Pembahasan:

Syarat fungsi hanya fokus pada himpunan asal (Domain \(P = \{1, 2, 3\}\)):

• Anggota \(1\) dipasangkan ke \(a\) (hanya 1 panah).
• Anggota \(2\) dipasangkan ke \(b\) (hanya 1 panah).
• Anggota \(3\) dipasangkan ke \(b\) (hanya 1 panah).

Karena seluruh anggota \(P\) memiliki pasangan dan tidak ada yang bercabang, maka relasi ini MERUPAKAN FUNGSI (meskipun anggota \(b\) menerima 2 panah dan anggota \(c\) tidak mendapat pasangan).

Kunci Cepat Pasangan Berurutan:

Perhatikan angka pertama (\(x\)). Jika tidak ada angka \(x\) yang kembar/berulang, maka relasi tersebut adalah fungsi!

• Relasi \(P\): Angka pertama = \(\{1, 2, 3, 4\}\) → Semua berbeda. (FUNGSI)
• Relasi \(Q\): Angka pertama = \(\{1, 1, 2, 3\}\) → Angka \(1\) muncul dua kali. (BUKAN FUNGSI)
• Relasi \(R\): Angka pertama = \(\{1, 2, 3, 4\}\) → Semua berbeda (meskipun nilai \(y\) sama semua). (FUNGSI)

Langkah Penyelesaian:

Pasangkan anggota \(A\) ke \(B\) sesuai aturan “\(x\) setengah dari \(y\)” (artinya \(y = 2x\)):

• \(1\) adalah setengah dari \(2\) → \((1, 2)\)
• \(2\) adalah setengah dari \(4\) → \((2, 4)\)
• \(3\) adalah setengah dari \(6\) → \((3, 6)\)
• \(4\) adalah setengah dari \(8\) → \((4, 8)\)

Anggota himpunan \(B\) yang menjadi pasangan adalah:
\[ \text{Range } (R_f) = \{2, 4, 6, 8\} \]

Substitusi Nilai:

\[ f(x) = 3x\:-\: 5 \] Ganti nilai \(x\) dengan \(4\):
\[ f(4) = 3(4) \:-\: 5 = 12\:-\: 5 = 7 \]

Langkah Penyelesaian:

\[ f(x) = 2x + c \] Masukkan \(x = 3\) dan hasilnya disamakan dengan \(10\):
\[ 2(3) + c = 10 \] \[ 6 + c = 10 \implies c = 10 \:-\:6 = 4 \]

Metode Eliminasi & Substitusi:

Susun dua persamaan linier:

• \(f(2) = 13 \implies 2m + k = 13\) … (Persamaan 1)
• \(f(5) = 22 \implies 5m + k = 22\) … (Persamaan 2)

Kurangkan Persamaan 2 dengan Persamaan 1 untuk mengeliminasi \(k\):
\[ (5m + k) – (2m + k) = 22 – 13 \] \[ 3m = 9 \implies m = \frac{9}{3} = 3 \] Substitusikan nilai \(m = 3\) ke Persamaan 1:
\[ 2(3) + k = 13 \] \[ 6 + k = 13 \implies k = 13 – 6 = 7 \] Diperoleh rumus fungsi \(f(x) = 3x + 7\).
Maka nilai dari \(m + k = 3 + 7 = 10\).

Langkah Penyelesaian Aljabar:

\[ h(a) = -7 \] \[ 5 \:-\: 2a = -7 \] Pindahkan konstanta \(5\) ke ruas kanan:
\[ -2a = -7 \:-\: 5 \] \[ -2a = -12 \implies a = \frac{-12}{-2} = 6 \]

Langkah Penyelesaian:

1. Daftarkan anggota tiap himpunan dan hitung banyak anggotanya (\(n\)):

• \(A = \{\text{faktor dari } 4\} = \{1, 2, 4\} \implies n(A) = 3\)
• \(B = \{\text{faktor prima dari } 6\} = \{2, 3\} \implies n(B) = 2\)

2. Gunakan rumus banyak pemetaan dari \(A\) ke \(B\):

\[ \text{Banyak Pemetaan} = n(B)^{n(A)} \] \[ \text{Banyak Pemetaan} = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \] (Catatan: Jika ditanyakan pemetaan dari \(B\) ke \(A\), rumusnya adalah \(n(A)^{n(B)} = 3^2 = 9\)).

Langkah Penyelesaian Aljabar:

Diketahui rumus biaya:
\[ B(x) = 15.000 + 4.000x \] Total biaya yang dibayarkan adalah \(B(x) = 75.000\):
\[ 15.000 + 4.000x = 75.000 \] Pindahkan konstanta \(15.000\) ke ruas kanan:
\[ 4.000x = 75.000 – 15.000 \] \[ 4.000x = 60.000 \] Bagi kedua ruas dengan \(4.000\):
\[ x = \frac{60.000}{4.000} = 15 \] Jadi, berat paket yang dikirimkan adalah \(15\text{ kg}\).

Hati-hati Jebakan!
Kita tidak boleh langsung mengganti \(x = 4\). Nilai di dalam kurunglah yang harus bernilai \(4\).

