Benang Lurus
Relasi dan Fungsi
1. Pengertian Relasi dan Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari maupun matematika:
- Relasi adalah aturan yang menghubungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Pada relasi biasa, hubungannya bebas tanpa syarat khusus.
- Fungsi (Pemetaan) adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal (Domain) dengan tepat satu anggota himpunan daerah kawan (Kodomain).
Domain, Kodomain, dan Range
Perhatikan diagram panah fungsi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) berikut:
Dari diagram di atas:
(1) Domain (Daerah Asal): Seluruh anggota himpunan \(A\) → \(D_f = \{1, 2, 3, 4\}\)
(2) Kodomain (Daerah Kawan): Seluruh anggota himpunan \(B\) → \(K_f = \{a, b, c, d\}\)
(3) Range (Daerah Hasil): Anggota himpunan \(B\) yang tertembak panah → \(R_f = \{a, b, c\}\)
2. Membedakan Relasi: Fungsi vs Bukan Fungsi
Perhatikan dua kondisi yang menyebabkan suatu relasi BUKAN FUNGSI:
| Kondisi 1: Domain Bercabang | Kondisi 2: Domain Kosong |
|---|---|
|
BUKAN FUNGSI |
BUKAN FUNGSI |
3. Uji Garis Vertikal pada Grafik (Vertical Line Test)
Jika relasi digambarkan pada bidang koordinat Kartesius, cara tercepat mengetahui fungsi atau bukan adalah dengan menarik garis vertikal (garis tegak lurus sejajar sumbu-\(y\)):
| Grafik Fungsi (Parabola Vertikal) | Bukan Fungsi (Lingkaran) |
|---|---|
|
MERUPAKAN FUNGSI |
BUKAN FUNGSI (Memotong 2 Titik) |
4. Notasi dan Menghitung Nilai Fungsi
Fungsi biasanya diberi nama dengan huruf kecil seperti \(f, g,\) atau \(h\).
Jika fungsi \(f\) memetakan variabel \(x\) ke bentuk \(ax + b\), maka dinotasikan:
\[ f: x \to ax + b \quad \Longleftrightarrow \quad f(x) = ax + b \]
Untuk menentukan nilai fungsi pada titik tertentu, cukup lakukan substitusi (mengganti nilai \(x\)) ke dalam rumus fungsinya.
Latihan Soal & Pembahasan
Soal 01: Identifikasi Diagram Panah
Perhatikan diagram panah relasi dari himpunan \(P\) ke himpunan \(Q\) berikut:
Apakah relasi dari himpunan \(P\) ke himpunan \(Q\) di atas merupakan fungsi? Berikan alasannya!
(A) Bukan fungsi, karena anggota \(c\) pada himpunan \(Q\) tidak memiliki pasangan
(B) Bukan fungsi, karena anggota \(b\) pada himpunan \(Q\) menerima dua pasangan
(C) Fungsi, karena setiap anggota himpunan \(P\) memiliki tepat satu pasangan di \(Q\)
(D) Fungsi, karena jumlah anggota \(P\) sama dengan jumlah anggota \(Q\)
Pembahasan:
Syarat fungsi hanya fokus pada himpunan asal (Domain \(P = \{1, 2, 3\}\)):
- Anggota \(1\) dipasangkan ke \(a\) (hanya 1 panah).
- Anggota \(2\) dipasangkan ke \(b\) (hanya 1 panah).
- Anggota \(3\) dipasangkan ke \(b\) (hanya 1 panah).
Karena seluruh anggota \(P\) memiliki pasangan dan tidak ada yang bercabang, maka relasi ini MERUPAKAN FUNGSI (meskipun anggota \(b\) menerima 2 panah dan anggota \(c\) tidak mendapat pasangan).
Soal 02: Himpunan Pasangan Berurutan
Di antara himpunan pasangan berurutan \((x, y)\) berikut:
\[ P = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)\} \] \[ Q = \{(1, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6)\} \] \[ R = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4)\} \]
Relasi yang merupakan fungsi adalah ….
