Benang Lurus
Benang Lurus
Relasi yang Merupakan Fungsi
-
MODUL 01Relasi yang Merupakan Fungsi
-
MODUL 02Menentukan Domain dan Range Fungsi
-
MODUL 03Fungsi Surjektif, Injektif, dan Bijektif
-
MODUL 04Simulasi Fungsi Surjektif, Injektif, dan Bijektif
-
MODUL 05Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian Fungsi
-
MODUL 06Syarat Komposisi Fungsi
-
MODUL 07Simulasi Komposisi Dua Fungsi
-
MODUL 08Soal Latihan Komposisi Fungsi 01
-
MODUL 09Fungsi Invers
-
MODUL 10Soal Latihan Fungsi
-
MODUL 11Kuis Fungsi 01
Fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota dari suatu himpunan dengan tepat satu anggota pada himpunan yang lain.
Contoh suatu relasi yang merupakan fungsi
Setiap anggota A dipasangkan tepat ke satu anggota B, sehingga relasi dari A ke B adalah fungsi.
A = {1, 2, 3, 4} disebut dengan domain (daerah asal)
B = {b1, b2, b3, b4} disebut dengan kodomain (daerah kawan)
{b1, b2, b3} disebut dengan range {daerah hasil}
Contoh suatu relasi yang bukan fungsi
Relasi dari A ke B pada gambar di atas bukan merupakan fungsi karena salah satu anggota dari A yaitu 3 dipasangkan dua kali ke anggota dari B yaitu 10 dan 15.
Relasi dari P ke Q pada gambar di atas bukan merupakan fungsi karena ada anggota P yaitu 5 yang tidak dipasangkan dengan anggota Q.
Tes Garis Vertikal
Tes garis vertikal digunakan untuk mengetahui suatu relasi yang digambarkan dalam bentuk grafik merupakan fungsi atau bukan.
Jika garis vertikal digeser ke kiri maupun ke kanan melalui grafik relasi hanya memotong grafik di satu titik saja, maka grafik relasi tersebut merupakan fungsi.
Contoh grafik relasi yang merupakan fungsi
A. Fungsi Linear
\(\color{blue} y = 0,5x + 2\)
B. Fungsi Kuadrat
\(\color{blue} y = x^2\:-\:3\)
C. Fungsi Pangkat Tiga
\(\color{blue} y = x^3\)
D. Fungsi Sinus
\(\color{blue} y = \sin x\)
Contoh grafik relasi yang bukan fungsi
A. Persamaan Lingkaran
\(\color{blue} x^2 + y^2 = 9\)
B. Parabola yang membuka ke kiri
\(\color{blue} x = 6 \:-\: y^2\)
Latihan Soal
Soal 01
Amatilah diagram panah relasi dari himpunan A ke himpunan B berikut:
Apakah relasi di atas merupakan sebuah fungsi? Jelaskan alasannya!
Mari kita periksa seluruh anggota himpunan Domain A = \(\{1, 2, 3\}\):
- Anggota \(1\) memiliki tepat satu pasangan di B, yaitu \(a\).
- Anggota \(2\) memiliki tepat satu pasangan di B, yaitu \(b\).
- Anggota \(3\) memiliki tepat satu pasangan di B, yaitu \(b\).
Karena semua anggota A memiliki pasangan dan tidak ada anggota A yang memiliki pasangan lebih dari satu, maka relasi ini MERUPAKAN FUNGSI (meskipun anggota \(b\) di Kodomain menerima dua panah, hal tersebut tetap memenuhi syarat fungsi).
Soal 02
Amatilah diagram panah relasi dari himpunan A ke himpunan B berikut:
Apakah relasi di atas merupakan sebuah fungsi? Jelaskan alasannya!
Mari kita periksa anggota Domain A = \(\{1, 2, 3\}\):
- Anggota \(1\) memiliki dua pasangan di B, yaitu \(a\) dan \(b\) (bercabang).
