Domain (Daerah Asal):
Domain adalah seluruh anggota himpunan pertama (himpunan kiri yang memancarkan anak panah), yaitu himpunan \(P\).
\[\text{Domain} = \{a, b, c, d\}\]

Kodomain (Daerah Kawan):
Kodomain adalah seluruh anggota himpunan kedua (himpunan kanan yang menerima anak panah), yaitu himpunan \(Q\).
\[\text{Kodomain} = \{1, 2, 3, 4\}\]

Range (Daerah Hasil):
Range adalah anggota kodomain yang memiliki pasangan di domain (anggota himpunan kanan yang ditunjuk langsung oleh anak panah), yaitu angka \(1\) dan \(3\).
\[\text{Range} = \{1, 3\}\]

Mari kita tinjau setiap pilihan jawaban yang tersedia:

(A) Salah, karena Range seharusnya adalah \(\{1, 3\}\).

(B) Salah, karena Domain dan Kodomainnya tertukar.

(C) Salah, karena Kodomain seharusnya adalah \(\{1, 2, 3, 4\}\).

(D) Benar, karena Domain adalah \(\{a, b, c, d\}\) dan Range adalah \(\{1, 3\}\).

Jawaban: (D)

Agar sebuah diagram panah (relasi) dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) dapat disebut sebagai fungsi (pemetaan), relasi tersebut wajib memenuhi dua buah aturan mutlak pada daerah asal (Domain \(A\)):

(1)  Semua anggota himpunan asal (\(A\)) harus memiliki pasangan (tidak boleh ada anggota di \(A\) yang tidak dipasangkan).

(2)  Semua anggota himpunan asal (\(A\)) hanya boleh memiliki tepat satu pasangan (tidak boleh ada anggota di \(A\) yang bercabang atau memiliki lebih dari satu pasangan).

Mari kita lakukan analisis mendalam pada masing-masing diagram panah di atas:

• Diagram (1): Bukan Fungsi
  Sebab anggota himpunan \(A\) yaitu angka \(3\) memiliki dua pasangan di himpunan \(B\) (bercabang ke angka \(4\) dan \(5\)).
• Diagram (2): Fungsi
  Sebab setiap anggota himpunan \(A\) (\(1\), \(2\), dan \(3\)) semuanya memiliki tepat satu pasangan di himpunan \(B\).
• Diagram (3): Bukan Fungsi
  Sebab ada anggota himpunan \(A\) yaitu angka \(1\) dan \(3\) yang tidak memiliki pasangan, serta angka \(2\) memiliki lebih dari satu pasangan (bercabang tiga).
• Diagram (4): Fungsi
  Sebab setiap anggota himpunan \(A\) (\(1\), \(2\), dan \(3\)) semuanya memiliki pasangan dan masing-masing hanya memiliki satu anak panah. Meskipun semuanya menunjuk ke angka yang sama di himpunan \(B\) (yaitu angka \(5\)), relasi ini tetap sah disebut sebagai fungsi (jenis fungsi konstan).

Dengan demikian, diagram panah yang merupakan fungsi adalah nomor (2) dan (4).

Jawaban: (A)

Untuk menentukan apakah sebuah grafik pada bidang koordinat Kartesius merupakan grafik fungsi \(y = f(x)\) atau bukan, kita dapat menggunakan metode yang sangat praktis dan cepat, yaitu Uji Garis Vertikal (Vertical Line Test).

Aturan Uji Garis Vertikal adalah:

Bayangkan kita menggambar garis-garis vertikal (tegak lurus sumbu \(X\)) di sepanjang grafik tersebut.

Jika ada satu saja garis vertikal yang memotong grafik di lebih dari satu titik, maka grafik tersebut bukan fungsi.

Jika setiap garis vertikal hanya memotong grafik di maksimal satu titik, maka grafik tersebut merupakan fungsi.

Sekarang, mari kita uji masing-masing grafik:

• Grafik (i) – Garis Lurus Diagonal: Fungsi
  Setiap garis vertikal yang ditarik hanya akan memotong garis diagonal ini di tepat satu titik. Oleh karena itu, grafik ini merupakan fungsi (disebut fungsi linear).
• Grafik (ii) – Garis Tegak Vertikal: Bukan Fungsi
  Jika kita membuat garis vertikal tepat di atas grafik tersebut, garis tersebut akan memotong grafik di titik yang tak terhingga banyaknya. Ini berarti satu nilai \(x\) memiliki pasangan nilai \(y\) yang tak terhingga, sehingga bukan fungsi.
• Grafik (iii) – Parabola Terbuka ke Atas: Fungsi
  Setiap garis vertikal yang kita tarik hanya akan memotong kurva parabola ini di tepat satu titik. Oleh karena itu, grafik ini merupakan fungsi (disebut fungsi kuadrat).
• Grafik (iv) – Lingkaran: Bukan Fungsi
  Garis vertikal yang ditarik melewati bagian tengah lingkaran akan memotong lingkaran di dua titik (titik atas dan titik bawah). Karena ada nilai \(x\) yang memiliki lebih dari satu pasangan \(y\), grafik ini bukan fungsi.

