0,-2)$ dan titik $(1, -3)$

Persamaan kurva : $\color{blue} y =\: ^a\log_{}{(x + b)} + c$

Asimtot vertikalnya adalah $x + b = 0$ atau ditulis $x = – b$. Karena pada gambar asimtot vertikalnya adalah $x = -1$ , maka nilai $b = 1$

Kurva melalui titik $(0,-2)$, maka:

$-2 =\: ^a\log_{}{(0 + 1)} + c$

$-2 =\: ^a\log_{}{1} + c$

$-2 = 0 + c$

$c = -2$

Kurva melalui titik $(1, -3)$, maka:

$-3 =\:^a\log_{}{(1 + 1)} -2$

$-3 =\: ^a\log_{}{2} -2$

$-3 + 2 =\: ^a\log_{}{2}$

$-1 =\: ^a\log_{}{2}$

$a^{-1} = 2$

$a = \frac{1}{2}$

Persamaan fungsi logaritmanya adalah:

$\color{blue} \text{f(x)} =\: ^{\frac{1}{2}}\log_{}{(x + 1)} \:-\:2$

Nilai $2a + b + c = 2(\frac{1}{2}) + 1 \:-\:2 = 0$

Soal 3
Kurva $y =\:^3\log_{}{(3x\:-\:1)} + 3$ digeser ke atas 2 satuan dan ke kiri 4 satuan. Persamaan kurva yang baru adalah …

(A) $y =\:^3\log_{}{(3x\:-\:10)} + 5$

(B) $y =\:^3\log_{}{(2x\:-\:11)} + 3$

(C) $y =\:^3\log_{}{(3x\:-\:11)} + 5$

(D) $y =\:^3\log_{}{(3x + 11)} + 5$

(E) $y =\:^3\log_{}{(3x + 12)} + 5$

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

$y =\:^3\log_{}{(3x\:-\:1)} + 3$

Kurva digeser ke atas 2 satuan, menjadi:

$y =\:^3\log_{}{3(x\:-\:\frac{1}{3})} + 3 \color{red}+ 2$

$y =\:^3\log_{}{3(x\:-\:\frac{1}{3})} + 5$

Kurva digeser ke kiri 4 satuan, menjadi:

$y =\:^3\log_{}{3(x\:-\:\frac{1}{3} \color{red}+ 4 \color{black})} + 5$

$y =\:^3\log_{}{3(x + \frac{11}{3})} + 5$

$y =\:^3\log_{}{(3x + 11)} + 5$

Soal 4
Diketahui kurva $y = \:^a\log_{}{(x + b)} + c$ melalui titik $(5, 5), (\frac{9}{2}, 4), \text{ dan } (\frac{17}{4}, 3)$. Persamaan kurva logaritma tersebut adalah …

(A) $y = \:^2\log_{}{(x\:-\:2)} + 3$

(B) $y = \:^2\log_{}{(x\:-\:4)} + 3$

(C) $y = \:^2\log_{}{(x\:-\:4)} + 5$

(D) $y = \:^2\log_{}{(x + 4)} + 5$

(E) $y = \:^2\log_{}{(x + 4)} + 6$

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Substitusikan setiap titik pada fungsi logaritma

$(5, 5) \rightarrow 5 = \:^a\log_{}{(5 + b)} + c\dotso\dotso (1)$

$(\frac{9}{2}, 4) \rightarrow 4 = \:^a\log_{}{(\frac{9}{2} + b)} + c\dotso\dotso (2)$

$(\frac{17}{4}, 3) \rightarrow 3 = \:^a\log_{}{(\frac{17}{4} + b)} + c\dotso\dotso (3)$

Kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2) untuk eliminasi $c$, sehingga diperoleh:

$1 = \:^a\log_{}{(5 + b)}\:-\: ^a\log_{}{(\frac{9}{2} + b)}$

$1 = \:^a\log_{}{\left(\dfrac{5 + b}{\frac{9}{2} + b}\right)}\dotso\dotso (4)$

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (3) untuk eliminasi $c$, sehingga diperoleh:

$1 = \:^a\log_{}{(\frac{9}{2} + b)} \:-\: ^a\log_{}{(\frac{17}{4} + b)}$

$1 = \:^a\log_{}{\left(\dfrac{\frac{9}{2} + b}{\frac{17}{4} + b}\right)}\dotso\dotso (5)$

Persamaan (4) dan (5), sama-sama memiliki nilai sama dengan 1, sehingga:

$^a\log_{}{\dfrac{5 + b}{\frac{9}{2} + b}}=\: ^a\log_{}{\dfrac{\frac{9}{2} + b}{\frac{17}{4} + b}}$

$\dfrac{5 + b}{\frac{9}{2} + b} = \dfrac{\frac{9}{2} + b}{\frac{17}{4} + b}\:\:\:\:\:\color{blue}\text{kali silang}$

$(5 + b)(\frac{17}{4} + b) = (\frac{9}{2} + b)(\frac{9}{2} + b)$

$\frac{85}{4} + 5b + \frac{17}{4}b + \cancel{b^2} = \frac{81}{4} + 9b + \cancel{b^2}$

$\frac{85}{4}\:-\: \frac{81}{4} = 9b\:-\:5b\:-\:\frac{17}{4}b $

$1 = -\frac{1}{4}b$

$b = -4$

Substitusikan nilai $b = -4$ ke persamaan (4)

$1 = \:^a\log_{}{\left(\dfrac{5 + b}{\frac{9}{2} + b}\right)}$

$1 = \:^a\log_{}{\left(\dfrac{5\:-\:4}{\frac{9}{2}\:-\:4}\right)}$

$1 = \:^a\log_{}{\dfrac{1}{\frac{1}{2}}}$

$1 = \:^a\log_{}{2}$

$a^1 = 2$

$a = 2$

Substitusikan nilai $a = 2$ dan $b = -4$ ke persamaan (1)

$5 = \:^a\log_{}{(5 + b)} + c$

$5 = \:^2\log_{}{(5 \:-\:4)} + c$

$5 = \:^2\log_{}{1} + c$

$5 = 0 + c$

$c = 5$

Jadi persamaan kurva logaritmanya adalah $y = \:^2\log_{}{(x\:-\:4)} + 5$

15/01/2022

Penulis: Benz

Menentukan Luas Segitiga

Contoh Soal

Contoh Soal

Contoh Soal

Contoh Soal

Contoh Soal

Contoh Soal

Contoh Soal