Untuk menentukan apakah sebuah relasi diagram panah merupakan sebuah fungsi (pemetaan) atau bukan, kita harus fokus memeriksa kondisi pada daerah asal (himpunan sebelah kiri).

Syarat mutlak agar suatu relasi dapat disebut fungsi adalah:

Setiap anggota domain (daerah asal) harus memiliki pasangan (tidak boleh ada anggota daerah asal yang tidak punya pasangan).
Setiap anggota domain (daerah asal) hanya boleh memiliki tepat satu pasangan (tidak boleh ada anggota daerah asal yang memiliki pasangan lebih dari satu).

Mari kita analisis keempat diagram panah pada soal:

Diagram i: PEMETAAN (FUNGSI)
Setiap anggota domain (daerah asal) memiliki pasangan tepat satu.
Diagram ii: BUKAN PEMETAAN
Ada anggota domain yang punya tiga pasangan, dan ada anggota domain yang tidak punya pasangan.
Diagram iii: BUKAN PEMETAAN
Ada anggota domain yang punya dua pasangan, dan ada anggota domain yang tidak punya pasangan.
Diagram iv: PEMETAAN (FUNGSI)
Setiap anggota domain memiliki pasangan. Meskipun semua anak panah menunjuk ke satu titik yang sama di himpunan kanan, relasi ini tetap memenuhi syarat mutlak fungsi (disebut sebagai fungsi konstan).

Dengan demikian, diagram panah yang menunjukkan pemetaan adalah nomor i dan iv.

Jawaban: C

Untuk mencari rumus fungsi \(g(2x\:-\: 5)\), kita tinggal mengganti (mensubstitusikan) setiap variabel \(x\) pada rumus fungsi asal \(g(x)\) dengan bentuk aljabar \((2x \:-\:5)\).

Mari kita selesaikan langkah demi langkah:

(1)  Menuliskan fungsi awal:
\[g(x) = 4x + 33\]

(2)  Mensubstitusikan \(x\) dengan \((2x \:-\: 5)\):
\[g(2x \:-\:5) = 4(2x \:-\:5) + 33\]

(3)  Melakukan perkalian distributif (buka kurung):
Kalikan angka \(4\) dengan setiap suku di dalam tanda kurung:
\[g(2x\:-\: 5) = (4 \times 2x) \:-\: (4 \times 5) + 33\] \[g(2x \:-\: 5) = 8x \:-\: 20 + 33\]

(4)  Menyederhanakan hasil (operasikan konstanta sejenis):
\[g(2x \:-\: 5) = 8x + (-20 + 33)\] \[g(2x \:-\: 5) = 8x + 13\]

Berikut adalah urutan penulisan matematisnya secara lengkap dan rapi:

\[
\begin{aligned}
g(2x \:-\:5) &= 4(2x \:-\: 5) + 33 \\[1.5ex] &= 8x\:-\: 20 + 33 \\[1.5ex] &= 8x + 13
\end{aligned}
\]

Dengan demikian, rumus fungsi untuk \(g(2x \:-\: 5)\) adalah \(8x + 13\).

Jawaban: D

Dalam materi relasi dan fungsi matematika, terdapat tiga istilah himpunan daerah yang wajib dipahami:

(1)  Daerah Asal (Domain):
Yaitu seluruh anggota himpunan pertama (sebelah kiri), baik yang memiliki pasangan maupun yang tidak memiliki pasangan.
\[\text{Domain} = \{2, 3, 4, 5\}\]

(2)  Daerah Kawan (Kodomain):
Yaitu seluruh anggota himpunan kedua (sebelah kanan).
\[\text{Kodomain} = \{-1, -2, -3, -4\}\]

(3)  Daerah Hasil (Range):
Yaitu anggota himpunan kawan (sebelah kanan) yang ditunjuk langsung oleh anak panah dari daerah asal.
Berdasarkan gambar, anggota sebelah kanan yang menerima anak panah adalah \(-2\), \(-3\), dan \(-4\).
\[\text{Range} = \{-2, -3, -4\}\]

Dengan demikian, anggota daerah hasil (range) dari diagram panah tersebut adalah \(\{-2, -3, -4\}\).

