Penulis: Mr. Benz (Teacher)

Elastisitas

SOAL 01

FISIKA SIMAK UI 2009 Kode 914 No.31

Sebuah pegas dengan konstanta pegas sebesar A, jika saat ditarik mengalami perubahan panjang sebesar B, maka energi potensial elastis pegas adalah…

(A) \(\text{A}\text{B}\)

(B) \(\text{A}\text{B}^2\)

(C) \(\text{A}^2\text{B}\)

(D) \(\frac{1}{2}\text{A}^2\text{B}\)

(E) \(\frac{1}{2}\text{A}\text{B}^2\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Rumus energi potensial pegas adalah:

\(\text{Ep} = \dfrac{1}{2}\text{k}\triangle \text{x}^2\)

\(\text{Ep} = \dfrac{1}{2}\text{A}\triangle \text{B}^2\)

SOAL 02

FISIKA SIMAK UI 2009 Kode 914 No.32

Sebuah besi bermassa 300 kg digantungkan pada sebuah kawat baja dengan panjang 5 m yang memiliki luas penampang 0,2 cm². Berapakah pertambahan panjang kawat? (modulus Young untuk baja = \(2 \times 10^{11}\) N/m² dan g = 10 m/s².

(A) \(10,5 \times 10^{-2}\) cm

(B) \(17,5 \times 10^{-2}\) cm

(C) \(27,5 \times 10^{-2}\) cm

(D) \(37,5 \times 10^{-2}\) cm

(E) \(47,5 \times 10^{-2}\) cm

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Rumus modulus Young kawat:

\(\color{blue}\text{E} = \dfrac{\text{F}\cdot l_0}{\text{A}\cdot \triangle l}\)

\(2 \times 10^{11} = \dfrac{\text{m.g}\cdot 5}{0,2 \times 10^{-4}\cdot \triangle l}\)

\(2 \times 10^{11} = \dfrac{3000\cdot 5}{0,2 \times 10^{-4}\cdot \triangle l}\)

\(2 \times 10^{11} = \dfrac{15000}{0,2 \times 10^{-4}\cdot \triangle l}\)

\(2\times 10^{11}\times 0,2 \times 10^{-4} \cdot \triangle l = 1,5 \times 10^4 \)

\(4 \times 10^6 \cdot \triangle l = 1,5 \times 10^4 \)

\(\triangle l = \dfrac{1,5 \times 10^4}{4 \times 10^6} \)

\(\triangle l = 3,75 \times 10^{-3} \text{ m}\)

\(\triangle l = 37,5 \times 10^{-2}\) cm

SOAL 03

FISIKA SIMAK UI 2015

Perusahaan spring bed sedang mempromosikan kelebihan kasurnya karena per yang digunakannya memiliki keunikan. Gambar di atas mengilustrasikan keunikan tersebut. Jika kasur diduduki dan tertekan sebesar 4 cm, ternyata energi potensialnya sebesar 0,48 joule. Dengan menganalisis kurva di atas, jika jarak antara posisi \(\triangle x_3\) dan \(\triangle x_1\) adalah 2 cm dan dianggap \(\text{F}_3 = 18 \text{ N}\), besar gaya \(\text{F}_1\) adalah… N

(A) 6

(B) 8

(C) 10

(D) 12

(E) 14

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Langkah 1: menghitung konstanta pegas

\(\text{Ep} = \dfrac{1}{2}\text{k}\triangle \text{x}^2\)

\(0,48 = \dfrac{1}{2}\text{k}\times (4 \times 10^{-2})^2\)

\(0,48= \text{k}\times 8\times 10^{-4}\)

\(\text{k} = \dfrac{0,48}{8\times 10^{-4}}\)

\(\text{k} = 600 \text{ N/m}\)

Langkah 2: menghitung \(\triangle x_3\)

Dari soal diketahui bahwa \(\text{F}_3 = 18 \text{ N}\)

\(\text{F}_3 = \text{k} \cdot \triangle x_3\)

\(18 = 600 \cdot \triangle x_3\)

\(\triangle x_3 = \dfrac{18}{600}\)

\(\triangle x_3 = 0,03 \text{ m}\)

\(\triangle x_3 = 3 \text{ cm}\)

Langkah 3: menghitung besar gaya F1

\(\triangle x_3 \:-\: \triangle x_1 = 2 \text{ cm}\)

\(3 \text{ cm}\:-\: \triangle x_1 = 2 \text{ cm}\)

\(\triangle x_1 = 1 \text{ cm}\)

\(\triangle x_1 = 1 \times 10^{-2} \text{ m}\)

\(\text{F}_1 = \text{k} \cdot \triangle x_1\)

\(\text{F}_1 = 600 \cdot 1 \times 10^{-2}\)

\(\text{F}_1 = 6 \text{ N}\)

04/09/2022
Gerak Parabola

Gambar di atas menunjukkan sebuah benda yang bergerak dengan kecepatan awal \(\text{v}_0\) pada sudut elevasi sebesar \(\alpha\). Lintasan gerak benda tersebut berbentuk parabola.

Gerak parabola dianalisa dalam arah sumbu x dan sumbu y. Vektor kecepatan awal \(\text{v}_0\), diuraikan menjadi \(\text{v}_{x} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\) dan \(\text{v}_{0y} = \text{v}_0\cdot \sin \alpha\)

Gerak dalam arah sumbu x

Kecepatan dalam arah sumbu x di setiap titik lintasan selalu tetap

Untuk mengukur jarak horizontal dapat menggunakan rumus:

\(\color{blue} \text{x} = \text{v}_x\cdot \text{t}\)

Gerak dalam arah sumbu y

Kecepatan dalam arah sumbu y di setiap titik lintasan berubah secara teratur

Rumus-rumus yang digunakan:

\(\color{blue} \text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)

\(\color{blue} \text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)

Untuk menghitung kecepatan gerak digunakan rumus resultan vektor,

Besar kecepatan

\(\text{v} = \sqrt{(\text{v}_x)^2 + (\text{v}_y)^2 }\)

Arah kecepatan

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{v}_y}{\text{v}_x}\)

Pada titik tertinggi \(\text{v}_y = 0\), sehingga pada titik tertinggi tersebut benda memiliki kecepatan sebesar \(\text{v}_x\)

Contoh 1

Sebuah bola ditendang kiper ke tengah lapangan dengan kecepatan awal 30 m/s pada sudut elevasi 37°. Jika dianggap nilai percepatan gravitasi di tempat tersebut 10 m/s², maka tentukan:

a. Waktu bola mencapai ketinggian maksimum

b. Ketinggian maksimum yang dicapai bola

c. Jarak terjauh yang dapat dicapai bola

d. Kecepatan bola sesaat sebelum menumbuk tanah

Pembahasan:

Komponen kecepatan awal:

\(\text{v}_{x} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\)

\(\text{v}_{x} = 30 \cdot \cos 37^{\circ}\)

\(\text{v}_{x} = 30 \cdot 0,8 = 24 \text{ m/s}\)

\(\text{v}_{0y} = \text{v}_0\cdot \sin\alpha\)

\(\text{v}_{0y} = 30 \cdot \sin 37^{\circ}\)

\(\text{v}_{0y} = 30 \cdot 0,6 = 18\text{ m/s}\)

a. Menghitung waktu bola mencapai ketinggian maksimum

Pada titik tertinggi \(\text{v}_y = 0\)

\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)

\(0 = 18 \:-\:10\text{t}\)

\(10\text{t} = 18\)

\(\text{t} = 1,8 \text{ s}\)

b. Menghitung ketinggian maksimum

\(\text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)

\(\text{y}_{\text{max}} = 0 + 18\cdot 1,8\:-\: \frac{1}{2}\cdot 10\cdot (1,8)^2\)

\(\text{y}_{\text{max}} = 32,4\:-\: 16,2\)

\(\text{y}_{\text{max}} = 16,2 \text{ m}\)

c. Menghitung jarak terjauh

Karena bola ditendang dari permukaan tanah dan jatuh kembali ke tanah, maka lintasannya berbentuk parabola simetris.

Lama bola di udara sama dengan 2 kali waktu bola mencapai ketinggian maksimum yaitu sebesar \(2\times 1,8 = 3,6 \text{ s}\)

\(\text{x} = \text{v}_x\cdot \text{t}\)

\(\text{x} = 24\cdot 3,6\)

\(\text{x} = 86,4 \text{ m}\)

d. Menghitung kecepatan bola sesaat sebelum menumbuk tanah

Komponen vektor kecepatannya adalah:

\(\text{v}_x = 24 \text{ m/s}\)

\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)

\(\text{v}_y = 18 \:-\:10\cdot 3,6\)

\(\text{v}_y = -18 \text{ m/s}\)

Tanda minus menunjukkan arah kecepatan ke bawah

Besar kecepatan
\(\text{v} = \sqrt{(\text{v}_x)^2 + (\text{v}_y)^2 }\)

\(\text{v} = \sqrt{24^2 + (-18)^2 }\)

\(\text{v} = \sqrt{576 + 324 }\)

\(\text{v} = \sqrt{900 }\)

\(\text{v} = 30 \text{ m/s}\)

Arah kecepatan

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{v}_y}{\text{v}_x}\)

\(\tan \alpha = -\dfrac{18}{24}\)

\(\tan \alpha = -\dfrac{3}{4}\)

\(\alpha = -37^{\circ}\)

Contoh 2

Sebuah peluru ditembakkan dari ketinggian 105 meter, dengan kecepatan awal 40 m/s pada sudut elevasi 30°, seperti pada gambar di bawah ini.

Jika dianggap nilai percepatan gravitasi di tempat tersebut adalah 10 m/s², maka tentukan:

a. Ketinggian maksimum yang dicapai peluru

b. Posisi peluru pada detik ke-3

c. Kecepatan peluru pada detik ke-3

Pembahasan:

Komponen kecepatan awal:

\(\text{v}_{x} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\)

\(\text{v}_{x} = 40 \cdot \cos 30^{\circ}\)

\(\text{v}_{x} = 40 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ m/s}\)

\(\text{v}_{0y} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\)

\(\text{v}_{0y} = 40 \cdot \sin 30^{\circ}\)

\(\text{v}_{0y} = 40 \cdot 0,5 = 20\text{ m/s}\)

a. Menghitung ketinggian maksimum

Pada titik tertinggi \(\text{v}_y = 0\)

\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)

\(0 = 20 \:-\:10\text{t}\)

\(10\text{t} = 20\)

\(\text{t} = 2 \text{ s}\)

\(\text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)

\(\text{y}_{\text{max}} = 105 + 20\cdot 2\:-\: \frac{1}{2}\cdot 10\cdot (2)^2\)

\(\text{y}_{\text{max}} = 145\:-\:20\)

\(\text{y}_{\text{max}} = 125 \text{ m}\)

b. Menentukan posisi peluru pada detik ke-3

Ketinggian peluru:

\(\text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)

\(\text{y} = 105 + 20\cdot 3 \:-\: \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2\)

\(\text{y} = 165 \:-\: 45\)

\(\text{y} = 120 \text{ m}\)

Jarak mendatar:

\(\text{x} = \text{v}_x\cdot \text{t}\)

\(\text{x} = 20\sqrt{3}\cdot 3\)

\(\text{x} = 60\sqrt{3} \text{ m}\)

Jadi posisi peluru pada detik ke-3 berada pada koordinat \((60\sqrt{3}, 120)\) meter

c. Menentukan kecepatan peluru pada detik ke-3

Komponen vektor kecepatannya adalah:

\(\text{v}_x = 20\sqrt{3} \text{ m/s}\)

\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)

\(\text{v}_y = 20 \:-\:10\cdot 3\)

\(\text{v}_y = -10 \text{ m/s}\)

Tanda minus menunjukkan arah kecepatan ke bawah

Besar kecepatan
\(\text{v} = \sqrt{(\text{v}_x)^2 + (\text{v}_y)^2 }\)

\(\text{v} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + (-10)^2 }\)

\(\text{v} = \sqrt{1200 + 100 }\)

\(\text{v} = \sqrt{1300 }\)

\(\text{v} = 10\sqrt{13} \text{ m/s}\)

Arah kecepatan

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{v}_y}{\text{v}_x}\)

\(\tan \alpha = -\dfrac{10}{20\sqrt{3}}\)

\(\tan \alpha = -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \times \color{red} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

\(\tan \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

\(\alpha = \tan^{-1} {\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)}\)

04/09/2022
Matematika IPA 2019
Soal 1

Diketahui persamaan lingkaran \(\text{C}_1\) dan \(\text{C}_2\) berturut-turut adalah \(x^2 + y^2 = 25\) dan \((x-a)^2 + y^2 = r^2\). Lingkaran \(\text{C}_1\) dan \(\text{C}_2\) bersinggungan di titik \((5, 0)\). Jika garis \(l\) adalah garis singgung lingkaran \(\text{C}_1\) di titik \((3, 4)\) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran \(\text{C}_2\) di titik \(\text{ (m, n)}\), nilai \(\text{ m + n} = \dotso\)

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Mencari persamaan garis singgung lingkaran \(\text{C}_1\) di titik \((3, 4)\)

Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 25\) adalah \(x_1\cdot x + y_1\cdot y = 25\). Kemudian substitusikan titik \((3, 4)\) nya.

Persamaan garis singgung di \(\text{C}_1\) adalah \(3x +4y = 25\).

Persamaan garis singgung di \(\text{C}_1\) juga dapat dicari dengan cara lain, yaitu menggunakan rumus persamaan garis yang melalui dua buah titik yaitu titik (3, 4) dan titik (m, n)

\(\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}\)

\(\dfrac{y – 4}{n – 4} = \dfrac{x – 3}{m – 3}\)

\((y – 4)(m – 3) = (n – 4)(x – 3)\)

\(my – 3y – 4m + 12 = nx – 3n – 4x + 12\)

\((m – 3)y – 4m = (n – 4)x – 3n\)

\((m – 3)y – (n – 4)x = 4m – 3n\dotso\dotso (1)\)

\(3x +4y = 25\dotso\dotso (2)\)

Samakan koefisien \(x\) dan \(y\) pada kedua persamaan di atas

\(m – 3 = 4\)

\(m = 7\)

\(-(n – 4) = 3\)

\(-n + 4 = 3\)

\(-n = 3 – 4\)

\(n = 1\)

Jadi nilai \(m + n = 7 + 1 = 8\)

Soal 2

Jika grafik fungsi kuadrat \(f(x) = (a – \sqrt{2})x^2 + (a- \sqrt{2})x + a – 1\) selalu berada di bawah sumbu \(x\) untuk \(a < m\), nilai \(3m = …\)

A. \(4 + \sqrt{2}\)

B. \(3 + \sqrt{2}\)

C. \(3 – \sqrt{2}\)

D. \(4 – \sqrt{2}\)

E. \(-3-\sqrt{2}\)

Pembahasan Antiruwet
Jawaban: D

Karena grafik fungsi selalu berada di bawah sumbu \(x\) maka fungsi tersebut definit negatif artinya fungsinya selalu bernilai negatif.

