Fungsi \( f(x) = 3x \:-\: 5 \) merupakan fungsi linear berderajat satu. Karena koefisien arahnya (gradien) positif (\( m = 3 > 0 \)), fungsi ini bersifat monoton naik. Artinya, nilai minimum terjadi pada batas terkecil daerah asal dan nilai maksimum terjadi pada batas terbesar daerah asal.

• Untuk batas kiri (\( x = -2 \)):
  \[ f(-2) = 3(-2) \:-\: 5 = -6\:-\: 5 = -11 \] Karena pada daerah asal digunakan tanda selang tertutup (\( \le \)), maka nilai batas bawah daerah hasil juga menggunakan selang tertutup (\( \le \)).
• Untuk batas kanan (\( x = 3 \)):
  \[ f(3) = 3(3)\:-\: 5 = 9 \:-\: 5 = 4 \] Karena pada daerah asal digunakan tanda selang terbuka (\( < \)), maka nilai batas atas daerah hasil juga menggunakan selang terbuka (\( < \)).

Dengan melihat sebaran nilai \( y \) pada grafik di atas, daerah hasil (\( R_f \)) dari fungsi tersebut adalah:

\[ R_f = \{y \mid -11 \le y < 4, y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom yang selalu terdefinisi untuk setiap nilai real \( x \) tanpa batasan. Maka, daerah asalnya adalah:

\[ D_f = \{x \mid x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Dari persamaan \( f(x) = x^2 \:-\: 6x + 8 \), kita peroleh \( a = 1 \), \( b = -6 \), dan \( c = 8 \).

Karena \( a = 1 > 0 \), kurva parabola terbuka ke atas, yang berarti nilai puncak parabola merupakan nilai minimum (\( y_{\text{min}} \)).

Pertama, cari absis titik puncak (\( x_p \)):

\[ x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \]

Substitusikan nilai \( x_p = 3 \) ke dalam fungsi untuk menemukan nilai minimum (\( y_{\text{min}} \)):

\[ y_{\text{min}} = f(3) = (3)^2\:-\: 6(3) + 8 = 9 \:-\: 18 + 8 = -1 \]

Berdasarkan grafik di atas, kurva meluas ke atas mulai dari koordinat \( y = -1 \). Dengan demikian, daerah hasilnya adalah:

\[ R_f = \{y \mid y \ge -1, y \in \mathbb{R}\} \]

Untuk fungsi kuadrat dengan domain terbatas, kita wajib memeriksa apakah absis titik puncak (\( x_p \)) terletak di dalam interval daerah asal atau di luarnya.

Dari fungsi \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \), diperoleh \( a = -1 \), \( b = 4 \), dan \( c = 5 \).

Absis titik puncak (\( x_p \)):

\[ x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-1)} = 2 \]

Karena \( x_p = 2 \) berada di dalam selang daerah asal (\( -1 \le 2 \le 5 \)), nilai puncak ini menjadi batas maksimum daerah hasil karena parabola terbuka ke bawah (\( a = -1 < 0 \)):

\[ y_{\text{maks}} = f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \]

Selanjutnya, hitung nilai fungsi pada ujung-ujung interval daerah asal:

• Untuk \( x = -1 \):
  \[ f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 \:-\: 4 + 5 = 0 \]
• Untuk \( x = 5 \):
  \[ f(5) = -(5)^2 + 4(5) + 5 = -25 + 20 + 5 = 0 \]

Dari grafik di atas, nilai terendah fungsi pada selang ini adalah \( 0 \) dan nilai tertinggi adalah \( 9 \). Maka daerah hasilnya adalah:

\[ R_f = \{y \mid 0 \le y \le 9, y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Agar fungsi pecahan terdefinisi pada bilangan real, nilai penyebut pecahan tidak boleh nol:

\[ x \:-\: 3 \ne 0 \implies x \ne 3 \]

Artinya, kurva tidak akan pernah memotong garis vertikal \( x = 3 \) (disebut asimtot tegak). Maka daerah asalnya:

\[ D_f = \{x \mid x \ne 3, x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Kita ubah bentuk fungsi \( y = f(x) \) menjadi persamaan \( x = g(y) \):

\[ y = \dfrac{2x + 4}{x \:-\: 3} \implies y(x \:-\: 3) = 2x + 4 \implies yx\:-\: 3y = 2x + 4 \] \[ yx \:-\: 2x = 3y + 4 \implies x(y \:-\: 2) = 3y + 4 \implies x = \dfrac{3y + 4}{y \:-\: 2} \]

Agar nilai \( x \) bernilai real, penyebut baru ini tidak boleh sama dengan nol:

\[ y \:-\: 2 \ne 0 \implies y \ne 2 \]

Secara grafik, kurva tidak pernah menyentuh garis mendatar \( y = 2 \) (asimtot datar). Maka daerah hasilnya:

\[ R_f = \{y \mid y \ne 2, y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Syarat agar fungsi terdefinisi adalah penyebut tidak boleh nol:

\[ 2x + 6 \ne 0 \implies 2x \ne -6 \implies x \ne -3 \] \[ D_f = \{x \mid x \ne -3, x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Nyatakan fungsi dalam bentuk persamaan \( x \):

\[ y = \dfrac{4x\:-\: 1}{2x + 6} \implies y(2x + 6) = 4x \:-\: 1 \implies 2xy + 6y = 4x \:-\: 1 \] \[ 2xy\:-\: 4x = -6y \:-\: 1 \implies x(2y \:-\: 4) = -(6y + 1) \implies x = -\dfrac{6y + 1}{2y\:-\: 4} \]