Dengan demikian, grafik yang merupakan grafik fungsi adalah nomor I dan III (atau (i) dan (iii)).

Jawaban: (B)

Untuk menentukan apakah sebuah himpunan pasangan berurutan merupakan fungsi (pemetaan) dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\), kita memiliki aturan praktis yang sangat mudah diingat:

Aturan Praktis Fungsi pada Pasangan Berurutan \((x, y)\):

(1)  Angka pertama (\(x\)) wajib mendaftarkan seluruh anggota himpunan daerah asal (\(A\)) secara lengkap. Pada soal ini, seluruh angka pertama wajib memuat angka \(1, 2, 3,\) dan \(5\).

(2)  Angka pertama (\(x\)) tidak boleh ditulis berulang (tidak boleh kembar). Artinya, masing-masing angka daerah asal hanya boleh muncul tepat satu kali.

(3) Huruf kedua (\(y\)) bebas (boleh kembar/berulang, boleh juga tidak).

Mari kita uji masing-masing pilihan himpunan pasangan berurutan:

Himpunan I: \(\{(1,a), (2,b), (3,a), (5,a)\}\) \(\rightarrow\) FUNGSI

Angka pertama: \(1, 2, 3, 5\) (Lengkap sesuai anggota himpunan \(A\)).

Angka pertama tidak ada yang berulang (semuanya muncul tepat satu kali).

Meskipun huruf kedua ada yang kembar (huruf \(a\) muncul tiga kali), ini tetap sah sebagai fungsi.

Himpunan II: \(\{(1,b), (2,b), (1,a), (3,a)\}\) \(\rightarrow\) BUKAN FUNGSI

Angka pertama \(1\) muncul sebanyak dua kali (kembar, yaitu pada \((1,b)\) dan \((1,a)\)).

Angka \(5\) tidak muncul pada posisi angka pertama.

Himpunan III: \(\{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\}\) \(\rightarrow\) BUKAN FUNGSI

Angka pertama \(1\) dan \(2\) masing-masing muncul dua kali.

Angka \(3\) dan \(5\) tidak muncul pada posisi angka pertama.

Himpunan IV: \(\{(1,b), (2,b), (3,b), (5,b)\}\) \(\rightarrow\) FUNGSI

Angka pertama: \(1, 2, 3, 5\) (Lengkap sesuai anggota himpunan \(A\)).

Angka pertama tidak ada yang berulang.

Meskipun seluruh huruf kedua adalah huruf \(b\) (fungsi konstan), ini tetap sah sebagai fungsi.

Dengan demikian, himpunan pasangan berurutan yang merupakan fungsi adalah nomor I dan IV.

Jawaban: (B)

Untuk mendeteksi dengan cepat apakah suatu himpunan pasangan berurutan merupakan fungsi atau bukan, kita cukup memeriksa angka/elemen pertama pada setiap pasangan tanda kurung \((x, y)\):

• Jika semua elemen pertama berbeda (unik/tidak ada yang kembar), maka relasi tersebut adalah fungsi.
• Jika ada elemen pertama yang sama (ditulis berulang/kembar), maka relasi tersebut bukan fungsi.

Mari kita analisis setiap himpunan pasangan berurutan di atas:

Himpunan I: \(\{(7, x), (8, x), (9, x), (10, x)\}\) \(\rightarrow\) FUNGSI
Elemen pertamanya adalah \(7, 8, 9, 10\). Karena semua elemen pertama berbeda (tidak ada yang kembar), maka himpunan I merupakan fungsi.

Himpunan II: \(\{(1, m), (2, m), (3, n), (4, n)\}\) \(\rightarrow\) FUNGSI
Elemen pertamanya adalah \(1, 2, 3, 4\). Karena semua elemen pertama berbeda (tidak ada yang kembar), maka himpunan II merupakan fungsi.

Himpunan III: \(\{(5, p), (5, q), (5, r), (5, s)\}\) \(\rightarrow\) BUKAN FUNGSI
Elemen pertamanya adalah \(5, 5, 5, 5\). Karena angka \(5\) ditulis berulang-ulang pada posisi pertama, maka himpunan III bukan fungsi.