Syarat definit negatif:
1. a < 0
2. b² − 4ac < 0, (nilai diskriminan negatif)
\(f(x) = (a – \sqrt{2})x^2 + (a- \sqrt{2})x + a – 1\)
- a \(= a – \sqrt{2}\)
- b \(= a – \sqrt{2}\)
- c \(= a – 1\)
Syarat 1: a < 0

\(a – \sqrt{2} < 0\)

\(a < \sqrt{2}\)

Syarat 2: b² − 4ac < 0

\((a – \sqrt{2})^2 – 4(a – \sqrt{2})(a – 1) < 0\)

\(a^2 – 2a\sqrt{2} + 2 -4(a^2 -a-a\sqrt{2} + \sqrt{2}) < 0\)

\(a^2 – 2a\sqrt{2}+ 2 -4a^2 +4a + 4a\sqrt{2} -4\sqrt{2}) < 0\)

\(a^2 -4a^2 – 2a\sqrt{2}+ 4a\sqrt{2} + 4a + 2 -4\sqrt{2} < 0\)

\(-3 a^2 + (2\sqrt{2}+ 4)a + 2 – 4\sqrt{2} < 0\)

\((-3a + 4 – \sqrt{2})(a – \sqrt{2}) < 0\)

\(\text{Pembuat nol:}\)

\(a = \sqrt{2} \text{ atau } a = \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\)

Iris penyelesaian dari syarat 1 dan syarat 2

Penyelesaian: \(a < \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\), sehingga \(m = \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\)

\(3m = 4 – \sqrt{2}\)
Soal 3

Jika \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\) merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut:

\(\begin{cases}4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x \\\\2x=1+5y \end{cases}\)

Nilai \(2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 = \dotso\)

A. −7

B. −6

C. −5

D. −4

E. −3

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Substitusikan \(x = \dfrac{1 + 5y}{2}\) ke dalam persamaan \(4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x\)

\(4(\dfrac{1+5y}{2})^2 + 15y + 3 = 9(\dfrac{1 + 5y}{2})y + 2y^2 + 8(\dfrac{1 + 5y}{2})\)

\(\cancel{4}\cdot\dfrac{(1+5y)^2}{\cancel{4}} + 15y + 3 = 9(\dfrac{1 + 5y}{2})y + 2y^2 + \cancelto{4}{8}(\dfrac{1 + 5y}{\cancelto{1}{2}})\)

\(1 + 10y + 25y^2 + 15y + 3 = \frac{9}{2}(y + 5y^2) + 2y^2 + 4 + 20y\)

\( 25y^2 + 25y + \cancel{4} = \frac{9}{2}(y + 5y^2) + 2y^2 + \cancel{4} + 20y\)

\( 23y^2 + 5y = \frac{9}{2}(y + 5y^2)\)

\( 46y^2 + 10y = 9(y + 5y^2)\)

\( 46y^2 + 10y = 9y + 45y^2\)

\( y^2 + y = 0\)

\(y(y + 1) = 0\)

\(y_1 = 0, \rightarrow x_1 = \dfrac{1 + 5(0)}{2} = \dfrac{1}{2}\)

\(y_2 = -1, \rightarrow x_1 = \dfrac{1 + 5(-1)}{2} = -2\)

\(2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 = 2(\frac{1}{2}) + 0 + 2(-2) – 1 = -4\)

Soal 4

Jika suku banyak \(f(x)\) dibagi oleh \((x – 2)\) menghasilkan sisa \(10\), sisa pembagian suku banyak \(f(x)\) oleh \(x^2 – 3x + 2\) adalah…

A. \(f(1)(2-x) – 10(x – 1)\)

B. \(f(1)(x – 2) + 10(x – 1)\)

C. \(f(1)(x – 2) – 10(x + 1)\)

D. \(f(1)(2-x) + 10(x – 1)\)

E. \(f(1)(2-x) – 10(x + 1)\)

Pembahasan Antiruwet
Jawaban: D

\(f(x)\) dibagi oleh \((x – 2)\) menghasilkan sisa \(10 \rightarrow f(2) = 10\)

Misalkan sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x^2 – 3x + 2\) adalah \(ax+b\)
\(f(x)= \text{pembagi} \times \text{ hasil bagi + sisa}\)
\(f(x) = (x^2 – 3x + 2)\text{H}(x) + (ax+ b)\)

\(f(x) = (x – 2)(x – 1)\text{H}(x) + (ax+ b)\)
- Untuk \(x = 2 \rightarrow f(2) = (2 – 2)(x – 1)\text{H}(2) + (2a+ b)\)
\(f(2) = 2a + b\)

\(10 = 2a + b\dotso\dotso (1)\)
- Untuk \(x = 1 \rightarrow f(1) = (x – 2)(1- 1)\text{H}(1) + (a+ b)\)
\(f(1) = a + b \dotso \dotso (2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh:

\(a = 10 – f(1) \)

\(b = 2f(1) – 10\)

Substitusikan nilai \(a\) dan \(b\) ke dalam persamaan sisa = \(ax+b\)

Sisa = \((10 – f(1))x + 2f(1) – 10\)

Sisa = \(10x – f(1)x + 2f(1) – 10\)

Sisa = \(2f(1)- f(1)x + 2f(1) + 10x – 10\)

Sisa = \(f(1)(2 – x) + 10(x – 1)\)
Soal 5

Penyelesaian dari pertidaksamaan:

\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}} \leqslant x\) adalah…

A. \(x \geqslant \sqrt{5} – 2\)

B. \(x \geqslant \sqrt{5} – 1\)

C. \(x \geqslant \sqrt{5}\)

D. \(x \geqslant \sqrt{5} + 1\)

E. \(x \geqslant \sqrt{5} + 2\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\sqrt{(x + 2)^2}} \leqslant x\:\:\:\:\:\color{blue}\sqrt{a^2} = \lvert a\lvert\)

\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\lvert x + 2 \lvert} \leqslant x\:\:\:\:\:\color{blue}\frac{\lvert a\lvert}{\lvert b\lvert} = \lvert\frac{a}{b}\lvert \)

\(\lvert \dfrac{1 – 2x}{x + 2 }\lvert \leqslant x\)

\(\color{blue}\lvert x \lvert \leqslant a \Leftrightarrow -a \leqslant x \leqslant a\)

\(-x \leqslant \dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2}\geqslant -x \text{ dan } \dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2}\geqslant -x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} + x \geqslant 0\)

\(\dfrac{1 – 2x + x(x + 2)}{x + 2}\geqslant 0\)

\(\dfrac{x^2 + 1}{x + 2} \geqslant 0\)

\(x^2 + 1 \text{ definit positif (selalu bernilai positif)}\)

\(x > -2\dotso\dotso (1)\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} – x \leqslant 0\)

\(\dfrac{1 – 2x – x(x + 2)}{x + 2} \leqslant 0\)

\(\dfrac{1 – 2x – x^2 – 2x}{x + 2} \leqslant 0\)

\(\dfrac{-(x^2 + 4x – 1)}{x + 2} \leqslant 0\)

\(\dfrac{(x^2 + 4x – 1)}{x + 2} \geqslant 0\)

\(\text{Akar-akar } x^2 + 4x – 1 \) adalah \(-2 – \sqrt{5}\) dan \(-2 + \sqrt{5}\)

\(-2 – \sqrt{5} \leqslant x < – 2\text{ atau } x \geqslant -2 + \sqrt{5}\dotso\dotso (2)\)

Irisan penyelesaian (1) dan (2) adalah \(x \geqslant -2 + \sqrt{5}\)

Soal 6

Diberikan deret geometri

\(1-(a + 3) + (a + 3)^2 – (a + 3)^3 + \dotso = 2a + 9\) dengan \(-4 < a < -2\). Jika \(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru, nilai \(2a + b = \dotso\)

A. 7

B. 0

C. −7

D. −14

E. −21

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Langkah 1: Menghitung rasio dari deret geometri

\(r = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1}\)
\(r = \dfrac{-(a + 3)}{1} = -a – 3\)

Langkah 2: Menghitung nilai \(a\)

Nilai \(a\) dapat dihitung dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga

\(s_{\infty} = \dfrac{a}{1 – r}\)

\(2a + 9 = \dfrac{1}{1 – (-a – 3)}\)

\(2a + 9 = \dfrac{1}{a + 4}\)

\((2a + 9)(a + 4) = 1\)

\(2a^2 + 8a + 9a + 36 = 1\)

\(2a^2 + 17a + 35 = 0\)

\((2a + 7)(a + 5) = 0\)

\(2a + 7 = 0 \rightarrow a = -\frac{7}{2}\)

\(a + 5 = 0 \rightarrow a = -5\)

Tidak memenuhi karena -4 < a < -2

Langkah 3: Menghitung nilai \(b\)

\(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru

\(\dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{\text{U}_3}{\text{U}_2}\)

\(\dfrac{-7}{a} = \dfrac{b}{-7}\)

\(\dfrac{-7}{-\frac{7}{2}} = \dfrac{b}{-7}\)

\(\dfrac{2}{1} = \dfrac{b}{-7}\)

\( b = -14\)

Langkah 4: Menghitung nilai \(2a + b\)

\(2a + b = 2(-\frac{7}{2}) + (-14) = -21\)

Soal 7

Jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan:

\(6\cos x – 2\cos x \sin 2x – 4 \cos^2 x + 3\sin 2x – 2\sin x – 2 = 0\) untuk \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi\)

adalah…

A. \(-\frac{\pi}{2}\)

B. \(-\frac{\pi}{3}\)

C. \(0\)

D. \(\frac{\pi}{3}\)

E. \(\frac{\pi}{2}\)

Pembahasan Antiruwet
Jawaban: A
Ubah \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)

\(6\cos x – 2\cos x \sin 2x – 4 \cos^2 x + 3\sin 2x – 2\sin x – 2 = 0\)

\(6\cos x – 2\cos x (2 \sin x \cos x) – 4 \cos^2 x + 3(2 \sin x \cos x)- 2\sin x – 2 = 0\)

\(6\cos x – 4\cos^2 x \sin x – 4 \cos^2 x + 6 \sin x \cos x- 2\sin x – 2 = 0\)

\(- 4\cos^2 x \sin x – 4 \cos^2 x + 6\cos x + 6 \sin x \cos x- 2\sin x – 2 = 0\)

\(- 4\cos^2 x (\sin x + 1) + 6\cos x(\sin x + 1)- 2(\sin x + 1) = 0\)

\((\sin x + 1)(- 4\cos^2 x + 6\cos x – 2) = 0\)

\((\sin x + 1)(- 4\cos x + 2)(\cos x – 1) = 0\)

\(\sin x + 1 = 0 \rightarrow \sin x = -1 \rightarrow x = -\frac{\pi}{2}\)

\(- 4\cos x + 2 = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}\)

\(\cos x – 1 = 0 \rightarrow \cos x = 1 \rightarrow x = 0\)

Jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi =

\(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{2}\)
Soal 8

Jika \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\), maka

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(f(x) – 3)((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{((f(x)^2 +f(x) – 12)(x – 1)}= \dotso\)

A. −4

B. −2

C. −1

D. 0

E. 1

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(f(x) – 3)((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{((f(x)^2 +f(x) – 12)(x – 1)}\)

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(f(x) – 3)}((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{\cancel{(f(x)-3)}(f(x) + 4)(x – 1)}\)

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(3^2 – 4(3) + 1)(x + 5)}{(3 + 4)(x – 1)}\)

\(\dfrac{-2(2 + 5)}{7(2 -1)}\)

\(\dfrac{-14}{7}\)

\(-2\)

Soal 9

Jika \(\int_a^b f'(x)f(x)\:\mathrm{d}x = 10\) dan \(f(a) = 2 + f(b)\), nilai \(f(b) = \dotso\)

A. −2

B. −4

C. −6

D. −8

E. −10

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

$$\bbox[yellow, 5px]{\int [f(x)]^n \:\mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1}\cdot \frac{1}{f'(x)} [f(x)]^{n + 1} + \text{c}}$$

\(\int_a^b f'(x)[f(x)]^1\:\mathrm{d}x = 10\)

\(\left. \cancel{f'(x)}\cdot \dfrac{1}{1 + 1} \cdot \dfrac{1}{\cancel{f'(x)}} \cdot [f(x)]^{1 + 1}\right|_a^b= 10\)

\(\left. \dfrac{1}{2}[f(x)]^2\right|_a^b= 10\)

\(\frac{1}{2}[f(b)]^2 – \frac{1}{2}[f(a)]^2 = 10\)

\([f(b)]^2 – [f(a)]^2 = 20\)

\([f(b)]^2 – [2 + f(b)]^2 = 20\)

\(\cancel{[f(b)]^2} – (4 + 4f(b) + \cancel{[f(b)]^2}) = 20\)

\(-4 – 4f(b) = 20\)

\(-4f(b) = 24\)

\(f(b) = -\dfrac{24}{4}\)

\(f(b) = -6\)

Soal 10

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Titik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah dari EH, FG, AD, dan BC. Jika bidang PQRS dan ACH berpotongan di garis MN, perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus adalah…

A. \(\sqrt{3} : 16\)

B. \(\sqrt{3} : 18\)

C. \(\sqrt{3} : 24\)

D. \(\sqrt{3} : 48\)

E. \(\sqrt{3} : 50\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Segitiga AMN adalah segitiga sama sisi, karena panjang AM dan AN adalah setengah panjang diagonal bidang kubus = \(\sqrt{2}\)

Sedangkan MN dapat dicari menggunakan pythagoras dari segitiga siku-siku MRN

\(\text{MN}^2 = \text{RN}^2 + \text{RM}^2\)

\(\text{MN}^2 = 1^2 + 1^2\)

\(\text{MN} = \sqrt{2}\)

Perhatikan segitiga AMN,

Tinggi segitiga AMN dapat dicari menggunakan rumus pythagoras

\(\text{MO}^2 + t^2 = \text{AM}^2\)

\((\frac{1}{2}\sqrt{2})^2 + t^2 = (\sqrt{2})^2\)

\(\frac{1}{2} + t^2 = 2\)

\( t^2 = 2 – \frac{1}{2}\)

\( t^2 = \frac{3}{2}\)

\(t = \sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(t = \frac{1}{2}\sqrt{6}\)

\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{2}\cdot \text{MN}\cdot t\)

\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{6}\)

\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{4}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\)

\(\text{Luas permukaan kubus} = 6\cdot r^2\)

\(\text{Luas permukaan kubus} = 6\cdot 2^2 = 24\)

Perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus = \(\frac{1}{2}\sqrt{3} : 24 = \sqrt{3} : 48\)

Soal 11

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Titik P adalah titik tengah rusuk AB. Jika titik Q adalah titik perpotongan BE dan PF, jarak antara titik Q dan titik C adalah…

A. \(4\sqrt{11}\)

B. \(3\sqrt{11}\)

C. \(2\sqrt{11}\)

D. \(\sqrt{11}\)

E. \(\frac{1}{2}\sqrt{11}\)

Pembahasan Antruwet

Jawaban: C

Langkah 1: Perhatikan kesebangunan antara segitiga PBQ dengan segitiga FEQ

\(\dfrac{\text{PB}}{\text{FE}} = \dfrac{\text{BQ}}{\text{EQ}}\)

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{BQ}}{\text{EQ}}\)

\(\text{BQ} : \text{EQ} = 1 : 2\)

\(\text{BQ} = \dfrac{1}{1 + 2}\cdot \text{BE}\)

\(\text{BQ} = \dfrac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)

Langkah 2: Perhatikan segitiga siku-siku QBC

Panjang CQ dapat dihitung dengan rumus pythagoras

\(\text{BQ}^2 + \text{BC}^2 = \text{CQ}^2\)