Syarat agar \( x \) bernilai real:

\[ 2y \:-\: 4 \ne 0 \implies 2y \ne 4 \implies y \ne 2 \]

Sesuai dengan asimtot datar \( y = 2 \) pada grafik di atas, nilai \( y = 2 \) tidak pernah dicapai oleh kurva. Maka daerah hasilnya:

\[ R_f = \{y \mid y \ne 2, y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Nilai di bawah akar pangkat dua harus bernilai positif atau nol (tidak boleh negatif):

\[ 3x \:-\: 12 \ge 0 \implies 3x \ge 12 \implies x \ge 4 \]

Grafik di atas terbukti berawal dari titik absis \( x = 4 \) ke arah kanan. Maka daerah asalnya:

\[ D_f = \{x \mid x \ge 4, x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Berdasarkan sifat akar kuadrat utama, nilai keluaran fungsi ini selalu bernilai positif atau nol. Terlihat pada grafik bahwa grafik membentang dari sumbu \( y = 0 \) ke atas:

\[ f(x) \ge 0 \implies y \ge 0 \] \[ R_f = \{y \mid y \ge 0, y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Syarat nilai di bawah tanda akar harus non-negatif:

\[ 16\:-\: x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4 \]

Grafik di atas membentuk kurva setengah lingkaran dengan bentang horizontal dari \( x = -4 \) hingga \( x = 4 \). Maka daerah asalnya:

\[ D_f = \{x \mid -4 \le x \le 4, x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Karena rentang daerah asal berada pada selang \( -4 \le x \le 4 \), nilai kuadrat \( x^2 \) berada pada kisaran \( [0, 16] \).

• Nilai minimum fungsi dicapai saat nilai \( x^2 \) maksimum (yaitu \( x^2 = 16 \)):
  \[ f(\pm 4) = \sqrt{16 \:-\: 16} = 0 \]
• Nilai maksimum fungsi dicapai saat nilai \( x^2 \) minimum (yaitu \( x^2 = 0 \)):
  \[ f(0) = \sqrt{16\:-\: 0} = 4 \]

Sesuai dengan grafik vertikal kurva di atas, daerah hasil terletak di antara batas terendah \( 0 \) dan tertinggi \( 4 \):

\[ R_f = \{y \mid 0 \le y \le 4, y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Fungsi eksponensial tidak memiliki batasan input nilai real \( x \) sehingga kurva membentang tanpa batas ke kiri dan kanan. Maka:

\[ D_f = \{x \mid x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Nilai dari fungsi dasar eksponensial \( 2^{x – 3} \) akan selalu bernilai positif (lebih besar dari nol):

\[ 2^{x\:-\: 3} > 0 \]

Jika kedua ruas kita jumlahkan dengan konstanta pergeseran \( 1 \), diperoleh:

\[ 2^{x\:-\: 3} + 1 > 0 + 1 \implies f(x) > 1 \]

Kurva secara visual mendekati garis putus-putus \( y = 1 \) dari atas namun tidak akan pernah menyentuhnya (asimtot datar). Maka daerah hasilnya:

\[ R_f = \{y \mid y > 1, y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Fungsi logaritma mensyaratkan numerus harus bernilai positif murni (lebih besar dari nol):

\[ 2x \:-\: 8 > 0 \implies 2x > 8 \implies x > 4 \]

Grafik di atas memperlihatkan bahwa kurva dibatasi di sebelah kiri oleh asimtot tegak \( x = 4 \) dan membentang ke kanan. Maka daerah asalnya:

\[ D_f = \{x \mid x > 4, x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Kurva logaritma membentang secara vertikal tanpa batasan menuju negatif tak hingga (\( -\infty \)) ke bawah dan positif tak hingga (\( \infty \)) ke atas. Maka daerah hasilnya adalah seluruh himpunan bilangan real:

\[ R_f = \{y \mid y \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Asal (\( D_f \))

Terdapat dua syarat bentuk aljabar yang harus dipenuhi secara bersamaan:

(1)  Syarat irrasional di bawah tanda akar:
\[ x \:-\: 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \]

(2)  Syarat penyebut pecahan tidak boleh nol:
\[ \sqrt{x \:-\: 2} \ne 0 \implies x\:-\: 2 \ne 0 \implies x \ne 2 \]

Irisan dari kedua kondisi ini menghasilkan daerah asal \( x > 2 \), yang secara grafik dibatasi oleh asimtot tegak \( x = 2 \):

\[ D_f = \{x \mid x > 2, x \in \mathbb{R}\} \]

Menentukan Daerah Hasil (\( R_f \))

Karena pembilang bernilai positif (\( 5 \)) dan penyebut \( \sqrt{x \:-\: 2} \) selalu menghasilkan nilai positif murni pada domainnya, hasil pecahan dipastikan selalu positif murni:

\[ f(x) > 0 \]

Ketika \( x \) mendekati \( 2 \) dari arah kanan (\( x \to 2^+ \)), penyebut mengecil mendekati nol, menyebabkan nilai pecahan membesar menuju tak hingga (\( y \to \infty \)).

Ketika \( x \) membesar tanpa batas (\( x \to \infty \)), penyebut membesar menuju tak hingga, menyebabkan nilai pecahan mengecil mendekati nol (\( y \to 0 \)).

Sesuai bentangan vertikal grafik di atas, kurva hanya berada di atas sumbu \( x \) (\( y = 0 \)). Maka daerah hasilnya:

\[ R_f = \{y \mid y > 0, y \in \mathbb{R}\} \]