Kunci Jawaban: Opsi A (Stasiun W)

1. Menentukan Koordinat Awal:

Berdasarkan grafik sumbu koordinat, posisi awal robot AGV berada pada titik \( P(4, 6) \).

2. Menerapkan Aturan Pergeseran (Translasi):

Dengan komponen translasi \( T(5, -3) \), penentuan koordinat titik bayangan \( P^{‘}(x^{‘}, y^{‘}) \) adalah:

Koordinat bayangan akhir adalah \( P^{‘}(9, 3) \), yang tepat berhimpit dengan posisi Stasiun W.

Kunci Jawaban: C

1. Menentukan Koordinat Sudut Asal dan Bayangan:

Berdasarkan grafik koordinat Kartesius, diperoleh pemetaan ketiga titik sudut sebagai berikut:

2. Menganalisis Pola Pemetaan Koordinat:

Jika diperhatikan hubungan nilai absis (\(x\)) dan ordinat (\(y\)):

3. Mengidentifikasi Karakteristik Transformasi:

Rumus pemetaan \( (x, y) \rightarrow (y, \:-\: x) \) merupakan aturan baku dari transformasi rotasi sebesar \( 90^\circ \) searah jarum jam (atau setara dengan rotasi \( 270^\circ \) berlawanan arah jarum jam / rotasi \( -90^\circ \)) dengan pusat putaran di titik asal \( O(0,0) \).

Kunci Jawaban: D

1. Menentukan Koordinat Awal Setiap Sudut Segitiga:

Berdasarkan grafik koordinat Kartesius, titik-titik sudut kedua segitiga adalah:

Segitiga \( PQR \):

\( P(-6, 8) \), \( Q(0, 6) \), dan \( R(-3, 3) \)

Segitiga \( KLM \):

\( K(0, 6) \), \( L(6, 4) \), dan \( M(3, 1) \)

2. Menghitung Koordinat Bayangan Segitiga P’Q’R’ oleh Translasi \( T(6, \:-\: 2) \):

Dengan menerapkan rumus umum pergeseran titik \( (x^{‘}, y^{‘}) = (x + a, y + b) \):

Bayangan Titik \( P(-6, 8) \):

Diperoleh \( P^{‘}(0, 6) \), yang sama persis dengan koordinat titik \( K(0, 6) \).

Bayangan Titik \( Q(0, 6) \):

Diperoleh \( Q^{‘}(6, 4) \), yang sama persis dengan koordinat titik \( L(6, 4) \).

Bayangan Titik \( R(-3, 3) \):

Diperoleh \( R^{‘}(3, 1) \), yang sama persis dengan koordinat titik \( M(3, 1) \).

3. Analisis Kesimpulan Hubungan Bangun:

Karena setiap titik sudut bayangan tepat berpasangan dengan titik sudut bangun kedua:

Maka seluruh sisi dan daerah dari bayangan segitiga P’Q’R’ menempati ruang posisi yang sama dengan segitiga KLM. Dengan demikian, kedua segitiga tersebut saling berhimpit.

Kunci Jawaban: B

1. Menentukan Faktor Skala Dilatasi (\( k \)):

Berdasarkan grafik sumbu koordinat, bandingkan koordinat titik asal terhadap bayangannya yang berpusat di \( O(0,0) \):

Titik asal \( B(6, 2) \) diperbesar menjadi \( B'(12, 4) \).

Kita verifikasi pada koordinat ordinat (\( y \)):

Diperoleh faktor skala dilatasi perbesaran gambar adalah \( k = 2 \).

2. Menghitung Luas Bangun Baru \( A’B’C’D’ \):

Berdasarkan sifat transformasi dilatasi, jika suatu bangun dengan luas \( L \) didilatasi dengan faktor skala \( k \), maka luas bangun hasil bayangannya (\( L^{‘} \)) mengalami perubahan sebanding dengan kuadrat faktor skala (\( k^2 \)):

3. Verifikasi Geometris Luas Trapesium:

Panjang sisi-sisi sejajar dan tinggi trapesium siku-siku baru \( A’B’C’D’ \) pada grafik:

Menghitung luas daerah trapesium:

Dengan demikian, faktor skala dilatasi adalah \( k = 2 \) dan luas logo baru hasil fotokopi adalah \( 24\text{ satuan luas} \).