\((2\sqrt{2})^2 + 6^2 = \text{CQ}^2\)

\(8 + 36 = \text{CQ}^2\)

\(44 = \text{CQ}^2\)

\(\text{CQ} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}\text{ cm}\)

Soal 12

Diketahui \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 – 5x + c = 0, a \neq 0\). Jika \(p, q, \dfrac{1}{8pq}\) membentuk barisan geometri dan \(^a\log 18 + ^a\log p = 1\), nilai \(a + c = \dotso\)

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. 3

D. 5

E. 7

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Langkah 1: Menyelesaikan persamaan logaritma

\(^a\log 18 + ^a\log p = 1\)

\(^a\log 18p = 1\)

\(18p = a\)

\(p = \dfrac{a}{18}\)

Langkah 2: Menghitung nilai \(q\)

\(p, q, \dfrac{1}{8pq}\) membentuk barisan geometri

\(\dfrac{q}{p} = \dfrac{\frac{1}{8pq}}{q}\)

\(q^2 = \dfrac{\cancel{p}}{8\cancel{p}q}\)

\(q^3 = \dfrac{1}{8}\)

\(q = \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2}\)

Langkah 3: Menyelesaikan persamaan kuadrat

\(ax^2 – 5x + c = 0\) memiliki akar-akar \(p\) dan \(q\)

\(p + q = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{5}{a}\)

\(\dfrac{a}{18} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{a}\)

\(\dfrac{a + 9}{18} = \dfrac{5}{a}\)

\(a^2 + 9a = 90\)

\(a^2 + 9a – 90 = 0\)
\((a + 15)(a – 6) = 0\)

\(a = -15 \:\:\:\color{red} \text{ tidak memenuhi}\)
\(a = 6 \:\:\:\color{blue}\text{ memenuhi}\)

Karena \(q = \dfrac{1}{2}\) adalah akar dari persamaan kuadrat \(6x^2 – 5x + c = 0\) maka:

\(6(\dfrac{1}{2})^2 – 5(\dfrac{1}{2}) + c = 0\)

\(\dfrac{3}{2} – \dfrac{5}{2} + c = 0\)

\(-1 + c = 0\)

\(c = 1\)

\(a + c = 6 + 1 = 7\)

Soal 13

Diketahui vektor

\(\text{u} = (1, 0, 2), \text{v} = (-1, 2, 0), \text{w} = (3, 1, 1),\text {dan } \text{x} = (6, -1, 5)\). Jika \(\text{x} = k\text{u} + l\text{v} + m\text{w}\) dan \(\text{y} = (k + l)\text{u}\)

maka…

(1) \(k + l + m = 2\)

(2) cosinus sudut antara u dan v adalah \(-\frac{1}{5}\)

(3) \(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = 4\)

(4) \(|\text{y}| = |\text{u}|\), tetapi y berlawanan arah dengan u

Pembahasan Antiruwet

Membuktikan pernyataan ke-1

\(\text{x} = k\text{u} + l\text{v} + m\text{w}\)

\(\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right) = k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right) + l\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+ m\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}k-l+3m\\ 0+2l+m\\ 2k+0+m\end{array}\right)\)

\(\begin{cases}k-l+3m=6 & \dotso(1)\\\\2l+m = -1 & \dotso (2)\\\\2k+m = 5&\dotso (3)\end{cases}\)

Eliminasi ketiga persamaan di atas untuk mendapatkan nilai \(m = 1, l = -1, \text{ dan } k = 2\)

\(k + l + m = 2 – 1 + 1 = 2\)

Pernyataan ke-1 benar

Membuktikan pernyataan ke-2

\(\cos \theta = \dfrac{\text{u}\cdot \text{v}}{|\text{u}|\cdot |\text{v}|}\)

\(\cos \theta = \dfrac{\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2 \\ 0\end{array}\right)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2}\cdot \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2}}\)

\(\cos \theta = \dfrac{-1 + 0 + 0}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\)
\(\cos \theta = \dfrac{1}{5}\)

Pernyataan ke-2 benar

Membuktikan pernyataan ke-3

\(\text{y} = (k + l)\text{u}\)

\(\text{y} =(2-1)\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 2\end{array}\right)\)

\(\text{y} = \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 2\end{array}\right)\)

\(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = \sqrt{\left(\begin{array}{c}6\\-1\\5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\2\end{array}\right)}=\sqrt{6 + 0 + 10}\)

\(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = \sqrt{16} = 4\)

Pernyataan ke-3 benar

Membuktikan pernyataan ke-4

\(|\text{y}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)

\(|\text{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)

\(\text{Jadi, } |\text{y}| = |\text{u}|\)

y dan u adalah vektor yang sama, sehingga besar dan arahnya sama

Pernyataan ke-4 salah

Soal 14

Jika \(\sin 3^{\circ} = a\), maka…

(1) \(\sin 3^{\circ} – 2 \sin 63^{\circ} = \sqrt{3 – 3a^2}\)

(2) \(2\sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = 2a + \sqrt{3 – 3a^2}\)

(3) \(3 \sin 3^{\circ} – 2\sin 63^{\circ} = a – \sqrt{3 – 3a^2}\)

(4) \(2 \sin 3^{\circ} – 4\sin 63^{\circ} = -2\sqrt{3 – 3a^2}\)

Pembahasan Antiruwet

$$\bbox[yellow, 5px]{\sin (a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b}$$

\( \sin 63^{\circ} = \sin (60^{\circ} + 3^{\circ}) = \sin 60^{\circ}\cdot \cos 3^{\circ} + \cos 60^{\circ}\cdot \sin 3^{\circ}\)

\( \sin 63^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \sqrt{1- a^2} + \frac{1}{2}\cdot a\)

\( \sin 63^{\circ} = \frac{1}{2}(\sqrt{3 – 3a^2} + a)\)

Membuktikan pernyataan ke-1

\(\sin 3^{\circ} – 2 \sin 63^{\circ} = a – \cancel{2}\cdot\frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) \neq \sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-1 salah

Membuktikan pernyataan ke-2

\(2\sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = \cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) + a = 2a + \sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-2 benar

Membuktikan pernyataan ke-3

\(3 \sin 3^{\circ} – 2\sin 63^{\circ} = 3a – \cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) \neq a – \sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-3 salah

Membuktikan pernyataan ke-4

\(2 \sin 3^{\circ} – 4\sin 63^{\circ} = 2a – \cancelto{2}{4}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) = -2\sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-4 benar

Soal 15

Jika \(f(x) = 2x – 3x^{\frac{2}{3}}\) dengan \(x \in[-1, 3]\) maka…

(1) nilai minimum \(f\) adalah \(-5\)

(2) nilai minimum \(f\) terjadi saat \(x = -1\)

(3) \(f\) naik pada interval (-1,0) atau (1,3)

(4) \(f\) turun pada interval (0, 1)

Pembahasan Antiruwet

Membuktikan pernyataan ke-1

Titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)

\(2- 3\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} – 1} = 0\)

\(2 – 2x^{-\frac{1}{3}} = 0\)

\(2(1-x^{-\frac{1}{3}}) = 0\)

\(1 = x^{-\frac{1}{3}}\)
\(x = 1\)

\(f(1) = 2(1) – 3(1)^{\frac{2}{3}} = -1\)

cek juga nilai ujung-ujung interval [-1, 3]

\(f(-1) = 2(-1) – 3(-1)^{\frac{2}{3}} = -5\:\:\:\color{blue}\text{ nilai minimum}\)

\(f(3) = 2(3) – 3(3)^{\frac{2}{3}} = 6 – 3(3)^{\frac{2}{3}}\)

Pernyataan ke-1 benar

Membuktikan pernyataan ke-2

Nilai minimum \(f\) terjadi saat \(x = -1\)

Pernyataan ke-2 benar

Membuktikan pernyataan ke-3

\(f\) naik jika \(f'(x) > 0\)

\(2 – 2x^{-\frac{1}{3}} > 0\)

\(2(1-x^{-\frac{1}{3}}) > 0\)

\(1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}>0\)

\(\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}>0\)

Karena \(x \in[-1, 3]\) maka \(f\) naik pada interval [-1,0) atau (1, 3].

Sehingga, pada interval (-1,0) atau (1, 3) fungsi \(f\) juga naik

Pernyataan ke-3 benar

Membuktikan pernyataan ke-4

\(f\) turun jika \(f'(x) < 0\)

\(f\) turun pada interval (0, 1)

Pernyataan ke-4 benar
03/09/2022
Matematika IPA 2018

Soal 1

Diketahui suku banyak f(x) dibagi x² + x − 2 bersisa ax + b dan dibagi x² − 4x + 3 bersisa 2bx + a − 1. Jika f(−2) = 7, maka a² + b² = …

(A) 12

(B) 10

(C) 9

(D) 8

(E) 5

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(f(x) = (x^2 + x \:-\:2)\cdot \text{H(x)} + ax + b\)

\(f(x) = (x + 2)(x\:-\:1)\cdot \text{H(x)} + ax + b\)

\(f(-2) = 0 + -2a + b \)

\(7 = -2a + b\dotso\dotso \color{blue} (1)\)

\(f(1) = a + b\dotso\dotso \color{blue} (2)\)

\(f(x) = (x^2 \:-\:4x + 3)\cdot \text{H(x)} + 2bx + a \:-\:1\)

\(f(x) = (x \:-\: 3)(x\:-\:1)\cdot \text{H(x)} + 2bx + a \:-\:1\)

\(f(1) = 0 + 2b + a \:-\:1\)

\(f(1) = 2b + a \:-\:1\dotso\dotso \color{blue} (3)\)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3)

\(a + b = 2b + a \:-\:1\)

\(b = 1\)

Substitusikan nilai \(b = 1\) ke persamaan (1)

\(7 = -2a + b\)

\(7 = -2a + 1\)

\(-2a = 6\)

\(a = -3\)

\(a^2 + b^2 = (-3)^2 + 1^2\)

\(a^2 + b^2 = 9 + 1\)

\(a^2 + b^2 = 10\)

Soal 2

Jika b > a, nilai x yang memenuhi |x − 2a| + a ≤ b adalah…

(A) 3a ≤ x ≤ 2b + a

(B) x ≥ −b + 3a

(C) x ≤ b + a

(D) b − 3a ≤ x ≤ −b + a

(E) −b + 3a ≤ x ≤ b + a

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(|x \:-\:2a| \leq b \:-\:a\)

\(-(b\:-\:a) \leq x \:-\:2a \leq b \:-\:a\)

\(-b + a + 2a \leq x \leq b \:-\:a + 2a\)

\(-b + 3a \leq x \leq b + a\)

Soal 3

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) memenuhi persamaan \(2 \sin^2 x \:-\:\cos x = 1\), \(0 \leq x \leq \pi\), nilai \(x_1 + x_2\) adalah…

(A) \(\dfrac{\pi}{3}\)

(B) \(\dfrac{2\pi}{3}\)

(C) \(\pi\)

(D) \(\dfrac{4\pi}{3}\)

(E) \(2\pi\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(2 \sin^2 x \:-\:\cos x = 1\)

\(2(1\:-\:\cos^2x \:-\:\cos x \:-\: 1 = 0\)

\(2 \:-\:2\cos^2x \:-\:\cos x \:-\:1 = 0\)

\(-2\cos^2x \:-\:\cos x + 1 = 0\)

\(2\cos^2x + \cos x \:-\: 1 = 0\)

\((2\cos x \:-\: 1)(\cos x + 1) = 0\)

\(2\cos x \:-\: 1 = 0\)

\(\cos x = \dfrac{1}{2}\)

\(x_1 = \dfrac{\pi}{3}\)

\(\cos x + 1 = 0\)

\(\cos x = -1\)

\(x_2 = \pi\)

\(x_1 + x_2 = \dfrac{\pi}{3} + \pi\)

\(x_1 + x_2 = \dfrac{4\pi}{3}\)

Soal 4

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9} \dfrac{\sqrt{x}\:-\:\sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}{x^2 \:-\:81}= \dotso\)

(A) \(\dfrac{1}{18}\)

(B) \(\dfrac{1}{48}\)

(C) \(\dfrac{1}{124}\)

(D) \(\dfrac{1}{324}\)

(E) \(\dfrac{1}{400}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9} \dfrac{\sqrt{x}\:-\:\sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}{x^2 \:-\:81}\times \color{blue} \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}{\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {x \:-\: (4\sqrt{x}\:-\:3)}{(x + 9)(x\:-\:9)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {x \:-\: 4\sqrt{x} + 3}{(x + 9)((\sqrt{x})^2\:-\:3^2)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {(\sqrt{x}\:-\:3)(\sqrt{x} \:-\:1)}{(x + 9)((\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x}\:-\:3)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {\cancel{(\sqrt{x}\:-\:3)}(\sqrt{x} \:-\:1)}{(x + 9)((\sqrt{x} + 3)\cancel{(\sqrt{x}\:-\:3)}(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {\sqrt{x} \:-\:1}{(x + 9)(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\dfrac {\sqrt{9} \:-\:1}{(9 + 9)(\sqrt{9} + 3)(\sqrt{9} + \sqrt{4\sqrt{9}\:-\:3})}\)

\(\dfrac {3 \:-\:1}{18(3+ 3)(3 + \sqrt{12\:-\:3})}\)

\(\dfrac {2}{18(6)(3 + 3)}\)

\(\dfrac {2}{18(6)(6)}\)

\(\dfrac {2}{648}\)

\(\dfrac {1}{324}\)

Soal 5

Jika \(\int_{-2}^{0} \left(\cos (-\pi k x) + \dfrac{6x^2\:-\:10x + 7}{k + 2}\right) \text{d}x = (k\:-\:2)(k + 7)\) untuk nilai \(k\) bilangan bulat, maka \(k + 5 = \dotso\)

(A) 10

(B) 9

(C) 8

(D) 7

(E) 6

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Langkah 1: Menghitung integral

\(\int_{-2}^{0} \left(\cos (-\pi k x) \text{d}x + \int_{-2}^{0}\dfrac{6x^2\:-\:10x + 7}{k + 2}\right) \text{d}x\)

\(\int_{-2}^{0} \cos (-\pi k x) \text{d}x + \dfrac{1}{k + 2}\int_{-2}^{0} 6x^2\:-\:10x + 7 \text{d}x\)

\(\left.-\pi x \sin (-\pi k x)\right|_{-2}^0 + \dfrac{1}{k + 2} \left. 2x^3\:-\:5x^2 + 7x\right|_{-2}^0\)

\(0 + \dfrac{1}{k + 2} (0\:-\: (2(-2)^3\:-\:5(-2)^2 + 7(-2))\)

\(\dfrac{1}{k + 2} (0\:-\: (-16\:-\:20 \:-\:14)\)

\(\dfrac{1}{k + 2} (0\:-\: (-50)\)

\(\dfrac{50}{k + 2}\)

Langkah 2: Menghitung nilai k

\(\dfrac{50}{k + 2} = (k\:-\:2)(k + 7)\)

\(50 = (k\:-\:2)(k + 2)(k + 7)\)

\(k = 3\)

\(k + 5 = 3 + 5\)

\(k + 5 = 8\)

Soal 6

Pada balok ABCD.EFGH, dengan AB = 6, BC = 3, dan CG = 2, titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Jika 3EM = EH, FN = 2NG, 3DO = 2DA, dan α adalah bidang irisan balok yang melalui M, N, O, perbandingan luas bidang α dengan luas permukaan balok adalah…

(A) \(\dfrac{\sqrt{35}}{36}\)

(B) \(\dfrac{\sqrt{37}}{36}\)

(C) \(\dfrac{\sqrt{38}}{36}\)

(D) \(\dfrac{\sqrt{39}}{36}\)

(E) \(\dfrac{\sqrt{41}}{36}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Bidang \(\alpha\) = bidang MOPN

Langkah 1: Menghitung panjang OP

\(\text{OP}^2 = \text{OR}^2 + \text{RP}^2\)

\(\text{OP}^2 = 6^2 + 1^2\)

\(\text{OP}^2 = 37\)

\(\text{OP} = \sqrt{37}\)

Langkah 2: Menghitung luas bidang α

\(\text{Luas} = \text{OP} \times \text{PN}\)

\(\text{Luas} = \sqrt{37}\times 2\)

\(\text{Luas} = 2\sqrt{37}\)

Langkah 3: Menghitung luas permukaan balok

\(\text{LP} = 2(pl + pt + lt)\)

\(\text{LP} = 2(6(3) + 6(2) + 3(2))\)

\(\text{LP} = 2(18 + 12 + 6)\)

\(\text{LP} = 2(36)\)

\(\text{LP} = 72\)

Langkah 4: Menghitung perbandingan luas bidang α dengan luas permukaan balok

Perbandingan luas bidang α dengan luas permukaan balok adalah:

\(2\sqrt{37} : 72\)

\(\sqrt{37} : 36\)

Soal 7

Jika θ adalah sudut antara bidang BEG dan DEG pada kubus ABCD.EFGH, maka \(\sin 2 \theta = \dotso\)

(A) \(\dfrac{\sqrt{2}}{9}\)

(B) \(\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\)

(C) \(\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)

(D) \(\dfrac{5\sqrt{2}}{9}\)

(E) \(0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Sudut yang dibentuk antara bidang BEG dengan bidang DEG adalah sudut DTB (θ).