Himpunan IV: \(\{(1, t), (2, u), (1, v), (2, w)\}\) \(\rightarrow\) BUKAN FUNGSI
Elemen pertamanya adalah \(1, 2, 1, 2\). Karena angka \(1\) dan \(2\) ditulis berulang pada posisi pertama, maka himpunan IV bukan fungsi.

Dengan demikian, pasangan berurutan yang merupakan fungsi adalah nomor (1) dan (2) (atau I dan II).

Jawaban: (A)

Korespondensi satu-satu (one-to-one correspondence) adalah bentuk relasi khusus yang menghubungkan anggota himpunan daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain) secara eksklusif berpasangan.

Agar sebuah relasi diagram panah dapat dikategorikan sebagai korespondensi satu-satu, relasi tersebut wajib memenuhi aturan ketat berikut:

(1)  Jumlah anggota kedua himpunan harus sama: \(n(A) = n(B)\). Pada soal ini, semua diagram memiliki jumlah anggota \(3\) di kiri dan \(3\) di kanan, sehingga syarat awal terpenuhi.

(2) Setiap anggota domain himpunan (A) memiliki tepat satu pasangan di himpunan (B) (merupakan sebuah fungsi).

(3)  Setiap anggota kodomain (B) hanya menerima tepat satu anak panah (tidak ada anggota di kanan yang bercabang/menerima lebih dari satu anak panah, dan tidak ada yang kosong).

Mari kita uji masing-masing diagram panah:

Diagram (i): Korespondensi Satu-satu
Setiap angka di kiri memiliki tepat satu pasangan huruf di kanan, dan setiap huruf di kanan dipasangkan dengan tepat satu angka di kiri (\(1 \rightarrow b\), \(2 \rightarrow a\), dan \(3 \rightarrow c\)). Tidak ada yang bercabang maupun kosong.

Diagram (ii): Bukan Korespondensi Satu-satu
Sebab angka \(2\) di kiri bercabang menuju \(b\) dan \(c\). Selain itu, huruf \(b\) di kanan menerima dua anak panah (dari \(2\) dan \(3\)).

Diagram (iii): Bukan Korespondensi Satu-satu
Sebab huruf \(c\) di kanan menerima dua anak panah (dari \(2\) dan \(3\)), dan ada huruf \(b\) di kanan yang kosong (tidak memiliki pasangan).

Diagram (iv): Korespondensi Satu-satu
Setiap angka di kiri memiliki tepat satu pasangan huruf di kanan, dan setiap huruf di kanan dipasangkan dengan tepat satu angka di kiri (\(1 \rightarrow c\), \(2 \rightarrow a\), dan \(3 \rightarrow b\)). Tidak ada yang bercabang maupun kosong.

Dengan demikian, diagram panah yang menunjukkan korespondensi satu-satu adalah nomor (i) dan (iv).

Jawaban: (B)

Untuk mencari banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan \(P\) ke himpunan \(Q\), kita wajib memastikan terlebih dahulu bahwa jumlah anggota kedua himpunan adalah sama.

1. Menghitung Jumlah Anggota Himpunan (\(n\))

• Anggota himpunan \(P = \{3, 5, 7, 9\}\) \(\rightarrow\) jumlah anggota, \(n(P) = 4\)
• Anggota himpunan \(Q = \{p, q, r, s\}\) \(\rightarrow\) jumlah anggota, \(n(Q) = 4\)

Karena jumlah anggota kedua himpunan sama, yaitu \(n = 4\), kita dapat menggunakan rumus korespondensi satu-satu.

2. Rumus Banyak Korespondensi Satu-satu

Jika jumlah anggota \(n(P) = n(Q) = n\), maka rumus untuk mencari banyak korespondensi satu-satu yang mungkin adalah menggunakan perhitungan Faktorial (\(n!\)):

\[\text{Banyak cara} = n!\]

\[\text{Banyak cara} = n \times (n \:-\: 1) \times (n \:-\: 2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1\]

Catatan: Faktorial (dilambangkan dengan tanda seru !) adalah perkalian berurutan menurun dari angka \(n\) sampai angka \(1\).

3. Melakukan Perhitungan

Dengan memasukkan nilai \(n = 4\) ke dalam rumus faktorial, kita dapatkan:

\[\text{Banyak cara} = 4!\]

\[\text{Banyak cara} = 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

\[\text{Banyak cara} = 12 \times 2 \times 1\]

\[\text{Banyak cara} = 24\text{ cara}\]

Dengan demikian, banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi adalah 24 cara.

Jawaban: (D)

Untuk menentukan daerah hasil (range) dari suatu fungsi, kita cukup memasukkan (mensubstitusikan) setiap angka yang ada pada daerah asal (domain) ke dalam rumus fungsi yang diberikan.