(A) \(P\) dan \(Q\)
(B) \(P\) dan \(R\)
(C) \(Q\) dan \(R\)
(D) Hanya \(P\)
Kunci Cepat Pasangan Berurutan:
Perhatikan angka pertama (\(x\)). Jika tidak ada angka \(x\) yang kembar/berulang, maka relasi tersebut adalah fungsi!
- Relasi \(P\): Angka pertama = \(\{1, 2, 3, 4\}\) → Semua berbeda. (FUNGSI)
- Relasi \(Q\): Angka pertama = \(\{1, 1, 2, 3\}\) → Angka \(1\) muncul dua kali. (BUKAN FUNGSI)
- Relasi \(R\): Angka pertama = \(\{1, 2, 3, 4\}\) → Semua berbeda (meskipun nilai \(y\) sama semua). (FUNGSI)
Soal 03: Menentukan Domain, Kodomain, dan Range
Diketahui himpunan \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) dan himpunan \(B = \{2, 4, 6, 8, 10\}\). Suatu relasi dari \(A\) ke \(B\) menyatakan relasi “setengah dari”.
Daerah hasil (Range) dari relasi tersebut adalah ….
(A) \(\{1, 2, 3, 4\}\)
(B) \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\)
(C) \(\{2, 4, 6, 8\}\)
(D) \(\{4, 6, 8, 10\}\)
Langkah Penyelesaian:
Pasangkan anggota \(A\) ke \(B\) sesuai aturan “\(x\) setengah dari \(y\)” (artinya \(y = 2x\)):
- \(1\) adalah setengah dari \(2\) → \((1, 2)\)
- \(2\) adalah setengah dari \(4\) → \((2, 4)\)
- \(3\) adalah setengah dari \(6\) → \((3, 6)\)
- \(4\) adalah setengah dari \(8\) → \((4, 8)\)
Anggota himpunan \(B\) yang menjadi pasangan adalah:
\[ \text{Range } (R_f) = \{2, 4, 6, 8\} \]
Soal 04: Menghitung Nilai Fungsi Linear Sederhana
Suatu fungsi dinyatakan dengan rumus \(f(x) = 3x\:-\:5\). Nilai dari \(f(4)\) adalah ….
(A) \(5\)
(B) \(7\)
(C) \(11\)
(D) \(17\)
Substitusi Nilai:
\[ f(x) = 3x\:-\: 5 \]
Ganti nilai \(x\) dengan \(4\):
\[ f(4) = 3(4) \:-\: 5 = 12\:-\: 5 = 7 \]
Soal 05: Menentukan Nilai Konstanta Rumus Fungsi
Diketahui rumus fungsi \(f(x) = 2x + c\). Jika diketahui bayangan dari \(3\) adalah \(10\) (\(f(3) = 10\)), maka nilai konstanta \(c\) adalah ….
(A) \(2\)
(B) \(3\)
(C) \(4\)
(D) \(6\)
Langkah Penyelesaian:
\[ f(x) = 2x + c \]
Masukkan \(x = 3\) dan hasilnya disamakan dengan \(10\):
\[ 2(3) + c = 10 \]
\[ 6 + c = 10 \implies c = 10 \:-\:6 = 4 \]
Soal 06: Menentukan Rumus Fungsi dari Dua Titik Nilai
Fungsi \(f\) dinyatakan dengan rumus \(f(x) = mx + k\). Jika \(f(2) = 13\) dan \(f(5) = 22\), maka nilai dari \(m + k\) adalah ….
(A) \(8\)
(B) \(9\)
(C) \(10\)
(D) \(12\)
Metode Eliminasi & Substitusi:
Susun dua persamaan linier:
- \(f(2) = 13 \implies 2m + k = 13\) … (Persamaan 1)
- \(f(5) = 22 \implies 5m + k = 22\) … (Persamaan 2)
Kurangkan Persamaan 2 dengan Persamaan 1 untuk mengeliminasi \(k\):
\[ (5m + k) – (2m + k) = 22 – 13 \]
\[ 3m = 9 \implies m = \frac{9}{3} = 3 \]
Substitusikan nilai \(m = 3\) ke Persamaan 1:
\[ 2(3) + k = 13 \]
\[ 6 + k = 13 \implies k = 13 – 6 = 7 \]
Diperoleh rumus fungsi \(f(x) = 3x + 7\).