Langkah 1: Menghitung panjang BT

\(\text{BT}^2 = \text{BF}^2 + \text{FT}^2\)

\(\text{BT}^2 = 1^2 + (\frac{1}{2}\sqrt{2})^2\)

\(\text{BT}^2 = 1 + \frac{1}{2}\)

\(\text{BT} = \sqrt{\frac{3}{2}}\)

Langkah 2: Menghitung cos θ

\(\text{DB}^2 = \text{TB}^2 + \text{TD}^2 \:-\:2\cdot\text{TB}\cdot\text{TD}\cos \theta\)

\((\sqrt{2})^2 = \left(\sqrt\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\sqrt\frac{3}{2}\right)^2 \:-\:2\cdot \sqrt\frac{3}{2} \cdot \sqrt\frac{3}{2}\cos \theta\)

\(2 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \:-\:2\cdot \frac{3}{2}\cos \theta\)

\(2 \:-\:\frac{3}{2} \:-\: \frac{3}{2} = – 3\cos \theta\)

\(-1 = – 3\cos \theta\)

\(\cos \theta = \frac{1}{3}\)

Langkah 2: Menghitung sin 2θ

\(\cos \theta = \frac{1}{3}\)

\(\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\color{blue} \sin 2\theta = 2\sin \theta \cdot \cos \theta\)

\(\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3}\)

\(\sin 2\theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}\)

Soal 8

Jika \(3^x + 5^y = 18\), nilai maksimum \(3^x\cdot 5^y\) adalah…

(A) 72

(B) 80

(C) 81

(D) 86

(E) 88

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(3^x + 5^y = 18\)

\(5^y = 18 \:-\:3^x\)

\(\text{L} = 3^x\cdot 5^y\)

\(\text{L} = 3^x(18 \:-\:3^x)\)

\(\text{L} = 18\cdot 3^x \:-\: (3^x)^2\)

Misal \(3^x = p\)

\(\text{L} = 18p \:-\: p^2\)

Agar L maksimum maka L’ = 0

\(18\:-\:2p = 0\)

\(-2p = -18\)

\(p = 9\)

\(3^x = 9\)

\(x = 2\)

\(5^y = 18 \:-\:3^2\)

\(5^y = 9\)

\(y = \:^5 \log 9\)

\(\text{L}_{\text{max}} = 3^2\cdot 5^{^5 \log 9}\)

\(\text{note:} \color{blue} a^{^a\log b} = b\)

\(\text{L}_{\text{max}} = 9\cdot 9\)

\(\text{L}_{\text{max}} = 81\)

Soal 9

Diketahui \(sx\:-\:y = 0\) adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu-x. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-x dan titik pusatnya dilalui garis \(x = -2\), nilai \(3s\) adalah…

(A) \(\dfrac{1}{6}\)

(B) \(\dfrac{4}{3}\)

(C) \(3\)

(D) \(4\)

(E) \(6\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Karena pusat lingkaran dilalui garis x = −2, berjarak 1 satuan ke sumbu-x, dan terletak di kuadran III, maka pusat lingkaran berada di titik (−2, −1) dan jari-jari lingkarannya adalah 1.

Jarak pusat lingkaran (−2, −1) ke garis singgung \(sx\:-\:y = 0\) sama dengan jari-jari lingkaran.

\(r = \left|\dfrac{sx\:-\:y}{\sqrt{s^2 + (-1)^2}}\right|\)

\(1 = \left|\dfrac{-2s + 1}{\sqrt{s^2 + 1}}\right|\)

kuadratkan kedua ruas,

\(1 = \dfrac{4s^2 \:-\: 4s + 1}{s^2 + 1}\)

Kali silang,

\(s^2 + 1 = 4s^2 \:-\: 4s + 1\)

\(0 = 3s^2 \:-\: 4s\)

\(0 = s(3s \:-\: 4)\)

\(s = 0 \text{ atau } s = \frac{4}{3}\)

\(3s = 3\cdot \frac{4}{3}\)

\(3s = 4\)

Soal 10

Jika kurva \(y = (a\:-\:2)x^2 + \sqrt{3}(1\:-\:a)x + (a\:-\:2)\) selalu berada di atas sumbu-x, bilangan bulat terkecil \(a\:-\:2\) yang memenuhi adalah…

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Kurva selalu berada di atas sumbu-x, maka fungsi tersebut definit positif (selalu bernilai positif)

Syarat fungsi definit positif:

(1) \(\color{blue} a > 0\)

(2) \(\color{blue} b^2 \:-\:4ac < 0\)

Langkah 1

\(a\:-\:2 > 0\)

\(a > 2\)

Langkah 2

\(b^2 \:-\:4ac < 0\)

\((\sqrt{3}(1\:-\:a))^2 \:-\:4(a\:-\:2)(a\:-\:2) < 0\)

\(3(1 \:-\:2a + a^2) \:-\:4(a^2\:-\:4a + 4) < 0\)

\(3 \:-\:6a + 3a^2 \:-\:4a^2 + 16a \:-\:16 < 0\)

\(-a^2 + 10a \:-\:13 < 0\)

pembuat nol:

\(x_1 = 5\:-\:2\sqrt{3}\)

\(x_2 = 5 + 2\sqrt{3}\)

Langkah 3

Irisan dari solusi langkah 1 dan 2 adalah:

\(\lbrace x | x > 5 + 2\sqrt{3}, \: x \in R \rbrace\)

\(\lbrace x | x > 8,46, \: x \in R \rbrace\)

Bilangan bulat terkecil \(a\) yang memenuhi adalah 9

\(a\:-\:2 = 9\:-\:2\)

\(a\:-\:2 = 7\)

Soal 11

Jika diberikan \(\sqrt{3}a + b \:-\:c = 2\), \(bc = -1,5a^2\), dan \(b^2 + c^2 = \sqrt{3}a\), nilai \(a\) adalah…

(A) \(\dfrac{2\sqrt{3}}{15}\)

(B) \(\dfrac{4\sqrt{3}}{15}\)

(C) \(\dfrac{7\sqrt{3}}{15}\)

(D) \(\dfrac{8\sqrt{3}}{15}\)

(E) \(\dfrac{11\sqrt{3}}{15}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\sqrt{3}a + b \:-\:c = 2\)

\(b \:-\:c = 2\:-\:\sqrt{3}a\)

Kuadratkan kedua ruas,

\((b \:-\:c)^2 = (2\:-\:\sqrt{3}a)^2\)

\(b^2 \:-\:2bc + c^2 = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + 3a^2\)

\(b^2 + c^2 \:-\:2bc = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + 3a^2\)

\(\sqrt{3}a\:-\:2(-1,5a^2) = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + 3a^2\)

\(\sqrt{3}a + \cancel{3a^2} = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + \cancel{3a^2}\)

\(5\sqrt{3}a = 4\)

\(a = \dfrac{4}{5\sqrt{3}}\)

\(a = \dfrac{4}{5\sqrt{3}} \times \color{blue} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

\(a = \dfrac{4\sqrt{3}}{15}\)

Soal 12

Diketahui sebuah barisan \(0, \dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{36}, \dfrac{35}{216}, \dotso\). Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah…

(A) \(\dfrac{1}{2^{11}}\:-\:\dfrac{1}{3^{11}}\)

(B) \(\dfrac{1}{2^{11}}\:-\:\dfrac{2}{3^{11}}\)

(C) \(\dfrac{3}{2^{11}}\:-\:\dfrac{1}{3^{11}}\)

(D) \(\dfrac{1}{2^{11}} + \dfrac{1}{3^{11}}\)

(E) \(\dfrac{2}{2^{11}} + \dfrac{3}{3^{11}}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(\text{U}_1 = 0 = \dfrac{1}{2^0}\:-\:\dfrac{1}{3^0} = \dfrac{1}{2^{1\:-\:1}} + (-1)^1\cdot \dfrac{1}{3^{1\:-\:1}}\)

\(\text{U}_2 = \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{3^1} = \dfrac{1}{2^{2\:-\:1}} + (-1)^2\cdot \dfrac{1}{3^{2\:-\:1}}\)

\(\text{U}_3 = \dfrac{5}{36} = \dfrac{1}{2^2}\:-\:\dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{2^{3\:-\:1}} + (-1)^3\cdot \dfrac{1}{3^{3\:-\:1}}\)

\(\text{U}_4 = \dfrac{35}{216} = \dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{2^{4\:-\:1}} + (-1)^4\cdot \dfrac{1}{3^{4\:-\:1}}\)

\(\dotso\)

\(\text{U}_n = \dfrac{1}{2^{n\:-\:1}} + (-1)^n \cdot \dfrac{1}{3^{n\:-\:1}}\)

\(\text{U}_{12} = \dfrac{1}{2^{12\:-\:1}} + (-1)^{12} \cdot \dfrac{1}{3^{12\:-\:1}}\)

\(\text{U}_{12} = \dfrac{1}{2^{11}} + \dfrac{1}{3^{11}}\)

Soal 13

Jika vektor \(\textbf{a} = (3, -2, -5)\), \(\textbf{b} = (1, 4, -4)\), dan \(\textbf{c} = (0, 3, 2)\), maka…

(1) \(\textbf{a, b, c}\) membentuk jajargenjang

(2) \(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = (\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a}\)

(3) Volume jajargenjang = 49

(4) \(\textbf{a} \times \textbf{b} = -(\textbf{b} \times \textbf{a})\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(\textbf{b} \times \textbf{c} = \begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\1 & 4 & -4\\0 & 3 & 2\end{vmatrix}\)

\(\textbf{b} \times \textbf{c} =\begin{vmatrix}4 & -4\\ 3 & 2\end{vmatrix}\textbf{i}\:-\:\begin{vmatrix}1 & 0\\ -4 & 2\end{vmatrix}\textbf{j} + \begin{vmatrix}1 & 4\\ 0 & 3\end{vmatrix}\textbf{k}\)

\(\textbf{b} \times \textbf{c} =(4\cdot 2\:-\:(-4)\cdot 3)\textbf{i}\:-\:(1\cdot 2\:-\:(-4)\cdot 0)\textbf{j} + (1\cdot 3\:-\:4\cdot 0)\textbf{k}\)

\(\textbf{b} \times \textbf{c} =20\textbf{i}\:-\:2\textbf{j} + 3\textbf{k}\)

\(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = (3, -2, -5) \cdot (20, -2, 3)\)

\(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = 3(20) + (-2)(-2) + (-5)(3)\)

\(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = 60 + 4 \:-\:15 = 49\)

\((\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a} = (20, -2, 3) \cdot (3, -2, -5)\)

\((\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a} = 20(3) + (-2)(-2) + 3(-5)\)

\((\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a} = 60 + 4 \:-\:15 = 49\)

Pernyataan (2) benar

Pernyataan (4) benar

\(\textbf{a} \times \textbf{b} = -(\textbf{b} \times \textbf{a})\)

Jadi, pernyataan (2) dan (4) benar

Soal 14

Jika \(f(x) = (2x\:-\:3)^7\:-\:(2x\:-\:3)^5 + (2x\:-\:3)^3\), maka…

(1) \(f\) selalu naik pada R

(2) \(f\) tidak pernah turun

(3) \(f\) tidak memiliki maksimum relatif

(4) \(f\) minimum relatif pada \(x = \dfrac{3}{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(f(x) = (2x\:-\:3)^7\:-\:(2x\:-\:3)^5 + (2x\:-\:3)^3\)

Menentukan titik stasioner, \(f'(x) = 0\)

\(f'(x) = 7(2)(2x\:-\:3)^6\:-\:5(2)(2x\:-\:3)^4 + 3(2)(2x\:-\:3)^2\)

\(0 = 14(2x\:-\:3)^6\:-\:10(2x\:-\:3)^4 + 6(2x\:-\:3)^2\)

\(0 = 2(2x\:-\:3)^2(7(2x\:-\:3)^4\:-\:5(2x\:-\:3)^2 + 3)\)

Hanya terdapat satu buah titik stasioner di \(x = \dfrac{3}{2}\)

(1) \(f\) selalu naik pada R (benar)

(2) \(f\) tidak pernah turun (benar)

(3) \(f\) tidak memiliki maksimum relatif (benar)

(4) \(f\) minimum relatif pada \(x = \dfrac{3}{2}\) (salah) harusnya titik belok

Soal 15

Jika \(\alpha = \dfrac{\pi}{12}\), maka…

(1) \(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = \dfrac{7}{8}\)

(2) \(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = \dfrac{11}{16}\)

(3) \(\cos^4\alpha = \dfrac{7}{16}\:-\:\dfrac{1}{4}\sqrt{3}\)

(4) \(\sin^4 \alpha = \dfrac{3}{8} \:-\:\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\color{blue}\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6}\:-\:\sqrt{2}}{4}\)

\(\color{blue}\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

\(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha\)

\((\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2\)

\((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2\:-\:2\sin^2 \alpha\cdot \cos^2\alpha\)

\(1^2\:-\:2(\sin\alpha\cdot \cos\alpha)^2\)

\(1\:-\:2\left[ \left(\dfrac{\sqrt{6}\:-\:\sqrt{2}}{4}\right)\left(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)\right]^2\)

\(1\:-\:2\left[ \dfrac{6\:-\:2}{16}\right]^2\)

\(1\:-\:2\left[ \dfrac{1}{4}\right]^2\)

\(1\:-\:\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{7}{8}\)

Pernyataan 1 benar

\(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha\)

\((\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3\)

\((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha \:-\:\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)\)

\(1\cdot (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \:-\: (\sin\alpha \cos\alpha)^2)\)

\(\dfrac{7}{8} \:-\:\left (\dfrac{1}{4}\right)^2\)

\(\dfrac{14}{16} \:-\: \dfrac{1}{16}\)

\(\dfrac{13}{16}\)

Pernyataan 2 salah

\(\cos^4\alpha = \left(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^4\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{36 + 4\cdot 6\sqrt{6}\cdot \sqrt{2} + 6\cdot 6 \cdot 2 + 4\cdot \sqrt{6}\cdot 2\sqrt{2} + 4}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{36 + 24\sqrt{12} + 72 + 8\sqrt{12} + 4}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{112 + 32\sqrt{12}}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{112 + 64\sqrt{3}}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{112}{256} + \dfrac{64\sqrt{3}}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{7}{16}\:-\:\dfrac{1}{4}\sqrt{3}\)

Pernyataan 3 benar

03/09/2022
Matematika IPA 2017

Soal 1

Jika lingkaran \(x^2 + y^2\:-\:2ax + b = 0\) berjari-jari 2 menyinggung garis \(x \:-\:y = 0\), maka jumlah kuadrat semua nilai \(a\) yang mungkin adalah…

(A) 2

(B) 8

(C) 12

(D) 16

(E) 18

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Jarak titik pusat \((a, 0)\) ke garis singgung \(x\:-\:y = 0\) sama dengan jari-jari lingkaran.