Jawaban: B

Untuk menentukan rumus fungsi linear \(f(x) = ax + b\), kita harus mencari nilai koefisien \(a\) dan konstanta \(b\) terlebih dahulu menggunakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

Mari kita selesaikan langkah demi langkah:

1. Menyusun Sistem Persamaan Linear

Substitusikan titik-titik nilai fungsi yang diketahui ke dalam rumus umum \(f(x) = ax + b\):

Untuk \(f(2) = 6\):
\[a(2) + b = 6 \implies 2a + b = 6 \quad \text{…(persamaan 1)}\] Untuk \(f(-3) = -4\):
\[a(-3) + b = -4 \implies -3a + b = -4 \quad \text{…(persamaan 2)}\]

2. Menyelesaikan Persamaan dengan Metode Eliminasi

Kurangkan persamaan 1 dengan persamaan 2 untuk mengeliminasi variabel \(b\):

\((2a + b) \:-\: (-3a + b) = 6\:-\: (-4)\)
\(2a + 3a = 6 + 4\)
\(5a = 10\)
\(a = \dfrac{10}{5} = 2\)

3. Mencari Nilai \(b\) dengan Metode Substitusi

Substitusikan nilai \(a = 2\) ke dalam Persamaan 1:

\(2a + b = 6\)
\(2(2) + b = 6\)
\(4 + b = 6\)
\(b = 6\:-\: 4 = 2\)

4. Menyusun Rumus Fungsi Akhir

Substitusikan nilai \(a = 2\) dan \(b = 2\) kembali ke dalam rumus umum \(f(x) = ax + b\):

\(f(x) = 2x + 2\)

Berikut adalah urutan penulisan matematisnya secara lengkap dan rapi:

\[
\begin{aligned}
f(2) = 6 &\implies 2a + b = 6 \quad \text{…(persamaan 1)} \\[1.5ex] f(-3) = -4 &\implies -3a + b = -4 \quad \text{…(persamaan 2)}
\end{aligned}
\]

Kurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 2:

\[
\begin{aligned}
(2a + b) – (-3a + b) &= 6 – (-4) \\[1.5ex] 5a &= 10 \\[1.5ex] a &= 2
\end{aligned}
\]

Substitusikan \(a = 2\) ke Persamaan 1:

\[
\begin{aligned}
2(2) + b &= 6 \\[1.5ex] 4 + b &= 6 \\[1.5ex] b &= 2
\end{aligned}
\]

Sehingga diperoleh rumus fungsi:

\(f(x) = 2x + 2\)

Dengan demikian, rumus fungsi \(f(x)\) adalah \(f(x) = 2x + 2\).

Jawaban: A

Mari kita selesaikan langkah demi langkah untuk mencari rumus fungsi linear umum \(f(x) = ax + b\):

1. Mengambil Dua Titik Sampel

Untuk mempermudah perhitungan, kita ambil dua koordinat bulat dari himpunan pasangan berurutan di atas:

Titik pertama: \((2, 4)\) \(\rightarrow\) jika \(x = 2\) maka \(f(2) = 4\)
Titik kedua: \((4, 5)\) \(\rightarrow\) jika \(x = 4\) maka \(f(4) = 5\)

2. Menyusun Sistem Persamaan Linear

Substitusikan kedua titik tersebut ke dalam bentuk umum fungsi \(f(x) = ax + b\):

Untuk titik \((2, 4)\):
\[a(2) + b = 4 \implies 2a + b = 4 \quad \text{…(persamaan 1)}\] Untuk titik \((4, 5)\):
\[a(4) + b = 5 \implies 4a + b = 5 \quad \text{…(persamaan 2)}\]

3. Menyelesaikan Persamaan dengan Metode Eliminasi

Kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1 untuk mengeliminasi variabel \(b\):

\((4a + b) \:-\: (2a + b) = 5 \:-\: 4\)
\(2a = 1\)
\(a = \dfrac{1}{2}\)

4. Mencari Nilai \(b\) dengan Metode Substitusi

Substitusikan nilai \(a = \dfrac{1}{2}\) ke dalam persamaan 1:

\(2a + b = 4\)
\(2\left(\dfrac{1}{2}\right) + b = 4\)
\(1 + b = 4\)
\(b = 4 \:-\:1 = 3\)

5. Menyusun Rumus Fungsi Akhir

Substitusikan nilai \(a = \dfrac{1}{2}\) dan \(b = 3\) kembali ke dalam rumus umum \(f(x) = ax + b\):

\(f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3\)