1. Menentukan Rumus Fungsi

Notasi fungsi \(f: x \rightarrow x^2 + 3\) dapat kita tuliskan dalam bentuk rumus fungsi matematika yang umum:

\[f(x) = x^2 + 3\]

Diketahui daerah asal (domain) adalah \(\{0, 2, 4, 5\}\). Ini berarti nilai \(x\) yang akan kita uji adalah \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = 4\), dan \(x = 5\).

2. Menghitung Nilai Fungsi untuk Setiap Domain

Mari kita hitung nilai fungsinya satu per satu:

• Untuk \(x = 0\):
  \[f(0) = 0^2 + 3\] \[f(0) = 0 + 3 = 3\]
• Untuk \(x = 2\):
  \[f(2) = 2^2 + 3\] \[f(2) = 4 + 3 = 7\]
• Untuk \(x = 4\):
  \[f(4) = 4^2 + 3\] \[f(4) = 16 + 3 = 19\]
• Untuk \(x = 5\):
  \[f(5) = 5^2 + 3\] \[f(5) = 25 + 3 = 28\]

3. Menyusun Daerah Hasil (Range)

Daerah hasil (range) adalah himpunan dari seluruh nilai fungsi yang telah kita hitung di atas:

\[\text{Range} = \{3, 7, 19, 28\}\]

Dengan demikian, daerah hasil fungsi tersebut adalah \(\{3, 7, 19, 28\}\).

Jawaban: (C)

Untuk mencari nilai fungsi \(f(-2)\), kita cukup mengganti (mensubstitusikan) setiap variabel \(x\) pada rumus fungsi dengan angka \(-2\).

1. Menuliskan Rumus Fungsi

\[f(x) = 3 \:-\: 7x\]

2. Mensubstitusikan Nilai \(x = -2\)

Ganti variabel \(x\) dengan \(-2\):

\[f(-2) = 3 \:-\: 7(-2)\]

Poin Penting (Hati-hati tanda negatif):
Ingat aturan perkalian bilangan bulat negatif. Perkalian antara dua bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif:

\[-7 \times (-2) = +14\]

Sekarang, kita masukkan ke dalam perhitungan:

\[f(-2) = 3 + 14\]

\[f(-2) = 17\]

Dengan demikian, nilai dari \(f(-2)\) adalah 17.

Jawaban: (B)

Untuk mencari nilai fungsi \(f(-5)\), kita tinggal mensubstitusikan (memasukkan) nilai \(x = -5\) ke dalam setiap variabel \(x\) pada rumus fungsi tersebut.

1. Menuliskan Rumus Fungsi

\[f(x) = (3x\:-\: 2)(x + 1)\]

2. Melakukan Substitusi dan Perhitungan

Ganti setiap variabel \(x\) dengan angka \(-5\):

\[f(-5) = (3(-5) \:-\:2)(-5 + 1)\]

Mari kita selesaikan perhitungan di dalam kurung satu per satu:

• Kurung pertama \((3x \:-\: 2)\):
  \[3(-5) \:-\: 2 = -15 \:-\: 2 = -17\]
• Kurung kedua \((x + 1)\):
  \[-5 + 1 = -4\]

3. Mengalikan Kedua Hasil Kurung

Sekarang, kalikan hasil dari kedua kurung tersebut:

\[f(-5) = (-17) \times (-4)\]

Ingat aturan tanda perkalian:

Perkalian antara dua bilangan negatif menghasilkan bilangan positif (\(\text{negatif} \times \text{negatif} = \text{positif}\)):

\[f(-5) = 17 \times 4\]

\[f(-5) = 68\]

Dengan demikian, nilai dari \(f(-5)\) adalah 68.

Jawaban: (C)

Soal ini berkaitan dengan menentukan rumus fungsi linear. Kita akan menyelesaikan soal ini menggunakan dua metode: metode eliminasi-substitusi (sistematis) dan cara cepat.

Metode 1: Sistematis (Eliminasi – Substitusi)

Bentuk umum fungsi: \(f(x) = ax + b\)

Mari kita buat persamaan dari nilai fungsi yang diketahui:

1. Untuk \(f(4) = 5\):
   \[a(4) + b = 5 \implies 4a + b = 5 \quad \text{…(persamaan 1)}\]
2. Untuk \(f(-2) = -7\):
   \[a(-2) + b = -7 \implies -2a + b = -7 \quad \text{…(persamaan 2)}\]

Langkah 1: Eliminasi variabel \(b\)
Kurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 2:

\[(4a + b)\:-\: (-2a + b) = 5 \:-\: (-7)\] \[4a + 2a = 5 + 7\] \[6a = 12\] \[a = \frac{12}{6} = 2\]