Ingat rumus jarak titik \((x_1, y_1)\) ke garis \(ax + by + c = 0\)

\(\color{blue} r = \left|\dfrac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right|\)

\(2 = \left|\dfrac{x\:-\:y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\right|\)

\(2 = \left|\dfrac{a\:-\:0}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\right|\)

\(2 = \left|\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right|\)

Kemungkinan 1:

\(-\dfrac{a}{\sqrt{2}} = 2\)

\(\dfrac{a}{\sqrt{2}} = -2\)

\(a_1 = -2\sqrt{2}\)

Kemungkinan 2:

\(\dfrac{a}{\sqrt{2}} = 2\)

\(a_2 = 2\sqrt{2}\)

Jumlah kuadrat semua nilai \(a\) yang mungkin:

\(a^2_1 + a^2_2 = (-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2\)

\(a^2_1 + a^2_2 = 8 + 8\)

\(a^2_1 + a^2_2 = 16\)

Soal 2

Jika \(6x^2\:-\:6px + 14p\:-\:2 = 0\) memiliki akar \(u\) dan \(v\) tidak bulat dengan \(u, v \geq 1\), maka nilai \(|u \:-\:v|\) adalah…

(A) 14

(B) 15

(C) 16

(D) 17

(E) 18

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: semua benar

Karena \(u, v \geq 1\) dengan \(u\) dan \(v\) bukan bilangan bulat, maka:

Jumlah kedua akar akan lebih besar dari 2

\(u + v > 2\)

\(-\dfrac{b}{a} > 2\)

\(-\dfrac{-6p}{6} > 2\)

\(p > 2\)

Hasil kali kedua akar akan lebih besar dari 1

\(u v > 1\)

\(\dfrac{c}{a} > 1\)

\(\dfrac{14p\:-\:2}{6} > 1\)

\(\dfrac{14p\:-\:2}{6} \:-\:\dfrac{6}{6}> 0\)

\(\dfrac{14p\:-\:8}{6}> 0\)

\(14p \:-\:8 > 0\)

\(p > \dfrac{8}{14}\)

\(p > \dfrac{4}{7}\)

\(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{b^2\:-\:4ac}}{a}\)

\(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{(-6p)^2\:-\:4(6)(14p\:-\:2)}}{6}\)

\(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{36p^2\:-\:336p + 48}}{6}\)

Syarat terdefinisi bentuk akar:

\(36p^2\:-\:336p + 48 \geq 0\)

\(9p^2\:-\:84p + 12 \geq 0\)

\(p_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{-(-84) \pm \sqrt{(-84)^2 \:-\:4(9)(12)}}{2(9)}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{84\pm \sqrt{7056 \:-\:432}}{18}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{84\pm \sqrt{6624}}{18}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{84\pm 12\sqrt{46}}{18}\)

\(p_{1} = \dfrac{84 + 12\sqrt{46}}{18} = 9,20\)

\(p_{2} = \dfrac{84 \:-\: 12\sqrt{46}}{18} = 0,15\)

Himpunan penyelesaian:

\(\lbrace x | \:p \leq 0,15 \text{ atau } p \geq 9,20; \: x\in R \rbrace\)

Irisan dari \(p > 2\), \(p > \dfrac{4}{7}\), dan \(\lbrace x | \:p \leq 0,15 \text{ atau } p \geq 9,20, \: x\in R \rbrace\) adalah \(p \geq 9,20\)

Untuk setiap nilai \(p \geq 9,20\) yang dipilih, \(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{36p^2\:-\:336p + 48}}{6}\) akan dapat menghasilkan jawaban A, B, C, D, dan E

Soal 3

Jika x, y, z bilangan bulat yang memenuhi 4x − 5y + 6z = 4A dan 2x − 2y + 2z = 10, dengan y < 2x dan y − 2z < 0, maka bilangan asli A terbesar yang memenuhi adalah…

(A) 25

(B) 27

(C) 29

(D) 40

(E) 41

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Kurangkan persamaan 1 dengan 6 kali persamaan 2 untuk elimininasi z.

\(4x\:-\:5y + 6z = A\dotso \color{blue} (1)\)

\(6x\:-\:6y + 6z = 30\dotso \color{blue} (2)\)

\(-2x + y = 4A\:-\:30\dotso \color{blue} (3)\)

\(y\:-\:2x = A\:-\:30\)

Karena \(y\:-\:2x < 0\), maka:

\(A\:-\:30 < 0\)

\(A < 30\)

Kurangkan persamaan 1 dengan 2 kali persamaan 2 untuk elimininasi x.

\(4x\:-\:5y + 6z = A\dotso \color{blue} (1)\)

\(4x\:-\:4y + 4z = 20\dotso \color{blue} (2)\)

\(-y + 2z = A\:-\:20\)

\(y\:-\:2z = -A + 20\dotso \color{blue} (4)\)

Karena \(y\:-\:2z < 0\), maka:

\(-A + 20 < 0\)

\(-A < -20\)

\(A > 20\)

Iris pertidaksamaan \(A < 30\) dan \(A > 20\)

Diperoleh solusi \(20 < A < 30\)

Bilangan asli A terbesar antara 20 dan 30 adalah 29

Soal 4

Diketahui suku banyak \(f(x)\) dibagi \(x^2\:-\:4\) mempunyai sisa \(ax + a\) dan suku banyak \(g(x)\) dibagi \(x^2\:-\:9\) mempunyai sisa \(ax + a \:-\:5\). Jika sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x + 2\) sama nilainya dengan sisa pembagian \(g(x)\) oleh \(x\:-\:3\) dan \(f(-3) = g(2) = -2\), maka sisa pembagian \(f(x)g(x)\) oleh \(x^2 + x \:-\:6\) adalah…

(A) \(4x\:-\:2\)

(B) \(-4x\:-\:2\)

(C) \(4x + 2\)

(D) \(-4x + 2\)

(E) \(-4x\:-\:1\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Dengan menggunakan teorema sisa,

\(f(x)\) dibagi \((x + 2)(x\:-\:2)\) mempunyai sisa \(ax + a\)

\(f(-2) = -2a + a = -a\)

\(f(2) = 2a + a = 3a\)

\(g(x)\) dibagi \((x + 3)(x\:-\:3)\) mempunyai sisa \(ax + a \:-\:5\)

\(g(-3) = -3a + a\:-\:5 = -2a\:-\:5\)

\(g(3) = 3a + a \:-\:5 = 4a \:-\:5\)

Sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x + 2\) = sisa pembagian \(g(x)\) oleh \(x \:-\: 3\)

\(f(-2) = g(3)\)

\(-a = 4a\:-\:5\)

\(-5a = -5\)

\(a = 1\)

\(f(-3) = g(2) = -2\)

\(f(x)\cdot g(x)\) dibagi oleh \((x + 3)(x\:-\:2)\) memiliki sisa \(px + q\)

\(f(x)\cdot g(x) = (x + 3)(x\:-\:2)\cdot H(x) + (px + q)\)

Untuk x = 2,

\(f(2)\cdot g(2) = 0 + 2p + q\)

\(3a \cdot (-2) = 2p + q\)

\(-6 = 2p + q \cdot \color{blue} (1)\)

Untuk x = −3,

\(f(-3)\cdot g(-3) = 0 \:-\:3p + q\)

\(-2 \cdot -2a\:-\:5 = -3p + q\)

\((-2)(-7) = -3p + q\)

\(14 = -3p + q\cdot \color{blue} (2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) untuk memperoleh nilai \(p = -4\) dan \(q = 2\)

Jadi, sisa pembagiannya adalah \(-4x + 2\)

Soal 5

jika \(f(x) = \dfrac{5x\:-\:1}{2}\) dan \(g(x) = \dfrac{2x + 3}{3}\), maka bilangan bulat \(x\) terbesar yang memenuhi \(|f(x) \:-\: g(x)| < 2\) adalah…

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(E) 1

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(|f(x) \:-\: g(x)| < 2\)

\(\left|\dfrac{5x\:-\:1}{2}\:-\:\dfrac{2x + 3}{3}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{3(5x\:-\:1)\:-\:2(2x + 3)}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{15x\:-\:3\:-\:(4x + 6)}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{15x\:-\:3\:-\:4x \:-\:6}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{11x \:-\:9}{6}\right| < 2\)

\(-2 < \dfrac{11x \:-\:9}{6} < 2\)

\(-12 < 11x \:-\:9 < 12\)

\(-12 + 9 < 11x < 12 + 9\)

\(-3 < 11x < 21\)

\(-\dfrac{3}{11} < x < \dfrac{21}{11}\)

Bilangan bulat terbesar x yang memenuhi adalah 1

Soal 6

Nilai x yang memenuhi \(1 + (x\:-\:1)^2 + (x\:-\:1)^3 + (x\:-\:1)^4 + \dotso = 2 \:-\:x\) adalah…

(A) \(\dfrac{-3 + \sqrt{3}}{2}\)

(B) \(0\)

(C) \(\dfrac{3\:-\:\sqrt{3}}{2}\)

(D) \(1\)

(E) \(\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\((x\:-\:1)^2 + (x\:-\:1)^3 + (x\:-\:1)^4 + \dotso = 2 \:-\:x\:-\:1\)

\((x\:-\:1)^2 + (x\:-\:1)^3 + (x\:-\:1)^4 + \dotso = 1 \:-\:x\)

Dengan menggunakan rumus deret tak hingga, \(s_{\infty} = \dfrac{a}{1\:-\:r}\)

\(\dfrac{(x\:-\:1)^2}{1\:-\:(x\:-\:1)} = 1 \:-\:x\)

\(\dfrac{x^2\:-\:2x + 1}{2\:-\:x} = 1\:-\:x\)

\(\dfrac{x^2\:-\:2x + 1}{2\:-\:x}\:-\:\dfrac{(1\:-\:x)(2\:-\:x)}{2\:-\:x} = 0\)

\(\dfrac{x^2\:-\:2x + 1}{2\:-\:x}\:-\:\dfrac{2\:-\:3x + x^2}{2\:-\:x} = 0\)

\(\dfrac{x\:-\:1}{2\:-\:x} = 0\)

\(x\:-\:1 = 0\)

\(x = 1\)

Soal 7

Nilai x yang memenuhi \(\dfrac{\sin x}{1\:-\:\cos x}= \dfrac{1 + \cos x}{\cos \frac{1}{2}x}\) adalah…

(A) \(\lbrace \frac{\pi}{2} + 4k\pi; \frac{5}{3}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(B) \(\lbrace \frac{\pi}{2} + 4k\pi; \frac{5}{4}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(C) \(\lbrace \frac{\pi}{3} + 4k\pi; \frac{5}{3}\pi + 3k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(D) \(\lbrace \frac{\pi}{3} + 3k\pi; \frac{4}{3}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(E) \(\lbrace \frac{\pi}{3} + 4k\pi; \frac{5}{3}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(\dfrac{\sin x}{1\:-\:\cos x}\:-\: \dfrac{1 + \cos x}{\cos \frac{1}{2}x} = 0\)

\(\dfrac{\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:(1 + \cos x)(1\:-\:\cos x)}{(1\:-\:\cos x)(\cos \frac{1}{2}x)}= 0\)

\(\dfrac{\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:(1\:-\:\cos^2 x)}{(1\:-\:\cos x)(\cos \frac{1}{2}x)} = 0\)

\(\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:(1\:-\:\cos^2 x) = 0\)

\(\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:\sin^2 x = 0\)

\(\sin x (\cos \frac{1}{2}x\:-\:\sin x) = 0\)

\(\sin x (\cos \frac{1}{2}x\:-\:2\sin \frac{1}{2} x \cos \frac{1}{2} x) = 0\)

\(\sin x = 0\)

\(x_1 = 0 + k\cdot 2\pi\)

\(x_2 = \pi + k\cdot 2\pi\)

\(\cos \frac{1}{2}x\:-\:2\sin \frac{1}{2} x \cos \frac{1}{2} x = 0\)

\(\cos \frac{1}{2}x(1\:-\:2\sin \frac{1}{2}x) = 0\)

\(\cos \frac{1}{2}x = 0\)

\(\cos \frac{1}{2}x = \cos \frac{\pi}{2}\)

\(\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \pi + k\cdot 4\pi\)

\(\frac{1}{2}x = -\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x =-\pi + k\cdot 4\pi\)

\(1\:-\:2\sin \frac{1}{2}x = 0\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \sin \frac{\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{\pi}{3} + k\cdot 4\pi\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \sin (\pi\:-\:\frac{\pi}{6})\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \sin \frac{5\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{5\pi}{3} + k\cdot 4\pi\)

Soal 8

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5x\:-\:\tan 5x}{x^3}\)

(A) \(\dfrac{125}{3}\)

(B) \(\dfrac{115}{3}\)

(C) \(\dfrac{125}{6}\)

(D) \(\dfrac{-125}{6}\)

(E) \(\dfrac{-125}{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5x\:-\:\tan 5x}{x^3}\)

Gunakan L’hopital’s rule

Turunan dari \(y =\tan ax\) adalah \(y’ = a \sec^2 ax\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5\:-\:5\sec^2 5x}{3x^2}\)

Gunakan identitas \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5\:-\:5(1 + \tan^2 5x)}{3x^2}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{-5\tan^2 5x)}{3x^2}\)

\(\dfrac{-5}{3}\cdot (5)^2\)

\(\dfrac{-125}{3}\)

Soal 9

Jika \(3x^5 \:-\:3 = \int_c^x g(t)\,\mathrm{d}t\), maka \(g(\frac{c}{2}) = \dotso\)

(A) \(\dfrac{10}{16}\)

(B) \(\dfrac{12}{16}\)

(C) \(\dfrac{14}{16}\)

(D) \(\dfrac{15}{16}\)