Maka nilai dari \(m + k = 3 + 7 = 10\).
Soal 07: Menghitung Prapeta (Nilai Input x)
Suatu fungsi dirumuskan dengan \(h(x) = 5 \:-\: 2x\). Jika diketahui nilai bayangan \(h(a) = -7\), maka nilai \(a\) adalah ….
(A) \(6\)
(B) \(4\)
(C) \(-1\)
(D) \(-6\)
Langkah Penyelesaian Aljabar:
\[ h(a) = -7 \]
\[ 5 \:-\: 2a = -7 \]
Pindahkan konstanta \(5\) ke ruas kanan:
\[ -2a = -7 \:-\: 5 \]
\[ -2a = -12 \implies a = \frac{-12}{-2} = 6 \]
Soal 08: Banyaknya Pemetaan (Fungsi) yang Mungkin
Diketahui himpunan \(A = \{\text{faktor dari } 4\}\) dan himpunan \(B = \{\text{faktor prima dari } 6\}\). Banyaknya semua pemetaan (fungsi) yang mungkin dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) adalah ….
(A) \(6\)
(B) \(8\)
(C) \(9\)
(D) \(12\)
Langkah Penyelesaian:
1. Daftarkan anggota tiap himpunan dan hitung banyak anggotanya (\(n\)):
- \(A = \{\text{faktor dari } 4\} = \{1, 2, 4\} \implies n(A) = 3\)
- \(B = \{\text{faktor prima dari } 6\} = \{2, 3\} \implies n(B) = 2\)
2. Gunakan rumus banyak pemetaan dari \(A\) ke \(B\):
\[ \text{Banyak Pemetaan} = n(B)^{n(A)} \] \[ \text{Banyak Pemetaan} = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \] (Catatan: Jika ditanyakan pemetaan dari \(B\) ke \(A\), rumusnya adalah \(n(A)^{n(B)} = 3^2 = 9\)).
Soal 09: Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Nyata (Kontekstual)
Sebuah perusahaan ekspedisi kilat menetapkan tarif pengiriman paket ke luar kota dengan rumus fungsi:
\[ B(x) = 15.000 + 4.000x \]
dengan \(x\) menyatakan berat paket dalam satuan kilogram (\(\text{kg}\)) dan \(B(x)\) adalah total biaya kirim dalam rupiah (\(\text{Rp}\)). Jika seorang pedagang online membayar total ongkos kirim sebesar \(\text{Rp}75.000\), maka berat barang yang dikirim pedagang tersebut adalah ….
(A) \(12\text{ kg}\)
(B) \(14\text{ kg}\)
(C) \(15\text{ kg}\)
(D) \(18\text{ kg}\)
Langkah Penyelesaian Aljabar:
Diketahui rumus biaya:
\[ B(x) = 15.000 + 4.000x \]
Total biaya yang dibayarkan adalah \(B(x) = 75.000\):
\[ 15.000 + 4.000x = 75.000 \]
Pindahkan konstanta \(15.000\) ke ruas kanan:
\[ 4.000x = 75.000 – 15.000 \]
\[ 4.000x = 60.000 \]
Bagi kedua ruas dengan \(4.000\):
\[ x = \frac{60.000}{4.000} = 15 \]
Jadi, berat paket yang dikirimkan adalah \(15\text{ kg}\).
Soal 10: Menghitung Nilai Fungsi Berbentuk \(f(ax + b)\)
Diketahui suatu rumus fungsi memenuhi persamaan \(f(2x \:-\:1) = 6x + 5\). Nilai dari \(f(4)\) adalah ….
(A) \(17\)
(B) \(20\)
(C) \(23\)
(D) \(29\)
Hati-hati Jebakan!