- Anggota \(3\) tidak memiliki pasangan di B (kosong).
Karena terdapat anggota domain yang bercabang (\(1\)) dan anggota yang tidak memiliki pasangan (\(3\)), maka relasi ini BUKAN FUNGSI.
Soal 03
Diketahui tiga buah relasi yang dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut:
\(R_1 = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)\}\)
\(R_2 = \{(1, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6)\}\)
\(R_3 = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4)\}\)
Manakah di antara relasi-relasi di atas yang merupakan fungsi?
Untuk himpunan pasangan berurutan \((x, y)\), relasi merupakan fungsi jika nilai \(x\) (elemen pertama) tidak boleh berulang.
Relasi \(R_1\): Nilai \(x\) adalah \(\{1, 2, 3, 4\}\). Semua nilai \(x\) berbeda/tidak berulang. Maka \(R_1\) adalah FUNGSI.
Relasi \(R_2\): Nilai \(x\) adalah \(\{1, 1, 2, 3\}\). Anggota \(x = 1\) berulang/muncul dua kali (\((1, 3)\) dan \((1, 4)\)). Maka \(R_2\) BUKAN FUNGSI.
Relasi \(R_3\): Nilai \(x\) adalah \(\{1, 2, 3, 4\}\). Semua nilai \(x\) berbeda/tidak berulang (meskipun semua nilai \(y\) sama yaitu \(4\)). Maka \(R_3\) adalah FUNGSI.
Jadi, relasi yang merupakan fungsi adalah \(R_1\) dan \(R_3\).
Soal 04
Perhatikan grafik persamaan kuadrat \(y = x^2\:-\:1\) pada bidang Kartesius berikut:
Gunakan Uji Garis Vertikal untuk menentukan apakah grafik di atas merupakan grafik dari suatu fungsi!
Berdasarkan Uji Garis Vertikal (Vertical Line Test):
Jika kita menarik garis vertikal sembarang sejajar sumbu-Y di mana saja sepanjang domain grafik, garis vertikal tersebut hanya memotong grafik parabola di tepat satu titik.
Oleh karena itu, grafik parabola vertikal ini MERUPAKAN GRAFIK FUNGSI.
Soal 05
Perhatikan grafik persamaan lingkaran \(x^2 + y^2 = 4\) berikut:
Gunakan Uji Garis Vertikal untuk menentukan apakah grafik lingkaran di atas merupakan grafik dari suatu fungsi!
Berdasarkan Uji Garis Vertikal (Vertical Line Test):
Ketika kita membuat garis vertikal sejajar sumbu-Y (misalnya pada \(x = 1\)), garis vertikal tersebut memotong kurva lingkaran di dua titik sekaligus (Titik 1 di bagian atas dan Titik 2 di bagian bawah).
Hal ini berarti untuk satu nilai \(x\), terdapat dua nilai \(y\) yang berbeda (cabang dua). Oleh karena itu, grafik lingkaran ini BUKAN MERUPAKAN GRAFIK FUNGSI.
Soal 06
Jika \(f(x) = 3x + 1\), nilai \(f(2) = \dotso\)
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
Jawaban: B
\(f(x) = 3x + 1\)
\(f(2) = 3(2) + 1\)
\(f(2) = 7\)
Soal 07
Diketahui \(f(x) = 2x + c\), dengan \(c\) suatu konstanta, dan \(f(3) = 10\). Nilai \(c = \dotso\)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Jawaban: D
\(f(x) = 2x + c\)
\(f(3) = 2(3) + c = 10\)
\(6 + c = 10\)
\(c = 10\:-\:6\)
\(c = 4\)
Soal 08
Jika \(f(2x\:-\:1) = 4x + 5\), \(f(x) = \dotso\)
(A) \(f(x) = 2x + 3\)
(B) \(f(x) = 3x + 2\)
(C) \(f(x) = 7x + 1\)
(D) \(f(x) = x + 10\)
(E) \(f(x) = 2x + 7\)
Jawaban: E
\(f(2x\:-\:1) = 4x + 5\)
Misal \(2x\:-\:1 = p\)
\(2x = p + 1\)
\(x = \dfrac{p + 1}{2}\)
\(f(p) = 4\left(\dfrac{p + 1}{2} \right) + 5\)
\(f(p) = 2(p + 1) + 5\)
\(f(p) = 2p + 2 + 5\)
\(f(p) = 2p + 7\)
Karena \(p\) hanyalah suatu variabel, maka kita bisa menggantikan \(p\) menjadi \(x\) kembali.