Langkah 2: Substitusi nilai \(a = 2\) ke Persamaan 1
Masukkan nilai \(a\) ke dalam Persamaan 1:

\[4a + b = 5\] \[4(2) + b = 5\] \[8 + b = 5\] \[b = 5 \:-\: 8 = -3\]

Substitusikan nilai \(a = 2\) dan \(b = -3\) kembali ke dalam rumus fungsi umum:

\[f(x) = ax + b \implies f(x) = 2x \:-\: 3\]

Metode 2: Cara Cepat (Mencari Gradien \(a\) Langsung)

Nilai variabel \(a\) (koefisien arah/gradien) dapat langsung kita tentukan menggunakan rumus selisih bayangan dibagi selisih domain asal:

\[a = \frac{f(x_1) \:-\: f(x_2)}{x_1 \:-\: x_2}\]

Masukkan nilai \(f(4) = 5\) dan \(f(-2) = -7\):

\[a = \frac{5 \:-\: (-7)}{4 \:-\: (-2)}\] \[a = \frac{5 + 7}{4 + 2}\] \[a = \frac{12}{6} = 2\]

Setelah mendapatkan \(a = 2\), uji nilai fungsi pada \(f(4) = 5\) untuk mencari \(b\):

\[f(x) = ax + b\] \[5 = 2(4) + b\] \[5 = 8 + b \implies b = -3\]

Sehingga rumus fungsinya adalah \(f(x) = 2x \:-\: 3\).

Jawaban: (D)

Soal ini dapat diselesaikan dengan dua cara: menggunakan metode sistematis eliminasi aljabar atau menggunakan logika laju perubahan nilai fungsi linear.

(Eliminasi – Substitusi)

Rumus fungsi: \(g(x) = \dfrac{1}{2}b\:-\:ax\)

Mari kita susun persamaan linear berdasarkan nilai fungsi yang diketahui:

1. Untuk \(g(3) = -2\):
   \[\dfrac{1}{2}b \:-\: a(3) = -2 \implies \dfrac{1}{2}b \:-\: 3a = -2 \quad \text{…(persamaan 1)}\]
2. Untuk \(g(5) = -4\):
   \[\dfrac{1}{2}b \:-\: a(5) = -4 \implies \dfrac{1}{2}b \:-\:5a = -4 \quad \text{…(persamaan 2)}\]

Langkah 1: Eliminasi komponen pecahan \(\dfrac{1}{2}b\)
Kurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 2:

\[\left(\dfrac{1}{2}b\:-\: 3a\right) \:-\:\left(\dfrac{1}{2}b \:-\: 5a\right) = -2 – (-4)\] \[-3a + 5a = -2 + 4\] \[2a = 2 \implies a = 1\]

Langkah 2: Menghitung nilai \(\dfrac{1}{2}b\)
Substitusikan nilai \(a = 1\) ke dalam Persamaan 1:

\[\dfrac{1}{2}b \:-\: 3(1) = -2\] \[\dfrac{1}{2}b \:-\:3 = -2\] \[\dfrac{1}{2}b = -2 + 3 \implies \dfrac{1}{2}b = 1\]

(Catatan: Kita tidak perlu mencari nilai \(b\) secara mandiri, cukup gunakan nilai gabungan \(\dfrac{1}{2}b = 1\) karena bentuk ini yang langsung dipakai pada rumus fungsi utama).

Langkah 3: Menentukan rumus lengkap \(g(x)\) dan menghitung \(g(10)\)
Substitusikan \(\dfrac{1}{2}b = 1\) dan \(a = 1\) ke rumus fungsi:

\[g(x) = 1 \:-\: 1x \implies g(x) = 1 \:-\: x\]

Sekarang, hitung nilai dari \(g(10)\):

\[g(10) = 1 \:-\: 10 \]

\[g(10) = -9\]

Jawaban: (A)

Sama seperti soal sebelumnya, kita dapat menyelesaikan soal ini dengan metode sistematis (eliminasi-substitusi) atau metode cepat menggunakan logika laju perubahan nilai.

(Eliminasi – Substitusi)

Rumus fungsi: \(g(x) = b\:-\: ax\)

Mari kita susun persamaan linear berdasarkan nilai fungsi yang diketahui:

1. Untuk \(g(3) = -13\):
   \[b\:-\: a(3) = -13 \implies b \:-\: 3a = -13 \quad \text{…(persamaan 1)}\]
2. Untuk \(g(-5) = 27\):
   \[b \:-\: a(-5) = 27 \implies b + 5a = 27 \quad \text{…(persamaan 2)}\]

Langkah 1: Eliminasi variabel \(b\)
Kurangkan Persamaan 2 dengan Persamaan 1:

\[(b + 5a) \:-\: (b \:-\: 3a) = 27\:-\: (-13)\] \[5a + 3a = 27 + 13\] \[8a = 40\] \[a = \dfrac{40}{8} = 5\]