Berikut adalah urutan penulisan matematisnya secara lengkap dan rapi:

\[
\begin{aligned}
(2, 4) &\implies 2a + b = 4 \quad \text{…(persamaan 1)} \\[1.5ex] (4, 5) &\implies 4a + b = 5 \quad \text{…(persamaan 2)}
\end{aligned}
\]

Kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1:

\[
\begin{aligned}
(4a + b) \:-\: (2a + b) &= 5 \:-\: 4 \\[1.5ex] 2a &= 1 \\[1.5ex] a &= \dfrac{1}{2}
\end{aligned}
\]

Substitusikan \(a = \dfrac{1}{2}\) ke persamaan 1:

\[
\begin{aligned}
2\left(\dfrac{1}{2}\right) + b &= 4 \\[1.5ex] 1 + b &= 4 \\[1.5ex] b &= 3
\end{aligned}
\]

Sehingga diperoleh rumus fungsi yang benar secara matematika:

\(f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3\)

Dengan demikian, rumus fungsi yang tepat adalah \(f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3\).

Jawaban: C

Himpunan \(A\) didefinisikan sebagai: bilangan prima ganjil yang kurang dari 18.

Daftar seluruh bilangan prima kurang dari 18 adalah: \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\}\).
Namun, syarat soal menyebutkan bilangan prima tersebut haruslah ganjil.
Karena angka \(2\) adalah bilangan prima genap, maka kita harus mengeluarkan angka \(2\) dari himpunan.

Maka anggota himpunan \(A\) yang benar adalah:

\(A = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\}\)

Jumlah anggota himpunan \(A\) adalah:

\(n(A) = 6\)

Rumus untuk mencari banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan \(A\) ke \(A\) adalah menggunakan operasi faktorial (\(n!\)):

\(\text{Banyak korespondensi} = 6!\)
\(= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)
\(= 720\text{ cara}\)

Jadi, jawaban yang tepat adalah 720 (Pilihan C).

Syarat mutlak agar dua buah himpunan (misalkan himpunan \(X\) dan \(Y\)) dapat membentuk hubungan korespondensi satu-satu adalah kedua himpunan tersebut harus memiliki jumlah anggota yang persis sama:

\[n(X) = n(Y)\]

Mari kita daftarkan seluruh anggota dan hitung jumlah anggota (\(n\)) dari masing-masing himpunan pada soal:

Himpunan \(A\):
\(A = \{x \mid 10 \le x < 20, \, x \in \text{bilangan prima}\}\)
Bilangan prima yang terletak di antara \(10\) (inklusif) dan \(20\) (eksklusif) adalah:
\[A = \{11, 13, 17, 19\} \implies n(A) = 4\] Himpunan \(B\):
\(B = \{\text{bilangan cacah kurang dari 3}\}\)
Bilangan cacah dimulai dari angka \(0\). Bilangan cacah yang kurang dari \(3\) adalah:
\[B = \{0, 1, 2\} \implies n(B) = 3\] Himpunan \(C\):
\(C = \{\text{huruf konsonan dari kata “RAJAWALI”}\}\)
Kata “RAJAWALI” terdiri dari huruf R-A-J-A-W-A-L-I. Huruf konsonannya (huruf mati) yang unik/tidak kembar adalah R, J, W, dan L:
\[C = \{R, J, W, L\} \implies n(C) = 4\] Himpunan \(D\):
\(D = \{\text{bilangan ganjil di antara 12 dan 22}\}\)
Bilangan ganjil yang terletak di antara \(12\) dan \(22\) adalah:
\[D = \{13, 15, 17, 19, 21\} \implies n(D) = 5\]

Mari kita bandingkan jumlah anggota (\(n\)) masing-masing himpunan:

\(n(A) = 4\)
\(n(B) = 3\)
\(n(C) = 4\)
\(n(D) = 5\)

Karena hanya himpunan \(A\) dan \(C\) yang memiliki jumlah anggota yang sama banyak (yaitu \(n(A) = n(C) = 4\)), maka pasangan himpunan yang dapat membentuk korespondensi satu-satu adalah A dan C (Pilihan C).