(E) \(\dfrac{17}{16}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(3x^5 \:-\:3 = \int_c^x g(t)\,\mathrm{d}t\)

\(3x^5 \:-\:3 = G(x)\:-\:G(c)\)

\(G(x) = 3x^5\) dan \(G(c) = 3\)

\(G(c) = 3c^5 = 3\)

\(c^5 = 1\)

\(c = 1\)

\(3x^5 \:-\:3 = \int_c^x g(t)\,\mathrm{d}t\)

turunkan kedua ruas terhadap x

\(15x^4 = g(x)\)

\(g(\frac{c}{2}) = 15(\frac{c}{2})^4\)

\(g(\frac{1}{2}) = 15(\frac{1}{2})^4\)

\(g(\frac{1}{2}) = \frac{15}{16}\)

Soal 10

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk \(5a\). Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga CP : PG = 2 : 3. Bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian dengan perbandingan volume…

(A) 1 : 14

(B) 1 : 13

(C) 1 : 12

(D) 1 : 11

(E) 1 : 10

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{1}{3}\cdot \text{ luas BCD } \cdot \text {CP}\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 5a \cdot 5a \cdot 2a\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{1}{6}\cdot 50a^3\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{50}{6}a^3\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{25}{3}a^3\)

Volume kubus ABCD.EFGH = \((5a)^3\)

Volume kubus ABCD.EFGH = \(125a^3\)

Volume di luar limas P.BCD = \(125a^3 \:-\: \dfrac{25}{3}a^3\)

Volume di luar limas P.BCD = \(\dfrac{350}{3}a^3\)

Perbandingan volume limas P.BCD dengan volume di luar limas P.BCD adalah:

\(\dfrac{25}{3}a^3\) : \(\dfrac{350}{3}a^3\)

\(25 : 350\)

\(1 : 14\)

Soal 11

Diketahui sebuah limas T.ABC dengan rusuk TA, TB, dan TC saling tegak lurus satu sama lain pada titik T. Jika AB = AC = \(2\sqrt{2}\) dan AT = 2 dan α adalah sudut antara bidang ABC dan TBC, maka tan α adalah…

(A) \(\sqrt{2}\)

(B) \(2\sqrt{2}\)

(C) \(3\sqrt{2}\)

(D) \(2\sqrt{3}\)

(E) \(3\sqrt{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

TA dan TC saling tegak lurus, sehingga segitiga ATC merupakan segitiga siku-siku di T.

\(\text{AC}^2 = \text{TA}^2 + \text{TC}^2\)

\((2\sqrt{2})^2 = 2^2 + \text{TC}^2\)

\(8 = 4 + \text{TC}^2\)

\(4 = \text{TC}^2\)

\(\text{TC} = \sqrt{4}\)

\(\text{TC} = 2\)

\(\text{TB} = \text{TC} = 2\)

Sudut antara bidang ABC dan TBC adalah sudut TRA

Perhatikan segitiga siku-siku TRA

\(\text{TC}^2 = \text{RC}^2 + \text{TR}^2\)

\(2^2 = (\sqrt{2})^2 + \text{TR}^2\)

\(4 = 2 + \text{TR}^2\)

\(2 = \text{TR}^2\)

\(\text{TR} = \sqrt{2}\)

Pada segitiga siku-siku ARC

\(\text{AC}^2 = \text{AR}^2 + \text{RC}^2\)

\((2\sqrt{2})^2 = \text{AR}^2 + (\sqrt{2})^2\)

\(8 = \text{AR}^2 + 2\)

\(6 = \text{AR}^2\)

\(\text{AR} = \sqrt{6}\)

Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga TRA,

\(\text{TA}^2 = \text{TR}^2 + \text{RA}^2 \:-\:2\cdot \text{TR}\cdot \text{RA} \cos \angle \text{TRA}\)

\(2^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 \:-\:2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{6} \cos \angle \text{TRA}\)

\(4 = 2 + 6 \:-\:2\sqrt{12}\cos \angle \text{TRA}\)

\(4 = 8 \:-\:2\sqrt{12}\cos \angle \text{TRA}\)

\(-4 = -\:4\sqrt{3}\cos \angle \text{TRA}\)

\(\cos \angle \text{TRA} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\tan \angle \text{TRA} = \sqrt{2}\)

Soal 12

Jika \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3\:-\:2x^2 + 3x\) dengan \(-1 \leq x \leq 2\) mempunyai titik maksimum di \((a, b)\), maka nilai \(\int_a^b f'(x)\,\mathrm{d}x\) adalah…

(A) \(\dfrac{16}{18}\)

(B) \(\dfrac{15}{81}\)

(C) \(\dfrac{12}{81}\)

(D) \(\dfrac{9}{81}\)

(E) \(\dfrac{8}{81}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: –

\(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3\:-\:2x^2 + 3x\)

titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)

\(x^2\:-\:4x + 3 = 0\)

\((x\:-\:3)(x\:-\:1) = 0\)

\(x_1 = 3\) tidak berada dalam interval

\(x_2 = 1 \rightarrow y_2 = \dfrac{4}{3}\dotso \color{blue} \text{max}\)

Cek juga nilai ujung-ujung interval

\(f(-1) = \dfrac{1}{3}(-1)^3\:-\:2(-1)^2 + 3(-1)\)

\(f(-1) = -\dfrac{16}{3}\dotso \color{blue} \text{min}\)

\(f(2) = \dfrac{1}{3}(2)^3\:-\:2(2)^2 + 3(2)\)

\(f(2) = \dfrac{2}{3}\)

Titik maksimum berada di titik \((1, \dfrac{4}{3})\)

Nilai \(a = 1\) dan \(b = \dfrac{4}{3}\)

\(\int_a^b f'(x)\,\mathrm{d}x\)

\(\left.f(x)\right|_a^b\)

\(f(b) \:-\:f(a)\)

\(f( \dfrac{4}{3})\:-\:f(1)\)

\(\dfrac{100}{81}\:-\:\dfrac{4}{3}\)

\(\dfrac{100}{81}\:-\:\dfrac{108}{81}\)

\(-\dfrac{8}{81}\)

Soal 13

Jika sebuah kubus memiliki 8 buah titik sudut O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, 2), E(2, 0, 2), F(2, 2, 2), G(0, 2, 2), maka…

(1) \(||\overrightarrow{OF}|| = 4\)

(2) \(\overrightarrow{OF}\) merupakan diagonal bidang kubus

(3) \(\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{AG} = \sqrt{8}\)

(4) Sinus sudut antara \(\overrightarrow{OF}\) dan \(\overrightarrow{AG}\) adalah \(\dfrac{\sqrt{8}}{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(\overrightarrow{OF} = (2, 2, 2)\:-\:(0, 0, 0) = (2, 2, 2)\)

\(||\overrightarrow{OF}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2}\)

\(||\overrightarrow{OF}|| = \sqrt{4 + 4 + 4}\)

\(||\overrightarrow{OF}|| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

\(\overrightarrow{AG} = (0, 2, 2)\:-\:(2, 0, 0) = (-2, 2, 2)\)

\(||\overrightarrow{AG}|| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2}\)

\(||\overrightarrow{AG}|| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

\(\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{AG} =(2, 2, 2)\cdot (-2, 2, 2)\)

\(\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{AG} = -4 + 4 + 4 =4\)

\(\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{OF} \cdot \overrightarrow{AG}}{||\overrightarrow{OF}||\cdot ||\overrightarrow{AG}||}\)

\(\cos \theta = \dfrac{4}{ 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}\)

\(\cos \theta = \dfrac{4}{ 12}\)

\(\cos \theta = \dfrac{1}{ 3}\)

\(\sin \theta = \dfrac{\sqrt{8}}{ 3}\)

Pernyataan (1) salah

Pernyataan (2) salah

Pernyataan (3) salah

Pernyataan (4) benar

Soal 14

Jika \(\sin 10^{\circ} = a\), maka…

(1) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}}\:-\:4\sin 70^{\circ} = 2\)

(2) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} + 4\sin 70^{\circ} = 2a\)

(3) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} \:-\: 8\sin 70^{\circ} = 4\:-\:\dfrac{1}{a}\)

(4) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} \:-\: 16\sin 70^{\circ} = 8\:-\:\dfrac{1}{a}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Pernyataan (1) benar

\(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}}\:-\:4\sin 70^{\circ}\)

\(\dfrac{1\:-\:4\sin70^{\circ}\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 2(\cos 80^{\circ}\:-\:\cos 60^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 2(\cos 80^{\circ}\:-\:\frac{1}{2})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 2\cos 80^{\circ}\:-\:1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\cos (90^{\circ}\:-\:10^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\cancel{\sin 10^{\circ}}}{\cancel{\sin 10^{\circ}}}\)

\(2\)

Pernyataan (2) salah

\(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} + 4\sin 70^{\circ}\)

\(\dfrac{1 + 4\sin 70^{\circ} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 \:-\:2(\cos 80^{\circ}\:-\: \cos 60^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 \:-\:2(\cos 80^{\circ}\:-\: \frac{1}{2})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 \:-\:2\cos 80^{\circ} + 1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\:-\:2\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\:-\:2a}{a}\)

Pernyataan (3) benar

\(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}}\:-\: 8\sin 70^{\circ}\)

\(\dfrac{1\:-\:8\sin 70^{\circ}\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 4(\cos 80^{\circ}\:-\:\cos 60^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 4(\cos 80^{\circ}\:-\:\frac{1}{2})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 4\cos 80^{\circ}\:-\:2}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{4\cos 80^{\circ}\:-\:1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{4\sin 10^{\circ}\:-\:1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{4a\:-\:1}{a}\)

\(4 \:-\:\dfrac{1}{a}\)

Soal 15

Jika \(f(x) = \dfrac{x^2\:-\:2}{x + 2}\), maka pernyataan berikut yang BENAR adalah…

(1) \(f'(-2) = 0\)

(2) \(f'(-2\:-\:\sqrt{2}) = 0\)

(3) Maksimum di \(x = -2\)

(4) Memiliki titik ekstrem di \(x = -2 + \sqrt{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: –

\(f(x) = \dfrac{x^2\:-\:2}{x + 2}\)

\(u = x^2 \:-\:2\)

\(u’ = 2x\)

\(v = x + 2\)

\(v’ = 1\)

\(f'(x) = \dfrac{u’v\:-\:uv’}{v^2}\)

\(f'(x) = \dfrac{2x(x + 2)\:-\:(x^2\:-\:2)(1)}{(x + 2)^2}\)

Pernyataan (1) benar

\(f'(-2) = \dfrac{2(-2)(-2 + 2)\:-\:((-2)^2\:-\:2)(1)}{(-2 + 2)^2}\)

\(f'(-2) = 0\)

Pernyataan (2) benar

\(f'(-2\:-\:\sqrt{2}) = \dfrac{2(-2\:-\:\sqrt{2})(-2\:-\:\sqrt{2} + 2)\:-\:((-2\:-\:\sqrt{2})^2\:-\:2)(1)}{(-2\:-\:\sqrt{2} + 2)^2}\)

\(f'(-2\:-\:\sqrt{2}) = 0\)

Pernyataan (3) salah

Pernyataan (4) benar

Titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)

\(\dfrac{2x(x + 2)\:-\:(x^2\:-\:2)(1)}{(x + 2)^2} = 0\)

\(2x(x + 2)\:-\:(x^2\:-\:2) = 0\)

\(2x^2 + 4x\:-\:x^2 + 2 = 0\)

\(x^2 + 4x + 2 = 0\)

\(x_1 = -2 + \sqrt{2}\)

\(x_2 = -2\:-\:\sqrt{2}\)

03/09/2022
Matematika IPA 2016

Soal 1

Jika \(O_1S = 4 \text { cm}\), \(O_2Q = \sqrt{3} \text{ cm}\), dan \(TP = 4 \text{ cm}\), maka panjang tali busur \(QR\) adalah… cm

(A) \(\sqrt{3}\)

(B) \(\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\)

(C) \(2\sqrt{3}\)

(D) \(3\)

(E) \(4\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Perhatikan segitiga sama kaki \(\text{QO}_2\text{R}\)

Gunakan aturan cosinus untuk menghitung panjang tali busur QR

\(\text{QR}^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2\:-\:2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 120^{\circ}\)

\(\text{QR}^2 = 3 + 3\:-\:6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\text{QR}^2 = 6 + 3\)

\(\text{QR}^2 = 9\)

\(\text{QR} = \sqrt{9} = 3\)

Soal 2

Misalkan α, β berturut-turut adalah banyak bilangan bulat k dan perkalian semua bilangan bulat k yang memenuhi \(f(x) = (-k + 2)x^2 + kx\:-\:2\) dan \(g(x) = 2x^2 + 2x \:-\:k + 2\) sehingga grafik kedua fungsi tersebut berpotongan di dua titik berbeda. Jika \(-3 \leq k \leq 1\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya α² + β dan β² + α adalah…

(A) \(x^2 \:-\:20x + 64 = 0\)

(B) \(x^2\:-\:42x + 117 = 0\)

(C) \(x^2\:-\:30x + 125 = 0\)

(D) \(x^2 \:-\:48x + 380 = 0\)

(E) \(x^2 \:-\:50x + 400 = 0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Grafik kedua fungsi berpotongan, maka \(f(x) = g(x)\)

\((-k + 2)x^2 + kx\:-\:2 = 2x^2 + 2x \:-\:k + 2\)

\(-kx^2 + (k\:-\:2)x + k \:-\:4 = 0\)

Persamaan kuadrat ini memiliki dua akar real yang berbeda, maka berlaku:

\(\color{blue} b^2 \:-\:4ac > 0\)

\((k\:-\:2)^2 \:-\:4(-k)(k\:-\:4) > 0\)

\(k^2\:-\:4k + 4 + 4k(k \:-\:4) > 0\)

\(k^2\:-\:4k + 4 + 4k^2\:-\:16k > 0\)

\(5k^2\:-\:20k + 4 > 0\)

Pembuat nol:

Rumus abc, \(\color{blue} k_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 \:-\:4(5)(4)}}{2(5)}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 \:-\:80}}{10}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{320}}{10}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{20 \pm 8\sqrt{5}}{10}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{10 \pm 4\sqrt{5}}{5}\)

\(k_1 = 3,79\)

\(k_2 = 0,21\)

Solusi:

\(k < 0,21 \text{ atau } k > 3,79\)

Solusi ini diiris dengan \(-3 \leq k \leq 1\)

Hasil irisannya adalah \(-3 \leq k < 0,21\)

Bilangan bulat yang terletak di dalam interval ini adalah −3, −2, −1, 0

α = 4 (ada empat buah bilangan bulat yang memenuhi)

β = 0 (hasil kali semua bilangan bulat yang memenuhi bernilai nol)

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4² + 0 = 16 dan 0² + 4 = 4 adalah:

\(x^2 \:-\:\text{JA}x + \text{HA} = 0\)

\(x^2 \:-\:(16 + 4)x + (16 \times 4) = 0\)

\(x^2 \:-\:20x + 64 = 0\)

Soal 3

Banyak pasangan \((x, y)\) yang memenuhi persamaan \(2x^2\:-\:|xy| + 1 = 0\) dan \((4x\:-\:y)^2 + y^2 = 8\) adalah…

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(2x^2\:-\:|xy| + 1 = 0\)