Langkah 2: Menghitung nilai \(b\)
Substitusikan nilai \(a = 5\) ke dalam Persamaan 1:

\[b \:-\: 3a = -13\] \[b\:-\: 3(5) = -13\] \[b \:-\: 15 = -13\] \[b = -13 + 15 = 2\]

Langkah 3: Menentukan rumus lengkap \(g(x)\) dan menghitung \(g(-1)\)
Substitusikan \(b = 2\) dan \(a = 5\) ke dalam rumus fungsi:

\[g(x) = 2 \:-\: 5x\]

Sekarang, hitung nilai dari \(g(-1)\):

\[g(-1) = 2 \:-\: 5(-1)\] \[g(-1) = 2 + 5 = 7\]

Jawaban: (C)

Soal ini memiliki “trik rahasia” yang membuatnya sangat mudah dan cepat dikerjakan tanpa harus menghitung nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) satu per satu!

Cara 1: Substitusi

Perhatikan rumus fungsi kuadrat yang diberikan pada soal:

\[f(x) = ax^2 + bx + c\]

Sekarang, coba kita substitusikan nilai \(x = 1\) ke dalam rumus fungsi tersebut:

\[f(1) = a(1)^2 + b(1) + c\] \[f(1) = a + b + c\]

Pada soal, sudah diketahui secara langsung bahwa nilai dari \(f(1) = 4\). Dengan demikian, kita dapatkan:

\[a + b + c = 4\]

Cara 2: Sistematis

Bagi Anda yang ingin mengetahui nilai masing-masing variabel \(a\), \(b\), dan \(c\), mari kita buktikan secara aljabar menggunakan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV):

1. Dari \(f(1) = 4\):
   \[a + b + c = 4 \quad \text{…(persamaan 1)}\]
2. Dari \(f(2) = 3\):
   \[a(2)^2 + b(2) + c = 3 \implies 4a + 2b + c = 3 \quad \text{…(persamaan 2)}\]
3. Dari \(f(3) = 10\):
   \[a(3)^2 + b(3) + c = 10 \implies 9a + 3b + c = 10 \quad \text{…(persamaan 3)}\]

Langkah 1: Eliminasi \(c\)

• Kurangkan Persamaan 2 dengan Persamaan 1:
  \[(4a + 2b + c) \:-\: (a + b + c) = 3 \:-\: 4\] \[3a + b = -1 \quad \text{…(persamaan 4)}\]
• Kurangkan Persamaan 3 dengan Persamaan 2:
  \[(9a + 3b + c)\:-\:(4a + 2b + c) = 10 \:-\: 3\] \[5a + b = 7 \quad \text{…(persamaan 5)}\]

Langkah 2: Eliminasi \(b\) untuk mencari \(a\)

Kurangkan Persamaan 5 dengan Persamaan 4:

\[(5a + b) \:-\: (3a + b) = 7 \:-\: (-1)\] \[2a = 8 \implies a = 4\]

Langkah 3: Mencari nilai \(b\) dan \(c\)

• Substitusikan \(a = 4\) ke Persamaan 4:
  \[3(4) + b = -1\] \[12 + b = -1 \implies b = -13\]
• Substitusikan \(a = 4\) dan \(b = -13\) ke Persamaan 1:
  \[a + b + c = 4\] \[4 \:-\:13 + c = 4\] \[-9 + c = 4 \implies c = 13\]

Langkah 4: Menjumlahkan \(a + b + c\)

\[a + b + c = 4 + (-13) + 13 = 4\]

Terbukti bahwa kedua cara memberikan hasil yang sama persis.

Jawaban: (C)

Pada soal ini, kita diminta untuk mencari nilai daerah asal (\(c\)) jika nilai daerah hasil atau bayangannya (\(f(c)\)) sudah diketahui.

1. Menuliskan Rumus Fungsi dengan Variabel \(c\)

Rumus fungsi mula-mula adalah:

\[f(x) = 5x \:-\: 3\]

Jika kita mengganti variabel \(x\) dengan \(c\), rumus fungsinya menjadi:

\[f(c) = 5c \:-\: 3\]

2. Menyelesaikan Persamaan Aljabar untuk Mencari \(c\)

Diketahui pada soal bahwa nilai \(f(c) = 2\). Maka kita dapat membuat persamaan linear satu variabel sebagai berikut:

\[5c \:-\: 3 = 2\]

Pindahkan konstanta \(-3\) ke ruas kanan (tanda berubah menjadi positif):

\[5c = 2 + 3\]

\[5c = 5\]

Bagi kedua ruas dengan \(5\) untuk mendapatkan nilai \(c\):

\[c = \dfrac{5}{5}\]

\[c = 1\]

Dengan demikian, nilai dari \(c\) adalah 1.