Berikut adalah urutan penulisan matematisnya secara lengkap dan rapi:

\[
\begin{aligned}
A &= \{x \mid 10 \le x < 20, \, x \in \text{bilangan prima}\} \\
&= \{11, 13, 17, 19\} \implies n(A) = 4 \\[1.5ex] B &= \{\text{bilangan cacah kurang dari 3}\} \\
&= \{0, 1, 2\} \implies n(B) = 3 \\[1.5ex] C &= \{\text{huruf konsonan dari kata “RAJAWALI”}\} \\
&= \{R, J, W, L\} \implies n(C) = 4 \\[1.5ex] D &= \{\text{bilangan ganjil di antara 12 dan 22}\} \\
&= \{13, 15, 17, 19, 21\} \implies n(D) = 5
\end{aligned}
\]

Karena \(n(A) = n(C) = 4\), maka pasangan himpunan yang dapat membentuk korespondensi satu-satu adalah A dan C.

Untuk menentukan apakah sebuah himpunan pasangan berurutan \((x, y)\) merupakan korespondensi satu-satu, kita memiliki dua aturan utama yang wajib dipenuhi:

(1)  Semua anggota pertama (\(x\)) harus berbeda (unik), tidak boleh ada angka yang ditulis berulang (syarat relasi merupakan fungsi).

(2) Semua anggota kedua (\(y\)) harus berbeda (unik), tidak boleh ada angka atau huruf yang ditulis berulang (syarat fungsi bersifat satu-satu).

Mari kita uji masing-masing pilihan jawaban berdasarkan kedua syarat di atas:

Pilihan A: \(\{(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7)\}\) \(\rightarrow\) BUKAN KORESPONDENSI SATU-SATU
Sebab seluruh anggota pertama (\(x\)) bernilai sama, yaitu angka \(1\) (ditulis berulang sebanyak \(6\) kali).

Pilihan B: \(\{(1,2), (2,1), (3,4), (4,3), (5,6), (6,5)\}\) \(\rightarrow\) KORESPONDENSI SATU-SATU

Daftar anggota pertama (\(x\)) = \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) \(\rightarrow\) semuanya unik dan berbeda.

Daftar anggota kedua (\(y\)) = \(\{2, 1, 4, 3, 6, 5\}\) \(\rightarrow\) semuanya unik dan berbeda.

Karena kedua syarat terpenuhi, pilihan B adalah korespondensi satu-satu yang sah.

Pilihan C: \(\{(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (7,1)\}\) \(\rightarrow\) BUKAN KORESPONDENSI SATU-SATU
Meskipun seluruh anggota pertama (\(x\)) berbeda, namun seluruh anggota kedua (\(y\)) bernilai sama, yaitu angka \(1\) (ditulis berulang sebanyak \(6\) kali). Ini merupakan contoh fungsi konstan.

Pilihan D: \(\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (5,6)\}\) \(\rightarrow\) BUKAN KORESPONDENSI SATU-SATU
Sebab ada anggota pertama (\(x\)) yang ditulis berulang, yaitu angka \(5\) pada pasangan \((5,5)\) dan \((5,6)\).

Berikut adalah urutan penulisan analisis matematisnya secara rapi:

\[
\begin{aligned}
\text{Pilihan A} \rightarrow x &= \{1, 1, 1, 1, 1, 1\} \quad (\text{ada yang berulang}) \\[1.5ex] \text{Pilihan B} \rightarrow x &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \quad (\text{unik/berbeda}) \\
\rightarrow y &= \{2, 1, 4, 3, 6, 5\} \quad (\text{unik/berbeda}) \ \rightarrow \text{MEMENUHI} \\[1.5ex] \text{Pilihan C} \rightarrow y &= \{1, 1, 1, 1, 1, 1\} \quad (\text{ada yang berulang}) \\[1.5ex] \text{Pilihan D} \rightarrow x &= \{1, 2, 3, 4, 5, 5\} \quad (\text{ada yang berulang})
\end{aligned}
\]

Dengan demikian, himpunan pasangan berurutan yang menunjukkan hubungan korespondensi satu-satu adalah pilihan B.