Kita tidak boleh langsung mengganti \(x = 4\). Nilai di dalam kurunglah yang harus bernilai \(4\).
Cara Praktis (Menyamakan Nilai Dalam Kurung):
\[ 2x \:-\: 1 = 4 \]
\[ 2x = 4 + 1 \implies 2x = 5 \implies x = 2{,}5 \]
Setelah mengetahui nilai \(x = 2{,}5\), substitusikan ke ruas kanan:
\[ f(4) = 6(2{,}5) + 5 = 15 + 5 = 20 \]
Cara Alternatif (Mencari Rumus \(f(x)\) Terlebih Dahulu):
Misalkan \(2x\:-\: 1 = p \implies 2x = p + 1 \implies x = \frac{p + 1}{2}\).
\[ f(p) = 6\left(\frac{p + 1}{2}\right) + 5 = 3(p + 1) + 5 = 3p + 8 \]
Maka rumus umumnya adalah \(f(x) = 3x + 8\).
Sehingga nilai \(f(4) = 3(4) + 8 = 12 + 8 = 20\).
Soal 11: Identifikasi Korespondensi Satu-Satu dari Diagram Panah
Perhatikan empat diagram panah relasi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) berikut:
Diagram panah yang menunjukkan korespondensi satu-satu adalah ….
(A) (I) dan (II)
(B) (I) dan (III)
(C) (II) dan (IV)
(D) (III) dan (IV)
Syarat Korespondensi Satu-Satu:
- Jumlah anggota kedua himpunan harus sama: \(n(A) = n(B)\).
- Setiap anggota \(A\) berpasangan tepat satu ke \(B\), DAN setiap anggota \(B\) berpasangan tepat satu ke \(A\). (Tidak boleh ada anggota yang kosong atau memiliki lebih dari satu pasangan di kedua belah pihak).
Analisis Setiap Diagram:
- Diagram (I): Anggota \(b \in B\) menerima dua panah dan \(c \in B\) tidak memiliki pasangan → Bukan korespondensi satu-satu (hanya fungsi biasa).
- Diagram (II): Setiap anggota \(A\) dan \(B\) memiliki pasangan tepat satu-satu → Korespondensi satu-satu.
- Diagram (III): Anggota \(2 \in A\) bercabang dan anggota \(3 \in A\) kosong → Bukan fungsi.
- Diagram (IV): Setiap anggota \(A\) dan \(B\) memiliki pasangan tepat satu-satu → Korespondensi satu-satu.
Soal 12: Menghitung Banyak Korespondensi Satu-Satu
Diketahui himpunan \(P = \{x \mid 2 < x \le 6, x \in \text{bilangan asli}\}\) dan himpunan \(Q = \{\text{huruf pembentuk kata “BUMI”}\}\). Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin terbentuk dari himpunan \(P\) ke himpunan \(Q\) adalah ….
(A) \(16\)
(B) \(24\)
(C) \(64\)
(D) \(256\)
Langkah Penyelesaian:
1. Daftarkan anggota himpunan dan tentukan jumlah anggotanya (\(n\)):
- \(P = \{3, 4, 5, 6\} \implies n(P) = 4\)
- \(Q = \{\text{B, U, M, I}\} \implies n(Q) = 4\)
Karena \(n(P) = n(Q) = n = 4\), maka korespondensi satu-satu dapat terjadi.
2. Gunakan rumus faktorial (\(n!\)):
\[ \text{Banyak Korespondensi Satu-Satu} = n! = n \times (n – 1) \times (n – 2) \times \dots \times 1 \] \[ \text{Banyak Korespondensi Satu-Satu} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Jadi, terdapat 24 kemungkinan korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk.
Soal 13: Identifikasi Kurva Fungsi pada Koordinat Kartesius
Perhatikan empat kurva relasi pada bidang koordinat Kartesius berikut:
Berdasarkan kurva di atas, kurva yang merupakan fungsi adalah ….