Jawaban: (C)

Cara 1: Cara Cepat (Mencari Nilai \(x\) yang Sesuai)

Kita ingin mencari nilai \(f(3)\). Sedangkan rumus fungsi yang kita miliki adalah untuk \(f(x\:-\:2)\).

Maka, kita buat bagian dalam kurung kiri sama dengan bagian dalam kurung kanan:

\[x\:-\:2 = 3\]

Selesaikan persamaan linear ini untuk mencari nilai \(x\):

\[x = 3 + 2\] \[x = 5\]

Artinya, agar kita mendapatkan nilai \(f(3)\), kita harus mengganti (mensubstitusikan) nilai \(x = 5\) ke dalam rumus fungsi di ruas kanan:

\[f(x\:-\: 2) = 4x^2 + x \:-\: 2\] \[f(3) = 4(5)^2 + 5 \:-\: 2\] \[f(3) = 4(25) + 3\] \[f(3) = 100 + 3\] \[f(3) = 103\]

Cara 2: Cara Biasa (Menemukan Rumus \(f(x)\) Terlebih Dahulu)

Bagi Anda yang ingin memahami konsep dasarnya, kita bisa mencari rumus fungsi umum \(f(x)\) terlebih dahulu menggunakan metode pemisalan variabel:

Misalkan:

\[t = x \:-\: 2 \implies x = t + 2\]

Substitusikan nilai \(x = t + 2\) ke dalam persamaan awal:

\[f(t) = 4(t + 2)^2 + (t + 2) \:-\: 2\] \[f(t) = 4(t^2 + 4t + 4) + t\] \[f(t) = 4t^2 + 16t + 16 + t\] \[f(t) = 4t^2 + 17t + 16\]

Sehingga, rumus umum fungsi dalam variabel \(x\) adalah:

\[f(x) = 4x^2 + 17x + 16\]

Sekarang, mari kita hitung nilai dari \(f(3)\) menggunakan rumus umum ini:

\[f(3) = 4(3)^2 + 17(3) + 16\] \[f(3) = 4(9) + 51 + 16\] \[f(3) = 36 + 51 + 16\] \[f(3) = 103\]

Kedua cara terbukti memberikan hasil yang sama persis dan konsisten.

Jawaban: (D)

Untuk menyelesaikan soal ini dengan cepat, kita dapat menggunakan metode penyamaan nilai input di dalam kurung, atau dengan mencari rumus umum fungsinya terlebih dahulu.

Cara 1: Cara Cepat (Penyamaan Nilai Input)

Kita ingin mencari nilai \(f(3)\), sedangkan rumus fungsi yang diketahui memiliki input \((a + 1)\).

Maka, kita samakan bentuk di dalam kurung kiri dengan di dalam kurung kanan:

\[a + 1 = 3\]

Selesaikan nilai \(a\):

\[a = 3\:-\: 1\] \[a = 2\]

Artinya, agar kita memperoleh bentuk \(f(3)\), kita harus mengganti (mensubstitusikan) nilai \(a = 2\) ke dalam rumus fungsi di ruas kanan:

\[f(a + 1) = 3a \:-\: 1\] \[f(3) = 3(2)\:-\: 1\] \[f(3) = 6 \:-\: 1\] \[f(3) = 5\]

Cara 2: Cara Biasa (Menemukan Rumus Umum \(f(x)\))

Kita juga bisa mencari rumus fungsi umum \(f(x)\) terlebih dahulu dengan teknik pemisalan variabel:

Misalkan:

\[x = a + 1 \implies a = x\:-\: 1\]

Substitusikan nilai \(a = x\:-\: 1\) ke dalam rumus fungsi awal:

\[f(x) = 3(x \:-\:1)\:-\: 1\] \[f(x) = 3x \:-\: 3 \:-\: 1\] \[f(x) = 3x \:-\: 4\]

Kini kita telah mendapatkan rumus umum fungsi, yaitu \(f(x) = 3x \:-\: 4\). Sekarang, mari hitung nilai dari \(f(3)\):

\[f(3) = 3(3) \:-\: 4\] \[f(3) = 9 \:-\: 4\] \[f(3) = 5\]

Kedua cara terbukti memberikan hasil yang sama persis.

Jawaban: (B)

Untuk menyelesaikan soal ini, kita tinggal memasukkan nilai input \(x = a^2\) ke dalam rumus fungsi yang diberikan, lalu menyederhanakannya.