Jawaban: B

Untuk menyelesaikan soal aljabar fungsi ini, kita langsung substitusikan rumus fungsi \(g(x)\) dan \(h(x)\) ke dalam persamaan linear yang diberikan pada soal:

Mari kita selesaikan langkah demi langkah:

(1)  Menuliskan persamaan dasar:
\[g(x) = 2h(x)\]

(2)  Mensubstitusikan rumus fungsi (gunakan huruf kecil sesuai instruksi):
\[-3(5x \:-\: 6) = 2(2x\:-\:10)\]

(3)  Melakukan perkalian distributif (buka kurung) di kedua ruas:
\[(-3 \times 5x) \:-\: (-3 \times 6) = (2 \times 2x) \:-\: (2 \times 10)\] \[-15x + 18 = 4x \:-\: 20\]

(4)  Mengelompokkan suku-suku sejenis:
Pindahkan suku ber-variabel \(x\) ke ruas kanan dan konstanta (angka biasa) ke ruas kiri agar bernilai positif:
\[18 + 20 = 4x + 15x\] \[38 = 19x\]

(5)  Mencari nilai \(x\):
\[x = \dfrac{38}{19} = 2\]

(6)  Menghitung nilai \(2x\) yang ditanyakan:
\[2x = 2(2) = 4\]

Berikut adalah urutan penulisan matematisnya secara lengkap dan rapi:

\[
\begin{aligned}
g(x) &= 2h(x) \\[1.5ex] -3(5x\:-\: 6) &= 2(2x \:-\:10) \\[1.5ex] -15x + 18 &= 4x – 20
\end{aligned}
\]

Pindahkan suku dengan variabel \(x\) ke ruas kanan dan konstanta ke ruas kiri:

\[
\begin{aligned}
18 + 20 &= 4x + 15x \\[1.5ex] 38 &= 19x \\[1.5ex] x &= \dfrac{38}{19} = 2
\end{aligned}
\]

Maka, nilai dari \(2x\) yang ditanyakan adalah:

\[2x = 2(2) = 4\]

Dengan demikian, nilai dari \(2x\) adalah 4.

Jawaban: C

Untuk menentukan nama relasi yang tepat dari himpunan pasangan berurutan \((x, y)\), kita uji hubungan pola matematika dari angka pertama (\(x \in A\)) menuju angka kedua (\(y \in B\)).

Mari kita lakukan pengujian pada setiap pasangan koordinat:

Pasangan \((1, 1)\):
Angka \(1\) adalah akar kuadrat dari \(1\), karena secara matematika: \[\sqrt{1} = 1\]

Pasangan \((2, 4)\):
Angka \(2\) adalah akar kuadrat dari \(4\), karena secara matematika: \[\sqrt{4} = 2\]

Pasangan \((3, 9)\):
Angka \(3\) adalah akar kuadrat dari \(9\), karena secara matematika: \[\sqrt{9} = 3\]

Pasangan \((4, 16)\):
Angka \(4\) adalah akar kuadrat dari \(16\), karena secara matematika: \[\sqrt{16} = 4\]

Berikut adalah rincian penulisan analisis matematisnya secara rapi:

\[
\begin{aligned}
(1, 1) &\rightarrow 1 = \sqrt{1} \quad (\text{1 adalah akar kuadrat dari 1}) \\[1.5ex] (2, 4) &\rightarrow 2 = \sqrt{4} \quad (\text{2 adalah akar kuadrat dari 4}) \\[1.5ex] (3, 9) &\rightarrow 3 = \sqrt{9} \quad (\text{3 adalah akar kuadrat dari 9}) \\[1.5ex] (4, 16) &\rightarrow 4 = \sqrt{16} \quad (\text{4 adalah akar kuadrat dari 16})
\end{aligned}
\]

Dengan demikian, nama relasi yang tepat dari himpunan \(A\) ke \(B\) adalah akar kuadrat dari (square root of).

Jawaban: B

Nama relasi dari himpunan \(A\) ke \(B\) adalah “Satu kurangnya dari”. Secara matematis, jika anggota himpunan \(A\) adalah \(x\) dan anggota himpunan \(B\) adalah \(y\), maka hubungan ini dapat dituliskan ke dalam rumus persamaan aljabar berikut:

\(x = y \:-\: 1\)

Atau jika kita balik untuk mencari nilai \(y\) (anggota tujuan):

\(y = x + 1\)

Sekarang, mari kita cari pasangan \((x, y)\) yang memenuhi rumus \(y = x + 1\) untuk setiap anggota \(x\) di dalam himpunan asal \(A = \{2, 3, 4, 5\}\):