\(|xy|\: \begin{cases}xy, & xy \geq 0\\-xy, & xy < 0\end{cases}\)

Kemungkinan 1

\(2x^2\:-\:xy + 1 = 0\dotso \color{blue} (1)\)

\(xy = 2x^2 + 1 \dotso \color{blue} (1)\)

\((4x\:-\:y)^2 + y^2 = 8\dotso \color{blue} (2)\)

\(16x^2 \:-\:8xy + y^2 + y^2 = 8\)

\(16x^2 \:-\:8(2x^2 + 1) + 2y^2\:-\: 8 = 0\)

\(2y^2 \:-\: 16 = 0\)

\(y^2 \:-\: 4 = 0\)

\((y + 2)(y \:-\:2) = 0\)

\(y_1 = -2\)

\(y_2 = 2\)

Untuk \(y_1 = -2\)

\(-2x = 2x^2 + 1\)

\(0 = 2x^2 + 2x + 1\)

Karena nilai diskriminannya negatif, maka tidak ada nilai x yang memenuhi

Untuk \(y_2 = 2\)

\(2x = 2x^2 + 1\)

\(0 = 2x^2 \:-\: 2x + 1\)

Karena nilai diskriminannya negatif, maka tidak ada nilai x yang memenuhi

Kemungkinan 2

\(2x^2 + xy + 1 = 0\dotso \color{blue} (3)\)

\(xy = -2x^2 \:-\:1 \dotso \color{blue} (3)\)

\((4x\:-\:y)^2 + y^2 = 8\dotso \color{blue} (2)\)

\(16x^2 \:-\:8xy + y^2 + y^2 = 8\)

\(16x^2 \:-\:8(-2x^2 \:-\:1) + y^2 + y^2 = 8\)

\(16x^2 + 16x^2 + 8 + 2y^2 \:-\:8 = 0\)

\(32x^2 + 2y^2 = 0\)

\(16x^2 + y^2 = 0\)

\((4x + y)(4x\:-\:y) = 0\)

\(4x + y = 0 \rightarrow y = -4x\)

\(4x\:-\:y = 0 \rightarrow y = 4x\)

Untuk \(y = 4x\) substitusikan ke persamaan (3)

\(x(4x) = -2x^2 \:-\:1\)

\(4x^2 = -2x^2 \:-\:1\)

\(6x^2 = -1\)

\(x^2 = -\dfrac{1}{6}\)

Tidak ada nilai x yang memenuhi

Untuk \(y = -4x\) substitusikan ke persamaan (3)

\(x(-4x) = -2x^2 \:-\:1\)

\(-4x^2 = -2x^2 \:-\:1\)

\(-2x^2 = -1\)

\(x^2 = \dfrac{1}{2}\)

\(x = \pm \sqrt{1}{2}\)

\(x = \pm \dfrac{1}{2} \sqrt{2}\)

\(x_1 = \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \rightarrow y_1 = -2\sqrt{2}\)

\(x_2 = -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \rightarrow y_2 = 2\sqrt{2}\)

Jadi, terdapat 2 pasang (x, y) yang memenuhi

Soal 4

Jika suku banyak \(\dfrac{g(x)}{f(x)}\) dibagi \(x^2\:-\:x\) bersisa \(x + 2\) dan jika \(xf(x) + g(x)\) dibagi \(x^2 + x \:-\:2\) bersisa \(x\:-\:4\), maka \(f(1) = \dotso\)

(A) \(\dfrac{3}{4}\)

(B) \(\dfrac{1}{2}\)

(C) \(0\)

(D) \(-\dfrac{1}{2}\)

(E) \(-\dfrac{3}{4}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(\dfrac{g(x)}{f(x)} = x(x\:-\:1)\cdot H(x) + (x + 2)\)

Untuk \(x = 1\)

\(\dfrac{g(1)}{f(1)} = 0 + (1 + 2)\)

\(\dfrac{g(1)}{f(1)} = 3\dotso \color{blue} (1)\)

\(xf(x) + g(x) = (x + 2)(x\:-\:1) \cdot H(x) + (x\:-\:4)\)

Untuk \(x = 1\)

\(1\cdot f(1) + g(1) = 0 + (1\:-\:4)\)

\(f(1) + g(1) = -3\)

\(g(1) = 3\:-\:f(1)\dotso \color{blue} (2)\)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)

\(\dfrac{g(1)}{f(1)} = 3\)

\(\dfrac{3\:-\:f(1)}{f(1)} = 3\)

\(3\:-\:f(1) = 3f(1)\)

\(3 = 4f(1)\)

\(f(1) = \dfrac{3}{4}\)

Soal 5

Jika \(f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\) dan \(g(x) = \dfrac{2x\:-\:1}{3}\), maka nilai \(x\) yang memenuhi \(|f(x)\:-\:g(x)| < 2\) adalah …

(A) \(-7 \leq x \leq 17\)

(B) \(x < -7 \text{ atau } x > 17\)

(C) \(x \leq -7 \text{ atau } x \geq 17\)

(D) \(-7 < x < 17\)

(E) \(-17 < x < 7\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(|f(x)\:-\:g(x)| < 2\)

\(\left|\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\:-\:\dfrac{2x\:-\:1}{3}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{3x + 3\:-\:(4x\:-\:2)}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{-x + 5}{6}\right| < 2\)

\(-2<\dfrac{-x + 5}{6}< 2\)

\(-12 < -x + 5 < 12\)

\(-12\:-\:5 < -x < 12\:-\:5\)

\(-17 < -x < 7\)

\(17 > x > -7\)

\(-7 < x < 17\)

Soal 6

Misalkan \(a, b, c\) berturut-turut adalah tiga bilangan asli yang membentuk barisan geometri dengan \(\dfrac{b}{a}\) bilangan bulat. Jika rata-rata dari \(a, b, c\) adalah \(b + 1\), maka \(4\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 + \dfrac{b}{a}\:-\:a + 1 = \dotso\)

(A) \(-2\)

(B) \(-1\)

(C) \(0\)

(D) \(1\)

(E) \(2\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Misal tiga bilangan tersebut adalah \(a, ar, ar^2\)

Rata-rata dari ketiga bilangan tersebut adalah:

\(\dfrac{a + ar + ar^2}{3} = ar + 1\)

\(a + ar + ar^2 = 3ar + 3\)

\(a \:-\:2ar + ar^2 = 3\)

Misalkan \(a = 3\)

\(3 \:-\:6r + 3r^2 = 3\)

\(3r^2\:-\:6r = 0\)

\(3r(r\:-\:2) = 0\)

\(r = 2\)

Ketiga bilangan tersebut adalah \(3, 6, 12\)

\(4\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 + \dfrac{b}{a}\:-\:a + 1\)

\(4\left(\dfrac{3}{6}\right)^2 + \dfrac{6}{3}\:-\:3 + 1\)

\(1 + 2 \:-\:3 + 1\)

\(1\)

Soal 7

Untuk \(0 < x < \pi\), jika \(\lbrace x \in R\:| \: a < x < b \rbrace\) adalah himpunan penyelesaian dari \(2\cos x(\cos x \:-\: \sin x) + \tan^2 x < \sec^2 x\), maka \(b \:-\:a = \dotso\)

(A) \(\dfrac{2\pi}{8}\)

(B) \(\dfrac{3\pi}{8}\)

(C) \(\dfrac{4\pi}{8}\)

(D) \(\dfrac{6\pi}{8}\)

(E) \(\pi\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Identitas trigonometri yang digunakan:

\(\color{blue} 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)

\(\color{blue} \cos 2x = 2\cos^2 x \:-\:1\)

\(\color{blue} \cos 2x = 1\:-\:2\sin^2 x \)

\(\color{blue} \sin 2x = 2\sin x \cos x\)

\(2\cos x(\cos x \:-\: \sin x) + \tan^2 x < \sec^2 x\)

\(2\cos x(\cos x \:-\: \sin x) + \tan^2 x < 1 + \tan^2 x\)

\(2\cos^2 x \:-\:2\sin x \cos x \:-\:1 < 0\)

\(2\cos^2 x \:-\:1 \:-\:\sin 2x < 0\)

\(\cos 2x \:-\:\sin 2x < 0\)

\(\cos 2x \:-\:\sin 2x < 0\)

Pembuat nol:

\(\cos 2x \:-\:\sin 2x = 0\)

\(\cos 2x = \sin 2x\)

\(\cos 2x = \cos (\frac{\pi}{2}\:-\:2x)\)

\(2x = \frac{\pi}{2}\:-\:2x + k\cdot 2\pi\)

\(4x = \frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{\pi}{8} + k \cdot \frac{\pi}{2}\)

\(k = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{8}\)

\(k = 1 \rightarrow x = \frac{5\pi}{8}\)

Himpunan penyelesaian:

\(\lbrace x \in R\:| \: a < x < b \rbrace\)

\(\lbrace x \in R\:| \: \dfrac{\pi}{8} < x < \dfrac{5\pi}{8} \rbrace\)

\(b \:-\:a = \dfrac{5\pi}{8}\:-\:\dfrac{\pi}{8}\)

\(b \:-\:a = \dfrac{4\pi}{8}\)

Soal 8

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \left(\dfrac{a}{t^2}\:-\: \dfrac{\sin 6t}{t^3 \cos^2 3t}\right) = -18\), maka \(a = \dotso\)

(A) 6

(B) 12

(C) 18

(D) 24

(E) 30

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \left(\dfrac{a}{t^2}\:-\: \dfrac{\sin 6t}{t^3 \cos^2 3t}\right)\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{at\cos^2 3t \:-\:2 \sin 3t \cos 3t}{t^3 \cos^2 3t}\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{\cos 3t (at \cos 3t \:-\:2\sin 3t)}{t^3 \cos^2 3t}\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{at \cos 3t \:-\:2\sin 3t}{t^3 \cos 3t}\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{at\:-\:2\tan 3t}{t^3}\)

Gunakan L’hopital’s rules

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{a\:-\:2\cdot 3\cdot \sec^2 3t}{3t^2}=-18\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{a\:-\:6\sec^2 3t}{3t^2}=-18\)

Pilih \(a = 6\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{6\:-\:6\sec^2 3t}{3t^2}=-18\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{6(1\:-\:\sec^2 3t)}{3t^2}=-18\)

Note: \(\color{blue} 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{2(-\tan^2 3x)}{t^2}=-18\)

\(-2(3)^2=-18\)

\(-18 =-18\)

Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi adalah 6

03/09/2022
Matematika IPA 2015

Soal 1

Diketahui \(f(x) = \sin[\sin^3(\cos (x))]\). Jika \(\dfrac{f^{”}(0)}{\sin (2)} = A\cos (\sin^3(1))\sin (1)\), maka \(A = \dotso\)

(A) \(\dfrac{3}{2}\)

(B) \(\dfrac{1}{2}\)

(C) \(0\)

(D) \(-\dfrac{1}{2}\)

(E) \(-\dfrac{3}{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(f(x) = \sin[\sin^3(\cos (x))]\)

\(f'(x) = \cos[\sin^3(\cos (x))]\cdot 3\sin^2(\cos (x)) \cdot \cos (\cos (x))(-\sin (x))\)

\(f'(x) = -3\cdot \cos (\cos (x)) \cdot \sin (x)\cdot \cos[\sin^3(\cos (x))]\cdot \sin^2(\cos (x))\)

\(f'(x) = -3[u\cdot v \cdot w \cdot z]\)

\(f^{”}(x) = -3[u’\cdot v \cdot w \cdot z + u\cdot v’ \cdot w \cdot z + u\cdot v \cdot w’ \cdot z + u\cdot v \cdot w \cdot z’]\)

\(\color{blue} u = \cos (\cos (x))\)

\(\color{blue} u’ = -\sin (\cos (x)) \cdot (-\sin (x))\)

\(\color{blue} u'(0) = -\sin (\cos (0)) \cdot (-\sin (0)) = 0\)

\(\color{blue} v = \sin (x)\)

\(\color{blue} v’ = \cos (x)\)

\(\color{blue} v'(0) = \cos 0 = 1\)

\(\color{blue} w = \cos[\sin^3(\cos (x))]\)

\(\color{blue} w’ = -\sin [\sin^3(\cos (x))]\cdot 3\sin^{2}(\cos (x)) \cdot \cos (\cos (x)) \cdot (-\sin (x))\)

\(\color{blue} w’ (0) = -\sin [\sin^3(\cos (0))]\cdot 3\sin^{2}(\cos (0)) \cdot \cos (\cos (0)) \cdot (-\sin (0)) = 0\)

\(\color{blue} z = \sin^2(\cos (x))\)

\(\color{blue} z’ = 2\sin (\cos (x))\cdot \cos (\cos (x)) \cdot (-\sin (x))\)

\(\color{blue} z'(0) = 2\sin (\cos (0))\cdot \cos (\cos (0)) \cdot (-\sin (0)) = 0\)

\(f^{”}(0) = -3[u'(0)\cdot v(0) \cdot w(0) \cdot z(0) + u(0)\cdot v'(0) \cdot w(0) \cdot z(0) + u(0)\cdot v(0) \cdot w'(0) \cdot z(0) + u(0)\cdot v(0)\cdot w(0)\cdot z'(0)]\)

\(f^{”}(0) = -3[0 + u(0)\cdot 1 \cdot w(0) \cdot z(0) + 0 + 0]\)

\(f^{”}(0) = -3[u(0)\cdot w(0) \cdot z(0)]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos (\cos (0))\cdot \cos(\sin^3(\cos (0))) \cdot \sin^2(\cos (0))]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos (1)\cdot \cos(\sin^3(1)) \cdot \sin^2(1)]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)\cdot \sin (1) \cdot \cos (1)]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \sin (2)]\)

\(f^{”}(0) = -\dfrac{3}{2}[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)\cdot \sin (2)]\)

\(\dfrac{f^{”}(0) }{\sin (2)} = -\dfrac{3}{2}[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)]\)

Karena, \(\dfrac{f^{”}(0)}{\sin (2)} = A\cos (\sin^3(1))\sin (1)\), maka \(A = -\dfrac{3}{2}\)

Soal 2

Banyaknya \(\theta\) dengan \(0^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}\) yang memenuhi \(^2\log {(3\sin \theta)} = 2\cdot ^2\log {(-3 \cos \theta)} + 1\) adalah …

(A) 4

(B) 3

(C) 2

(D) 1

(E) 0

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(^2\log {(3\sin \theta)} = 2\cdot ^2\log {(-3 \cos \theta)} + 1\)

\(^2\log {(3\sin \theta)} = \:^2\log {(-3 \cos \theta)^2} + \:^2\log {2}\)

\(^2\log {(3\sin \theta)} = \:^2\log {2(9 \cos^2\theta)}\)

\(^2\log {(3\sin \theta)} = \:^2\log {(18 \cos^2\theta)}\)

\(3\sin \theta = 18 \cos^2\theta\)

\(\cancel{3}\sin \theta = \cancelto{6}{18}(1\:-\:\sin^2\theta)\)

\(\sin \theta = 6\:-\:6\sin^2\theta\)

\(6\sin^2\theta + \sin \theta \:-\:6 = 0\)

Gunakan rumus abc untuk menentukan akar-akar persamaan kuadratnya.