Cara Praktis (Menyamakan Nilai Dalam Kurung):

\[ 2x \:-\: 1 = 4 \] \[ 2x = 4 + 1 \implies 2x = 5 \implies x = 2{,}5 \] Setelah mengetahui nilai \(x = 2{,}5\), substitusikan ke ruas kanan:
\[ f(4) = 6(2{,}5) + 5 = 15 + 5 = 20 \]

Cara Alternatif (Mencari Rumus \(f(x)\) Terlebih Dahulu):

Misalkan \(2x\:-\: 1 = p \implies 2x = p + 1 \implies x = \frac{p + 1}{2}\).
\[ f(p) = 6\left(\frac{p + 1}{2}\right) + 5 = 3(p + 1) + 5 = 3p + 8 \] Maka rumus umumnya adalah \(f(x) = 3x + 8\).
Sehingga nilai \(f(4) = 3(4) + 8 = 12 + 8 = 20\).

Syarat Korespondensi Satu-Satu:

• Jumlah anggota kedua himpunan harus sama: \(n(A) = n(B)\).
• Setiap anggota \(A\) berpasangan tepat satu ke \(B\), DAN setiap anggota \(B\) berpasangan tepat satu ke \(A\). (Tidak boleh ada anggota yang kosong atau memiliki lebih dari satu pasangan di kedua belah pihak).

Analisis Setiap Diagram:

• Diagram (I): Anggota \(b \in B\) menerima dua panah dan \(c \in B\) tidak memiliki pasangan → Bukan korespondensi satu-satu (hanya fungsi biasa).
• Diagram (II): Setiap anggota \(A\) dan \(B\) memiliki pasangan tepat satu-satu → Korespondensi satu-satu.
• Diagram (III): Anggota \(2 \in A\) bercabang dan anggota \(3 \in A\) kosong → Bukan fungsi.
• Diagram (IV): Setiap anggota \(A\) dan \(B\) memiliki pasangan tepat satu-satu → Korespondensi satu-satu.

Langkah Penyelesaian:

1. Daftarkan anggota himpunan dan tentukan jumlah anggotanya (\(n\)):

• \(P = \{3, 4, 5, 6\} \implies n(P) = 4\)
• \(Q = \{\text{B, U, M, I}\} \implies n(Q) = 4\)

Karena \(n(P) = n(Q) = n = 4\), maka korespondensi satu-satu dapat terjadi.

2. Gunakan rumus faktorial (\(n!\)):

\[ \text{Banyak Korespondensi Satu-Satu} = n! = n \times (n – 1) \times (n – 2) \times \dots \times 1 \] \[ \text{Banyak Korespondensi Satu-Satu} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Jadi, terdapat 24 kemungkinan korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk.

Metode Uji Garis Vertikal (Vertical Line Test):

Tarik garis tegak vertikal sembarang sejajar sumbu-\(y\) melintasi kurva:

• Grafik (I): Garis vertikal di posisi mana pun selalu memotong garis miring di tepat satu titik → FUNGSI.
• Grafik (II): Garis vertikal memotong lingkaran di dua titik (atas dan bawah) → Bukan fungsi.
• Grafik (III): Garis vertikal memotong parabola mendatar di dua titik → Bukan fungsi.
• Grafik (IV): Garis vertikal di posisi mana pun hanya memotong parabola vertikal di tepat satu titik → FUNGSI.

Jadi, kurva yang merupakan fungsi adalah Grafik (I) dan (IV).

Konsep Uji Garis Vertikal pada Titik-Titik Kartesius:

Suatu diagram titik pada koordinat Kartesius merupakan fungsi jika TIDAK ADA dua titik atau lebih yang berada pada satu garis vertikal yang sama (tegak lurus sumbu-\(x\)). Artinya, setiap nilai \(x\) hanya boleh memiliki satu titik pasangan di atasnya.

Analisis Setiap Diagram:

• Diagram (I): Setiap nilai \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\) masing-masing tepat memiliki 1 titik → FUNGSI.
• Diagram (II): Pada nilai \(x = 2\), terdapat dua titik yang bertumpuk vertikal yaitu \((2, 1)\) dan \((2, 3)\) → BUKAN FUNGSI.
• Diagram (III): Setiap nilai \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\) masing-masing tepat memiliki 1 titik → FUNGSI.
• Diagram (IV): Pada nilai \(x = 3\), terdapat dua titik yang bertumpuk vertikal yaitu \((3, 1)\) dan \((3, 3)\) → BUKAN FUNGSI.

Jadi, diagram yang merupakan fungsi adalah Diagram (I) dan (III).

Syarat Korespondensi Satu-Satu pada Pasangan Berurutan \((x, y)\):

1. Angka pertama (\(x\)) tidak boleh ada yang berulang/kembar (syarat fungsi).
2. Huruf kedua (\(y\)) juga tidak boleh ada yang berulang/kembar (syarat satu-satu).

Mari Kita Uji Setiap Pilihan:

• Pilihan (A): Nilai \(y\) memiliki huruf \(p\) yang muncul dua kali pada \((1, p)\) dan \((3, p)\) → Bukan korespondensi satu-satu (hanya fungsi biasa).
• Pilihan (B): Nilai \(x\) memiliki angka \(3\) yang muncul dua kali pada \((3, r)\) dan \((3, s)\) → Bukan fungsi.
• Pilihan (C): Semua angka \(x = \{1, 2, 3, 4\}\) berbeda DAN semua huruf \(y = \{s, p, r, q\}\) berbeda → KORESPONDENSI SATU-SATU.
• Pilihan (D): Semua pasangan memetakan ke huruf \(p\) → Bukan korespondensi satu-satu (fungsi konstan).