Untuk \(x = 2\):
\[y = 2 + 1 = 3 \quad (\text{angka 3 tersedia di himpunan } B) \implies (2, 3)\] Untuk \(x = 3\):
\[y = 3 + 1 = 4 \quad (\text{angka 4 tersedia di himpunan } B) \implies (3, 4)\] Untuk \(x = 4\):
\[y = 4 + 1 = 5 \quad (\text{angka 5 tersedia di himpunan } B) \implies (4, 5)\] Untuk \(x = 5\):
\[y = 5 + 1 = 6 \quad (\text{angka 6 tersedia di himpunan } B) \implies (5, 6)\]

Gabungkan seluruh pasangan koordinat \((x, y)\) yang valid di atas ke dalam satu himpunan pasangan berurutan:

\(\{(2,3), (3,4), (4,5), (5,6)\}\)

Analisis Pilihan Lain (Untuk menambah pemahaman):

Pilihan A & B: Merupakan contoh relasi “satu lebihnya dari” (\(x = y + 1\)), karena \(3\) adalah satu lebihnya dari \(2\), \(4\) adalah satu lebihnya dari \(3\), dan seterusnya.
Pilihan C: Salah, karena ada pasangan \((4,6)\) dan \((3,5)\) yang menyatakan hubungan “dua kurangnya dari” (\(x = y \:-\: 2\)).

Berikut adalah rincian penulisan analisis matematisnya secara rapi:

\[
\begin{aligned}
x &= y \:-\: 1 \implies y = x + 1 \\[1.5ex] x = 2 &\rightarrow y = 2 + 1 = 3 \in B \ \rightarrow (2, 3) \\[1ex] x = 3 &\rightarrow y = 3 + 1 = 4 \in B \ \rightarrow (3, 4) \\[1ex] x = 4 &\rightarrow y = 4 + 1 = 5 \in B \ \rightarrow (4, 5) \\[1ex] x = 5 &\rightarrow y = 5 + 1 = 6 \in B \ \rightarrow (5, 6)
\end{aligned}
\]

Sehingga himpunan pasangan berurutan yang terbentuk adalah:

\(\{(2,3), (3,4), (4,5), (5,6)\}\)

Dengan demikian, pilihan jawaban yang tepat adalah D.

Jawaban: D

Untuk menyelesaikan soal ini, kita membagi langkah pengerjaan menjadi dua bagian persamaan linear satu variabel:

1. Mencari Nilai \(x\) saat \(f(x) = 0\)

Substitusikan persamaan fungsi \(f(x) = 3x\:-\: 18\) ke dalam nilai fungsi sama dengan \(0\):

\(3x \:-\: 18 = 0\)

Pindahkan konstanta \(-18\) ke ruas kanan:

\(3x = 18\)
\(x = \dfrac{18}{3}\)
\(x = 6\)

Diperoleh nilai \(x = 6\).

2. Mencari Nilai \(a\) saat \(f(a) = -3\)

Terlebih dahulu kita tulis rumus fungsi dalam variabel \(a\), yaitu \(f(a) = 3a \:-\: 18\). Kemudian samakan nilainya dengan \(-3\):

\(3a \:-\: 18 = -3\)

Pindahkan konstanta \(-18\) ke ruas kanan (tanda berubah menjadi positif):

\(3a = -3 + 18\)
\(3a = 15\)
\(a = \dfrac{15}{3}\)
\(a = 5\)

Diperoleh nilai \(a = 5\).

Kesimpulan

Berdasarkan kedua hasil di atas, nilai \(x\) dan \(a\) berturut-turut adalah \(x = 6\) dan \(a = 5\).

Berikut adalah urutan penulisan matematisnya secara lengkap dan rapi:

Mencari nilai \(x\) untuk \(f(x) = 0\):

\[
\begin{aligned}
3x – 18 &= 0 \\[1.5ex] 3x &= 18 \\[1.5ex] x &= 6
\end{aligned}
\]

Mencari nilai \(a\) untuk \(f(a) = -3\):

\[
\begin{aligned}
3a \:-\:18 &= -3 \\[1.5ex] 3a &= -3 + 18 \\[1.5ex] 3a &= 15 \\[1.5ex] a &= 5
\end{aligned}
\]

Dengan demikian, pilihan jawaban yang tepat adalah D.

Jawaban: D

Untuk menentukan apakah suatu kurva grafik pada bidang koordinat Kartesius mewakili sebuah fungsi \(y = f(x)\) atau bukan, kita dapat menggunakan metode praktis yang disebut Uji Garis Vertikal (Vertical Line Test).