(A) (I) dan (II)
(B) (I) dan (IV)
(C) (II) dan (III)
(D) (III) dan (IV)
Metode Uji Garis Vertikal (Vertical Line Test):
Tarik garis tegak vertikal sembarang sejajar sumbu-\(y\) melintasi kurva:
- Grafik (I): Garis vertikal di posisi mana pun selalu memotong garis miring di tepat satu titik → FUNGSI.
- Grafik (II): Garis vertikal memotong lingkaran di dua titik (atas dan bawah) → Bukan fungsi.
- Grafik (III): Garis vertikal memotong parabola mendatar di dua titik → Bukan fungsi.
- Grafik (IV): Garis vertikal di posisi mana pun hanya memotong parabola vertikal di tepat satu titik → FUNGSI.
Jadi, kurva yang merupakan fungsi adalah Grafik (I) dan (IV).
Soal 14: Diagram Titik pada Koordinat Kartesius
Perhatikan empat diagram Kartesius berikut yang menyajikan relasi dari himpunan \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) ke himpunan \(B = \{1, 2, 3, 4\}\):
Diagram Kartesius yang menunjukkan fungsi adalah ….
(A) (I) dan (II)
(B) (I) dan (III)
(C) (II) dan (IV)
(D) (III) dan (IV)
Konsep Uji Garis Vertikal pada Titik-Titik Kartesius:
Suatu diagram titik pada koordinat Kartesius merupakan fungsi jika TIDAK ADA dua titik atau lebih yang berada pada satu garis vertikal yang sama (tegak lurus sumbu-\(x\)). Artinya, setiap nilai \(x\) hanya boleh memiliki satu titik pasangan di atasnya.
Analisis Setiap Diagram:
- Diagram (I): Setiap nilai \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\) masing-masing tepat memiliki 1 titik → FUNGSI.
- Diagram (II): Pada nilai \(x = 2\), terdapat dua titik yang bertumpuk vertikal yaitu \((2, 1)\) dan \((2, 3)\) → BUKAN FUNGSI.
- Diagram (III): Setiap nilai \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\) masing-masing tepat memiliki 1 titik → FUNGSI.
- Diagram (IV): Pada nilai \(x = 3\), terdapat dua titik yang bertumpuk vertikal yaitu \((3, 1)\) dan \((3, 3)\) → BUKAN FUNGSI.
Jadi, diagram yang merupakan fungsi adalah Diagram (I) dan (III).
Soal 15: Pasangan Berurutan Korespondensi Satu-Satu
Diketahui himpunan \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) dan himpunan \(B = \{p, q, r, s\}\). Di antara himpunan pasangan berurutan berikut, manakah yang merupakan korespondensi satu-satu dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\)?
(A) \(\{(1, p), (2, q), (3, p), (4, r)\}\)
(B) \(\{(1, p), (2, q), (3, r), (3, s)\}\)
(C) \(\{(1, s), (2, p), (3, r), (4, q)\}\)
(D) \(\{(1, p), (2, p), (3, p), (4, p)\}\)
Syarat Korespondensi Satu-Satu pada Pasangan Berurutan \((x, y)\):
- Angka pertama (\(x\)) tidak boleh ada yang berulang/kembar (syarat fungsi).
- Huruf kedua (\(y\)) juga tidak boleh ada yang berulang/kembar (syarat satu-satu).
Mari Kita Uji Setiap Pilihan:
- Pilihan (A): Nilai \(y\) memiliki huruf \(p\) yang muncul dua kali pada \((1, p)\) dan \((3, p)\) → Bukan korespondensi satu-satu (hanya fungsi biasa).
- Pilihan (B): Nilai \(x\) memiliki angka \(3\) yang muncul dua kali pada \((3, r)\) dan \((3, s)\) → Bukan fungsi.
- Pilihan (C): Semua angka \(x = \{1, 2, 3, 4\}\) berbeda DAN semua huruf \(y = \{s, p, r, q\}\) berbeda → KORESPONDENSI SATU-SATU.
- Pilihan (D): Semua pasangan memetakan ke huruf \(p\) → Bukan korespondensi satu-satu (fungsi konstan).