\(f(x) = 2x + 7\)
Soal 09
Jika \(f(6x + a) = 5x + 6\) dan \(f(3) = 8\), maka \(f(2) = \dotso\)
(A) \(\dfrac{42}{5}\)
(B) \(\dfrac{43}{6}\)
(C) \(\dfrac{47}{6}\)
(D) \(\dfrac{48}{6}\)
(E) \(\dfrac{49}{8}\)
Jawaban: B
\(f(6x + a) = 5x + 6\)
Misal 6x + a = p
\(6x = p\:-\:a\)
\(x = \dfrac{p\:-\:a}{6}\)
\(f(p) = 5\left(\dfrac{p\:-\:a}{6}\right) + 6\)
\(f(p) = 5\left(\dfrac{p\:-\:a}{6}\right) + \dfrac{36}{6}\)
\(\color{blue}f(3) = 8\)
\(f(3) = \dfrac{5(3)\:-\:5a + 36}{6} = 8\)
\(\dfrac{15\:-\:5a + 36}{6} = 8\)
Kali kedua ruas dengan 6,
\(51 \:-\:5a = 48\)
\(-5a = 48\:-\:51\)
\(-5a = -3\)
Bagi kedua ruas dengan \(-5\)
\(a = \dfrac{3}{5}\)
Selanjutnya, susbstitusikan \(a = \dfrac{3}{5}\) ke \(f(p) = 5\left(\dfrac{p\:-\:a}{6}\right) + 6\)
\(f(p) = 5\left(\dfrac{p\:-\:\frac{3}{5}}{6}\right) + 6\)
Kemudian kita hitung nilai \(f(2)\)
\(f(2) = 5\left(\dfrac{2\:-\:\frac{3}{5}}{6}\right) + \dfrac{36}{6}\)
\(f(2) = \cancel{5}\left(\dfrac{\frac{7}{\cancel{5}}}{6}\right) + \dfrac{36}{6}\)
\(f(2) = \dfrac{7}{6}+ \dfrac{36}{6}\)
\(f(2) = \dfrac{43}{6}\)
Soal 10
Fungsi \(f\) dinyatakan dengan rumus \(f(x) = mx + k\). Jika \(f(2) = 13\) dan \(f(5) = 22\), nilai \(m + k = \dotso\)
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 12
Jawaban: D
\(f(x) = mx + k\)
\(\color{blue}f(2) = 13\)
\(f(2) = 2m + k\)
\(13 = 2m + k\:\dotso \color{blue} (1)\)
\(\color{blue}f(5) = 22\)
\(f(5) = 5m + k\)
\(22 = 5m + k\:\dotso \color{blue} (2)\)
Eliminasi \(k\) pada persamaan (1) dan (2) dengan cara mengurangi persamaan (2) dengan persamaan (1).
\(9 = 3m\)
\(m= \dfrac{9}{3} = 3\)
Selanjutnya, substitusikan \(m = 3\) ke salah satu persamaan.
Kita pilih persamaan (1)
\(13 = 2(3) + k\)
\(13 = 6 + k\)
\(k = 13\:-\:6\)
\(k = 7\)
Jadi, nilai \(m + k = 3 + 7 = 10\)