Aturan Uji Garis Vertikal menyatakan:

(1)  Tariklah garis lurus vertikal (sejajar sumbu \(Y\) atau tegak lurus sumbu \(X\)) secara imajiner melintasi kurva grafik.

(2)  Jika ada minimal satu garis vertikal yang memotong kurva grafik di lebih dari satu titik, maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.

(3)  Jika setiap garis vertikal hanya memotong kurva grafik di maksimal satu titik, maka grafik tersebut merupakan fungsi.

Mari kita lakukan pengujian pada masing-masing grafik:

Grafik 1 (Garis Mendatar): Fungsi
Setiap garis vertikal yang ditarik hanya memotong grafik horizontal ini di tepat satu titik. (Ini dinamakan fungsi konstan).
Grafik 2 (Parabola Terbuka ke Bawah): Fungsi
Setiap garis vertikal hanya memotong kurva di tepat satu titik. (Ini dinamakan fungsi kuadrat).
Grafik 3 (Garis Lurus Diagonal): Fungsi
Setiap garis vertikal hanya memotong garis lurus ini di tepat satu titik. (Ini dinamakan fungsi linear).
Grafik 4 (Kurva Bergelombang Kontinu): Fungsi
Setiap garis vertikal hanya memotong kurva gelombang ini di tepat satu titik (fungsi trigonometri/periodik kontinu).
Grafik 5 (Parabola Terbuka ke Kanan): BUKAN Fungsi
Garis vertikal yang ditarik memotong kurva ini di dua titik berbeda (bagian atas dan bagian bawah). Sehingga, satu nilai \(x\) memiliki dua pasangan nilai \(y\).
Grafik 6 (Lingkaran): BUKAN Fungsi
Garis vertikal yang ditarik melewati bagian dalam lingkaran akan memotong lingkaran di dua titik berbeda (bagian atas dan bagian bawah).
Grafik 7 (Garis Tegak Vertikal): BUKAN Fungsi
Garis vertikal yang ditarik tepat di atas grafik ini akan memotong grafik di titik yang tak terhingga banyaknya.
Grafik 8 (Parabola Terbuka ke Atas): Fungsi
Setiap garis vertikal hanya memotong kurva di tepat satu titik. (Ini dinamakan fungsi kuadrat).

Dengan demikian, kelompok grafik yang bukan merupakan fungsi adalah nomor 5, 6, dan 7.

Jawaban: B

Untuk mencari nilai fungsi \(f(-2)\), kita cukup mengganti (mensubstitusikan) setiap variabel \(x\) pada rumus fungsi dengan angka \(-2\).

Mari kita selesaikan langkah demi langkah secara teliti:

(1)  Menuliskan fungsi kuadrat awal:
\[f(x) = -2x^2 \:-\:3x\:-\: 5\]

(2)  Substitusikan \(x = -2\) ke dalam fungsi:
\[f(-2) = -2(-2)^2 \:-\: 3(-2) \:-\:5\]

(3)  Selesaikan operasi kuadrat terlebih dahulu:
Ingat bahwa bilangan negatif jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan positif: \((-2)^2 = 4\).
\[f(-2) = -2(4) \:-\: 3(-2)\:-\:5\]

(4)  Lakukan operasi perkalian:
Hati-hati dengan perkalian tanda negatif pada suku tengah: \(-3 \times (-2) = +6\).
\[f(-2) = -8 + 6\:-\:5\]

(5)  Lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan berurutan:
\[f(-2) = -2 \:-\: 5\] \[f(-2) = -7\]

Berikut adalah urutan penulisan matematisnya secara lengkap dan rapi:

\[
\begin{aligned}
f(-2) &= -2(-2)^2 – 3(-2) – 5 \\[1.5ex] &= -2(4) + 6 – 5 \\[1.5ex] &= -8 + 6 – 5 \\[1.5ex] &= -2 – 5 \\[1.5ex] &= -7
\end{aligned}
\]

Dengan demikian, nilai dari \(f(-2)\) adalah \(-7\).