1. Menuliskan Rumus Fungsi

\[h(x) = \dfrac{x}{a} + 5\]

2. Mensubstitusikan Nilai \(x = a^2\)

Ganti variabel \(x\) dengan \(a^2\):

\[h(a^2) = \dfrac{a^2}{a} + 5\]

Poin Penyederhanaan Aljabar:

Ingat konsep pembagian pada eksponen aljabar. Variabel \(a^2\) dibagi dengan \(a\) akan menyisakan \(a\) saja:

\[\dfrac{a^2}{a} = \dfrac{a \times a}{a} = a\]

Sehingga, bentuk fungsi tersebut dapat disederhanakan menjadi:

\[h(a^2) = a + 5\]

3. Mencari Nilai \(a\)

Diketahui pada soal bahwa nilai \(h(a^2) = 12\). Mari kita buat persamaan linear satu variabel:

\[a + 5 = 12\]

Pindahkan konstanta \(5\) ke ruas kanan:

\[a = 12 – 5\]

\[a = 7\]

Dengan demikian, nilai dari \(a\) adalah 7.

Jawaban: (A)

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus mendaftarkan (menuliskan) seluruh anggota dari himpunan \(P\) dan \(Q\) terlebih dahulu, lalu menghitung jumlah anggotanya masing-masing.

1. Mendaftarkan Anggota Himpunan \(P\)

\(P = \{x \mid 10 < x < 19, \, x \text{ bilangan prima}\}\)

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi oleh angka \(1\) dan dirinya sendiri. Bilangan prima yang terletak di antara \(10\) dan \(19\) adalah:

\(P = \{11, 13, 17\}\)

Sehingga, banyak anggota himpunan \(P\) adalah:

\(n(P) = 3\)

2. Mendaftarkan Anggota Himpunan \(Q\)

\(Q = \{y \mid y^2 < 9, \, y \text{ bilangan cacah}\}\)

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat tak negatif, yaitu \(\{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}\). Mari kita uji bilangan cacah mana saja yang kuadratnya kurang dari \(9\):

• Untuk \(y = 0 \implies 0^2 = 0 < 9\) (memenuhi)
• Untuk \(y = 1 \implies 1^2 = 1 < 9\) (memenuhi)
• Untuk \(y = 2 \implies 2^2 = 4 < 9\) (memenuhi)
• Untuk \(y = 3 \implies 3^2 = 9 < 9\) (tidak memenuhi, karena \(9\) tidak kurang dari \(9\))

Maka anggota himpunan \(Q\) adalah:

\(Q = \{0, 1, 2\}\)

Sehingga, banyak anggota himpunan \(Q\) adalah:

\(n(Q) = 3\)

3. Menghitung Banyak Semua Fungsi (Pemetaan) yang Mungkin

Rumus untuk mencari banyak semua pemetaan yang mungkin dari himpunan asal (\(A\)) ke himpunan tujuan (\(B\)) adalah:

\(\text{Banyak pemetaan } A \rightarrow B = (n(B))^{n(A)}\)

Tips Mengingat: Banyak anggota TUJUAN (kanan) dipangkatkan banyak anggota ASAL (kiri).

Pada soal ini, kita mencari pemetaan dari \(P\) ke \(Q\):

\(\text{Banyak pemetaan } P \rightarrow Q = (n(Q))^{n(P)}\)

Substitusikan nilai \(n(P) = 3\) dan \(n(Q) = 3\):

\[\text{Banyak pemetaan} = 3^3\]

\[\text{Banyak pemetaan} = 3 \times 3 \times 3\]

\[\text{Banyak pemetaan} = 27\text{ cara}\]

Dengan demikian, banyak fungsi yang mungkin dari \(P\) ke \(Q\) adalah 27.

Jawaban: (D)

Untuk menemukan aturan (rumus) fungsi dari sebuah himpunan pasangan berurutan \((x, y)\), kita harus mencari hubungan pola matematika antara angka pertama (\(x\)) dan angka kedua (\(y\)).

Mari kita amati setiap pasangan koordinat \((x, y)\) pada soal:

• Untuk pasang \((1, -2)\): angka \(-2\) didapat dari \(-2 \times 1\)
• Untuk pasang \((2, -4)\): angka \(-4\) didapat dari \(-2 \times 2\)
• Untuk pasang \((3, -6)\): angka \(-6\) didapat dari \(-2 \times 3\)
• Untuk pasang \((7, -14)\): angka \(-14\) didapat dari \(-2 \times 7\)

Secara umum, nilai ordinat (\(y\)) selalu didapatkan dari hasil kali \(-2\) dengan nilai absis (\(x\)) di depannya. Hubungan ini dapat kita tuliskan menjadi persamaan fungsi:

\[y = -2x \implies f(x) = -2x\]

Dengan demikian, aturan fungsi yang memenuhi himpunan pasangan berurutan tersebut adalah \(f(x) = -2x\).

Jawaban: (B)