Kunci Jawaban: A

1. Mengidentifikasi Posisi Akhir Drone:

Berdasarkan denah koordinat Cartesius, posisi akhir drone berada pada titik:

2. Menentukan Posisi Sebelum Rotasi (Invers Rotasi \( 90^\circ \) Berlawanan Arah Jarum Jam):

Aturan rotasi \( [O, 90^\circ] \) berlawanan jarum jam adalah:

Cocokkan dengan titik akhir \( P^{”}(-4, 5) \):

Diperoleh posisi bayangan pertama (setelah pencerminan) yaitu \( P^{‘}(5, 4) \).

3. Menentukan Titik Awal (Invers Pencerminan terhadap Garis \( x = 3 \)):

Rumus pencerminan terhadap garis vertikal \( x = a \) dengan nilai \( a = 3 \):

Substitusikan nilai \( x^{‘} = 5 \), \( y^{‘} = 4 \), dan \( a = 3 \):

Untuk ordinat:

Dengan demikian, koordinat titik awal drone adalah \( P(1, 4) \), yang berhimpit tepat di Hanggar A.

Kunci Jawaban: A

Metode Substitusi Aljabar

1. Menentukan Hubungan Koordinat Akibat Rotasi:
Rotasi sebesar \( 90^\circ \) searah jarum jam sama artinya dengan rotasi sudut \( -90^\circ \) dengan pusat \( O(0, 0) \).
Aturan transformasi titik bayangannya adalah:

Dari persamaan kesamaan koordinat di atas, nyatakan variabel asal (\(x\) dan \(y\)) ke dalam variabel bayangan (\(x^{‘}\) dan \(y^{‘}\)):

2. Substitusi ke Persamaan Garis Awal:
Persamaan garis awal adalah \( 2x + 3y – 6 = 0 \). Ganti nilai \( x \) dengan \( -y^{‘} \) dan nilai \( y \) dengan \( x^{‘} \):

Dengan menghilangkan tanda aksen, diperoleh persamaan garis bayangan akhir:

Kunci Jawaban: A

Cara 1: Langkah Demi Langkah (Step-by-Step)

1. Menerapkan Dilatasi:
Titik awal adalah \( K(-4, 6) \). Dilatasi dilakukan dengan pusat \( O(0, 0) \) dan faktor skala \( k = \frac{1}{2} \).
Rumus dilatasi dengan pusat \( O(0, 0) \):

Hitung nilai koordinat bayangan pertama:

Diperoleh koordinat perantara \( K^{‘}(-2, 3) \) (yang bertepatan dengan Titik Q).

2. Menerapkan Rotasi \( 180^\circ \):
Titik \( K^{‘}(-2, 3) \) dirotasikan sebesar \( 180^\circ \) dengan pusat \( O(0, 0) \).
Rumus rotasi \( 180^\circ \) (searah maupun berlawanan jarum jam):

Hitung nilai koordinat bayangan akhir:

Maka, posisi akhir kapal adalah \( K^{”}(2, -3) \), yang tepat berada di Titik P.

Cara 2: Komposisi Transformasi Langsung (Metode Cepat)

Gabungan dilatasi faktor \( k = \frac{1}{2} \) dilanjutkan rotasi \( 180^\circ \) ekuivalen dengan satu operasi transformasi:

Substitusikan titik awal \( (-4, 6) \):

Hasil langsung diperoleh pada koordinat \( (2, -3) \) yaitu Titik P.

Kunci Jawaban: Opsi D (Robot Delta)

1. Menghitung Luas Segitiga Mula-Mula:

Berdasarkan titik koordinat segitiga siku-siku \( \Delta ABC \):

2. Analisis Konseptual Sifat Transformasi:

Dalam geometri transformasi, terdapat dua kelompok utama berdasarkan pengaruhnya terhadap ukuran dan bentuk objek:

1. Transformasi Isometri (Mempertahankan Ukuran & Luas):
   Translasi (pergeseran), Refleksi (pencerminan), dan Rotasi (perputaran) merupakan transformasi kaku (rigid motion). Sifat bangun bayangan adalah kongruen (\( \Delta \cong \Delta^{‘} \)), sehingga panjang sisi, besar sudut, dan luas bayangan selalu sama dengan luas aslinya (\( L^{‘} = L \)).
2. Transformasi Non-Isometri (Dilatasi):
   Dilatasi (perbesaran/pengecilan) dengan faktor skala \( k \) menghasilkan bayangan yang sebangun, tetapi ukurannya berubah. Hubungan antara luas bayangan (\( L^{‘} \)) dan luas awal (\( L \)) dirumuskan dengan:

      

3. Menguji Transformasi Tiap Robot:

• Robot Alpha:
  Refleksi (\(\text{isometri}\)) + Rotasi (\(\text{isometri}\)).
  Kedua transformasi mempertahankan ukuran:

     

• Robot Beta:
  Translasi (\(\text{isometri}\)) + Refleksi (\(\text{isometri}\)).