Jawaban: A

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita daftarkan seluruh anggota dari himpunan \(A\) dan himpunan \(B\), kemudian hitung jumlah anggotanya masing-masing:

1. Mendaftarkan Anggota Himpunan \(A\)

\(A = \{x \mid 15 \le x < 20, \, x \in \text{bilangan ganjil}\}\)

Bilangan ganjil yang terletak di antara \(15\) (inklusif) sampai \(20\) (eksklusif) adalah:

\(A = \{15, 17, 19\}\)

Sehingga, banyak anggota himpunan \(A\) adalah:

\(n(A) = 3\)

2. Mendaftarkan Anggota Himpunan \(B\)

\(B = \{\text{faktor dari } 3\}\)

Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan-bilangan bulat positif yang dapat membagi habis bilangan tersebut tanpa sisa. Karena \(3\) merupakan bilangan prima, maka faktornya hanya ada dua, yaitu:

\(B = \{1, 3\}\)

Sehingga, banyak anggota himpunan \(B\) adalah:

\(n(B) = 2\)

3. Menghitung Banyak Pemetaan yang Mungkin dari \(A\) ke \(B\)

Rumus umum untuk mencari banyak pemetaan (fungsi) yang mungkin dari himpunan asal (\(A\)) ke himpunan tujuan (\(B\)) adalah:

\(\text{Banyak pemetaan} = (n(B))^{n(A)}\)

Tips Mengingat: Banyak anggota TUJUAN (kanan) dipangkatkan banyak anggota ASAL (kiri).

Substitusikan nilai \(n(A) = 3\) dan \(n(B) = 2\) ke dalam rumus:

\(\text{Banyak pemetaan} = 2^3\)

\(\text{Banyak pemetaan} = 2 \times 2 \times 2 = 8\text{ cara}\)

Berikut adalah rincian penulisan analisis matematisnya secara rapi:

\[
\begin{aligned}
A &= \{15, 17, 19\} \implies n(A) = 3 \\[1.5ex] B &= \{1, 3\} \implies n(B) = 2 \\[1.5ex] \text{Banyak pemetaan } A \rightarrow B &= (n(B))^{n(A)} \\[1.5ex] &= 2^3 \\[1.5ex] &= 8
\end{aligned}
\]

Dengan demikian, banyak pemetaan yang mungkin dari himpunan \(A\) ke \(B\) adalah 8 (Pilihan C).

Jawaban: C

Untuk menentukan nama relasi yang tepat dari diagram panah di atas, mari kita uji hubungan pola matematika dari setiap angka pertama (\(x \in A\)) ke angka kedua (\(y \in B\)) secara berpasangan:

Pasangan \((-6 \rightarrow -4)\):
Apakah \(-6\) merupakan “dua kurangnya dari” \(-4\)?
Ya, secara aljabar benar karena:
\[-6 = -4 \:-\:2\]

Pasangan \((-4 \rightarrow -2)\):
Apakah \(-4\) merupakan “dua kurangnya dari” \(-2\)?
Ya, secara aljabar benar karena:
\[-4 = -2\:-\:2\]

Pasangan \((-2 \rightarrow 0)\):
Apakah \(-2\) merupakan “dua kurangnya dari” \(0\)?
Ya, secara aljabar benar karena:
\[-2 = 0 \:-\: 2\]

Karena seluruh pasangan koordinat memenuhi hubungan \(x = y – 2\), maka nama relasi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) adalah “dua kurangnya dari” (two less than).

Analisis Pilihan Lain (Untuk menambah pemahaman):

Pilihan B (Setengah dari): Salah, karena setengah dari \(-4\) adalah \(-2\), bukan \(-6\).

Pilihan C (Dua lebihnya dari): Salah, karena nilai \(x\) di sebelah kiri lebih kecil daripada nilai \(y\) di sebelah kanan (seharusnya lebih besar jika menyatakan “lebihnya dari”).

Pilihan D (Dua kalinya dari): Salah, karena dua kali dari \(-4\) adalah \(-8\), bukan \(-6\).

Berikut adalah rincian penulisan analisis matematisnya secara rapi:

\[
\begin{aligned}
x &= y \:-\: 2 \quad (\text{x adalah dua kurangnya dari y}) \\[1.5ex] -6 &= -4\:-\: 2 \quad (\text{-6 adalah dua kurangnya dari -4}) \\[1ex] -4 &= -2\:-\: 2 \quad (\text{-4 adalah dua kurangnya dari -2}) \\[1ex] -2 &= 0 \:-\: 2 \quad (\text{-2 adalah dua kurangnya dari 0})
\end{aligned}
\]

Dengan demikian, nama relasi yang tepat dari diagram panah tersebut adalah dua kurangnya dari (pilihan A).

Jawaban: A