     

• Robot Gamma:
  Dilatasi dengan \( k = -1 \) dilanjutkan Rotasi \( 180^\circ \).
  Pengaruh nilai skala \( k = -1 \) terhadap luas:

     

  Catatan Kritis: Faktor skala \( k = -1 \) hanya membalik orientasi arah bangun (ekuivalen dengan rotasi \( 180^\circ \)) tanpa mengubah ukuran panjang maupun luasnya.

• Robot Delta:
  Dilatasi dengan \( k = \frac{1}{2} \) dilanjutkan Refleksi terhadap \( y = x \).
  Pengaruh nilai skala \( k = \frac{1}{2} \) terhadap luas:

     

  Refleksi setelahnya tidak mengubah luas lagi, sehingga luas akhir lempeng berkurang dari \( 6\text{ satuan luas} \) menjadi \( 1{,}5\text{ satuan luas} \).

Dengan demikian, robot yang mengubah ukuran luas lempeng sensor adalah Robot Delta.

Kunci Jawaban: Opsi B (Sensor Beta)

1. Konsep Dasar Titik Invarian:

Titik \( P(x, y) \) dikatakan sebagai titik invarian terhadap suatu komposisi transformasi jika posisi koordinat bayangan akhirnya sama persis dengan koordinat awalnya:

2. Menganalisis Komposisi Pencerminan:

Misalkan koordinat sembarang titik mula-mula adalah \( P(x, y) \).

• Langkah 1: Pencerminan terhadap garis \( x = 3 \)
  Rumus pencerminan terhadap garis vertikal \( x = a \):

     

  Sehingga koordinat bayangan pertama adalah \( P^{‘}(6 – x, \; y) \).

• Langkah 2: Pencerminan terhadap garis \( y = 2 \)
  Rumus pencerminan terhadap garis horizontal \( y = b \):

     

  Sehingga koordinat bayangan akhir adalah \( P^{”}(6 – x, \; 4 – y) \).

3. Menentukan Titik Invarian (\( P^{”} = P \)):

Samakan koordinat bayangan akhir dengan koordinat awal:

Untuk sumbu vertikal:

Satu-satunya titik yang memenuhi syarat tersebut adalah titik \( (3, 2) \), yang bertepatan dengan Sensor Beta.

Note:

• Suatu titik pada garis cermin tidak akan berpindah posisi jika dicerminkan terhadap garis tersebut.
• Karena Sensor Beta \( (3, 2) \) berada tepat pada perpotongan garis cermin \( x = 3 \) dan \( y = 2 \), maka saat dicerminkan terhadap \( x = 3 \) posisinya tetap di \( (3, 2) \), dan saat dilanjutkan dicerminkan terhadap \( y = 2 \) posisinya juga tetap di \( (3, 2) \).
• Sensor Delta \( (0, 0) \) bukan titik invarian di sini karena kedua garis cermin tidak melewati titik pusat \( (0, 0) \).

Kunci Jawaban: A

Cara 1: 

1. Pencerminan terhadap Garis \( y = x \):
Rumus pencerminan suatu titik terhadap garis diagonal \( y = x \) adalah menukar posisi nilai absis (\(x\)) dan ordinat (\(y\)):

Menerapkan rumus pada titik awal \( P(2, 5) \):

Bayangan perantara berada di titik \( (5, 2) \) yang berimpit dengan Pos L.

2. Dilanjutkan Pencerminan terhadap Sumbu-X:
Rumus pencerminan terhadap sumbu-X (garis horizontal \( y = 0 \)) adalah mengubah tanda koordinat \( y \) menjadi lawannya, sedangkan nilai \( x \) tetap:

Menerapkan rumus pada titik perantara \( P^{‘}(5, 2) \):

Koordinat bayangan akhir adalah \( (5, -2) \), yang tepat berada di lokasi Pos K.

Cara 2: 

Gabungan pencerminan terhadap garis \( y = x \) dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-X dapat dirumuskan secara langsung:

Substitusikan titik awal \( P(2, 5) \) di mana \( x = 2 \) dan \( y = 5 \):

Diperoleh posisi akhir \( P^{”}(5, -2) \).

Catatan Tambahan: Transformasi gabungan \( (x, y) \to (y, -x) \) ini secara geometris tepat ekuivalen dengan rotasi sebesar \( 90^\circ \) searah jarum jam (\( -90^\circ \)) berpusat di \( O(0, 0) \).