\(\sin \theta = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(\sin \theta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 \:-\:4(6)(-6)}}{2(6)}\)

\(\sin \theta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 144}}{12}\)

\(\sin \theta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{145}}{12}\)

\(\sin \theta = -1,086\)

\(\sin \theta = +0,92\)

Karena \(-1 \leq \sin \theta \leq 1\), maka yang memenuhi adalah \(\sin \theta = +0,92\)

Karena \(\sin \theta\) bernilai positif, maka \(\theta\) dapat berada di kuadran I dan II, sehingga banyaknya \(\theta\) yang memenuhi ada 2.

Soal 3

Jika bilangan \(\log {(a^3b^7)}, \log {(a^5b^{12})}\), dan \(\log {(a^8b^{15})}\) merupakan tiga suku pertama dari barisan aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah \(\log {(b^n)}\), maka nilai \(n\) adalah …

(A) 82

(B) 108

(C) 112

(D) 146

(E) 152

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Suku-suku yang berturutan dalam barisan aritmetika memiliki beda yang sama.

\(\text{U}_3 \:-\: \text{U}_2 = \text{U}_2 \:-\: \text{U}_1\)

\(\log {(a^8b^{15})} \:-\: \log {(a^5b^{12})} = \log {(a^5b^{12})} \:-\: \log {(a^3b^7)}\)

\(\log \left(\dfrac{a^8b^{15}}{a^5b^{12}}\right) = \log \left(\dfrac{a^5b^{12}}{a^3b^7} \right)\)

\(\log \left( a^3b^3\right) = \log \left(a^2 b^5\right)\)

\(a^3b^3 = a^2 b^5\)

\(a = b^2\)

\(\color{blue}\text{U}_{\text{n}} = \text{a} + (\text{n} \:-\:1)\text{b}\)

\(\color{blue} \text{beda} = \log {(a^5b^{12})}\:-\:\log {(a^3b^7)}\)

\(\color{blue} \text{beda} = \log \left(\dfrac{a^5b^{12}}{a^3b^7}\right)\)

\(\color{blue} \text{beda} = \log (a^2b^5)\)

\(\text{U}_{12} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} + (12\:-\:1)\log (a^2b^5) = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} + (11)\log (a^2b^5) = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} +\log (a^2b^5)^{11} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} +\log (a^{22}b^{55}) = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7\cdot a^{22}b^{55})}= \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^{25}b^{62})} = \log {(b^n)}\)

Substitusi nilai \(a = b^2\)

\(\log {[(b^2)^{25}b^{62}]} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(b^{50}b^{62})} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(b^{112)}} = \log {(b^n)}\)

\(n = 112\)

Soal 4

Jika \(k\) adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga dua fungsi kuadrat \(f(x) = (k\:-\:1)x^2 + kx \:-\:1\) dan \(g(x) = (k\:-\:2)x^2 + x + 2k\) berpotongan di dua titik yang berbeda \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1 + x_2\) dan \(y_1 + y_2\) adalah …

(A) \(x^2 \:-\:1 = 0\)

(B) \(x^2 + 4x \:-\:5 = 0\)

(C) \(x^2 \:-\:10x = 0\)

(D) \(x^2 \:-\:6x \:-\:7 = 0\)

(E) \(x^2 \:-\:26x \:-\:56 = 0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Kedua fungsi berpotongan,

\(f(x) = g(x)\)

\((k\:-\:1)x^2 + kx \:-\:1 = (k\:-\:2)x^2 + x + 2k\)

\((k\:-\:1)x^2 \:-\: (k\:-\:2)x^2 + kx \:-\:x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

\((k\:-\:1\:-\:k + 2)x^2 + (k\:-\:1)x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

\(\color{red} x^2 + (k\:-\:1)x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

Karena kedua fungsi berpotongan di dua titik yang berbeda, maka \(\text{D} > 0\)

\(\text{b}^2\:-\:4\text{a}\text{c} > 0\)

\((k\:-\:1)^2 \:-\:4(1)(-1\:-\:2k) > 0\)

\(k^2 \:-\:2k + 1 + 4 + 8k > 0\)

\(k^2 + 6k + 5 > 0\)

\((k + 1)(k + 5) > 0\)

\(\text{HP} = \lbrace x | x < -5 \text{ atau } x > -1, x \in \text{R} \rbrace\)

Karena \(k\) adalah bilangan asli terkecil sehingga \(f(x)\) dan \(g(x)\) adalah fungsi kuadrat, maka pilih \(k = 3\)

Note:

Jika pilih \(k = 1\) maka \(f(x)\) bukan fungsi kuadrat

Jika pilih \(k = 2\) maka \(g(x)\) bukan fungsi kuadrat

Selanjutnya substitusikan nilai \(k = 3\) pada persamaan \(\color{red} x^2 + (k\:-\:1)x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

\(x^2 + 2x \:-\:7 = 0\)

\(x^2 + 2x = 7\)

\(x^2 + 2x + \color{red} 1 \color{black} = 7 + \color{red} 1\)

\((x + 1)^2 = 8\)

\(x + 1 = \pm \sqrt{8}\)

\(x_{1, 2} = -1\pm \sqrt{8}\)

\(x_1 + x_2 = -1 + \sqrt{8} + (-1 \:-\: \sqrt{8})\)

\(\color{blue} x_1 + x_2 = -2\)

Fungsi \(y = f(x) = 2x^2 + 3x \:-\:1\)

Untuk \(x_1 = -1 + \sqrt{8}\) maka \(y_1 = 2(-1 + \sqrt{8})^2 + 3(-1 + \sqrt{8}) \:-\:1\)

\(y_1 = 2(1 \:-\:2\sqrt{8} + 8) \:-\:3 + 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_1 = 2 \:-\:4\sqrt{8} + 16\:-\:3 + 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_1 = 14 \:-\:\sqrt{8}\)

Untuk \(x_2 = -1 \:-\: \sqrt{8}\) maka \(y_2 = 2(-1 \:-\: \sqrt{8})^2 + 3(-1 \:-\: \sqrt{8}) \:-\:1\)

\(y_2 = 2(1 + 2\sqrt{8} + 8) \:-\:3 \:-\: 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_2 = 2 + 4\sqrt{8} + 16\:-\:3 \:-\: 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_2 = 14 + \sqrt{8}\)

\(y_1 + y_2 = 14 \:-\:\sqrt{8} + 14 + \sqrt{8}\)

\(\color{blue} y_1 + y_2 = 28\)

Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(\color{blue} x_1 + x_2 = -2\) dan \(\color{blue}y_1 + y_2 = 28\) adalah:

\(x^2\:-\:\text{(jumlah akar)}\cdot x + \text{hasil kali akar} = 0\)

\(x^2\:-\:(-2 + 28)x + (-2\times 28) = 0\)

\(x^2 \:-\:26x \:-\:56 = 0\)

Soal 6

Diberikan kubus ABCD. EFGH. Titik P terletak di rusuk CG sedemikian sehingga PG = 2CP. Titik Q dan R berturut-turut berada di tengah rusuk AB dan AD. Bidang Ω adalah bidang yang melalui titik P, Q, dan R. Jika α adalah sudut yang terbentuk antara bidang Ω dan bidang ABCD, maka nilai \(\tan \alpha = \dotso\)

(A) \(\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\)

(B) \(\dfrac{\sqrt{2}}{9}\)

(C) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{9}\)

(D) \(-\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\)

(E) \(-1\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Anggap panjang rusuk kubus = 1 satuan

Lihat segitiga siku-siku PCT,

\(\angle \text{PTC} = \alpha\)

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{PC}}{\text{TC}}\)

\(\text{PC} = \dfrac{1}{3}\text{CG}\)

\(\text{PC} = \dfrac{1}{3}\cdot 1\)

\(\text{PC} = \dfrac{1}{3}\)

\(\text{TC} = \dfrac{3}{4}\text{AC}\)
\(\text{TC} = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{PC}}{\text{TC}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}\sqrt{2}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{4}{9\sqrt{2}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{4}{9\sqrt{2}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{4\sqrt{2}}{18}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{2}{9}\sqrt{2}\)

Soal 7

Diberikan sistem persamaan

\(x + y^2 = y^3\)

\(y + x^2 = x^3\)

Banyaknya pasangan bilangan real \((x, y)\) yang memenuhi sistem di atas adalah …

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) tak hingga

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(x + y^2 = y^3 \rightarrow x = y^3\:-\:y^2\)

\(y + x^2 = x^3 \rightarrow y = x^3 \:-\:x^2\)

Pasangan bilangan real \((x, y)\) memiliki beberapa kemungkinan, yaitu:

Kemungkinan 1 : \(x = y\)
\(x = y^3\:-\:y^2\)

\(y = y^3\:-\:y^2\)

\(0 = y^3\:-\:y^2 \:-\:y\)

\(0 = y(y^2\:-\:y \:-\:1)\)

\(y = 0\) atau \(y^2\:-\:y \:-\:1 = 0\)

Untuk \(y = 0\) maka \(x = 0\), sehingga didapat solusi \((0, 0)\)

Untuk \(y^2\:-\:y \:-\:1 = 0\),

\(y_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(y_{1, 2} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 \:-\:4(1)(-1)}}{2(1)}\)

\(y_{1, 2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\)

\(y_{1, 2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

sehingga didapat solusi \(\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\) dan \(\left(\dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}\right)\)

Kemungkinan 2 : \(x = -y\)
\(x = y^3\:-\:y^2\)

\(-y = y^3\:-\:y^2\)

\(0 = y^3\:-\:y^2 + y\)

\(0 = y(y^2 \:-\:y + 1)\)

\(y = 0\) atau \(y^2\:-\:y + 1 = 0\)

Untuk \(y = 0\), maka \(x = 0\), sehingga didapat solusi \((0, 0)\) (sudah ada)

Untuk \(y^2\:-\:y + 1 = 0\), tidak ditemukan solusi real karena nilai diskriminannya kurang dari nol.

Cek:

\(b^2 \:-\:4ac = (-1)^2 \:-\:4(1)(1) < 0\)

Kemungkinan 3 : \(x \neq y\)

Untuk \(x \neq y\) tidak ada solusinya karena tidak memenuhi sifat simetris kedua persamaan.

\(x = y^3\:-\:y^2\)

\(y = x^3 \:-\:x^2\)

Jadi banyaknya pasangan bilangan real ada 3 saja, yaitu \((0, 0)\), \(\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\) dan \(\left(\dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}\right)\)

Soal 8

Untuk \(a > 0\), luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\), garis \(y = x\:-\:a\) dan garis \(x = a + 2\) adalah …

(A) \(\int_{a\:-\:2}^{a + 2} (-(x\:-\:a)^2\:-\:(x\:-\:a) + 2),\mathrm{d}x\)

(B) \(\int_{a + 1}^{a + 2} (-(x\:-\:a)^2\:-\:(x\:-\:a) + 2),\mathrm{d}x\)

(C) \(\int_{a\:-\:2}^{a + 1} (-(x\:-\:a)^2\:-\:(x\:-\:a) + 2),\mathrm{d}x\)

(D) \(\int_{a\:-\:2}^{a + 1} ((x\:-\:a)^2 + (x\:-\:a) \:-\: 2),\mathrm{d}x\)

(E) \(\int_{a + 1}^{a + 2} ((x\:-\:a)^2 + (x\:-\:a) \:-\: 2),\mathrm{d}x\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Langkah 1 Menentukan titik potong garis \(y = x\:-\:a\) dan kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\).

Substitusikan \(x\:-\:a = y\) ke persamaan kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\)

\(y = -y^2 + 2\)

\(y^2 + y \:-\:2 = 0\)

\((y + 2)(y\:-\:1) = 0\)

\(y = -2\) atau \(y = 1\)

Untuk \(y = -2\) maka \(x_1 = a\:-\:2\)

Untuk \(y = 1\) maka \(x_2 = a + 1\)

Langkah 2 Menggambar

Kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\) berbentuk parabola yang terbuka ke bawah. Koordinat titik puncak parabola berada di titik \((a, 2)\).

Langkah 3 Menentukan luas daerah yang diarsir warna hijau

Batas integral dari \(a + 1\) sampai dengan \(a + 2\).

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [y_2\:-\:y_1],\mathrm{d}x\)

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [x\:-\:a\:-\:(-(x\:-\:a)^2 + 2)],\mathrm{d}x\)

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [x\:-\:a + (x\:-\:a)^2 \:-\: 2)],\mathrm{d}x\)

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [ (x\:-\:a)^2 + (x\:-\:a)\:-\: 2)],\mathrm{d}x\)

03/09/2022
Matematika IPA 2014

Soal 1

Jika \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 + x \:-\:2 = 0\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah \(m^3 \:-\:n^2\) dan \(n^3\:-\:m^2\) adalah…

(A) \(32x^2 + 101 x \:-\:124 = 0\)

(B) \(32x^2 \:-\:101 x + 124 = 0\)

(C) \(-32x^2 + 101 x \:-\:124 = 0\)

(D) \(-32x^2 \:-\:101x \:-\:124 = 0\)

(E) \(-32x^2 + 101x + 124 = 0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: –

\(2x^2 + x \:-\:2 = 0\) memiliki akar-akar \(m\) dan \(n\)

\(\color{blue} m + n = -\dfrac{b}{a}\)

\(m + n = -\dfrac{1}{2}\)

\(\color{blue} mn = \dfrac{c}{a}\)

\(mn = \dfrac{-2}{-2} = -1\)

\(\color{blue} m^2 + n^2 = (m + n)^2 \:-\:2mn\)

\(m^2 + n^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \:-\:2(-1)\)

\(m^2 + n^2 = \dfrac{1}{4} + 2\)

\(m^2 + n^2 = \dfrac{9}{4}\)

\(\color{blue} m^3 + n^3 = (m + n)^3\:-\:3mn(m + n)\)

\(m^3 + n^3 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3\:-\:3(-1)\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(m^3 + n^3 = -\dfrac{1}{8}\:-\:\dfrac{3}{2}\)

\(m^3 + n^3 = -\dfrac{1}{8}\:-\:\dfrac{12}{8}\)

\(m^3 + n^3 = -\dfrac{13}{8}\)

\(\color{blue} m^5 + n^5 = (m^3 + n^3)(m^2 + n^2)\:-\:(mn)^2(m + n)\)

\(m^5 + n^5 = \left( -\dfrac{13}{8}\right)\left(\dfrac{9}{4}\right)\:-\:(-1)^2\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(m^5 + n^5 = -\dfrac{101}{32}\)

Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(m^3 \:-\:n^2\) dan \(n^3\:-\:m^2\) dapat dibentuk dengan rumus:

\(\color{blue} x^2 \:-\:\text{JA}x + \text{HA} = 0\)

\(\text{JA} = m^3 \:-\:n^2 + n^3\:-\:m^2\)

\(\text{JA} = m^3 + n^3 \:-\: (m^2 + n^2)\)

\(\text{JA} = -\dfrac{13}{8} \:-\: \dfrac{9}{4}\)

\(\text{JA} = -\dfrac{31}{8}\)

\(\text{HA} = (m^3 \:-\:n^2)(n^3\:-\:m^2)\)

\(\text{HA} = (mn)^3\:-\:(m^5 + n^5) + (mn)^2\)

\(\text{HA} = (-1)^3\:- \:\left(-\dfrac{101}{32}\right)+ (-1)^2\)

\(\text{HA} = \dfrac{101}{32}\)

Persamaan kuadrat yang baru:

\(x^2 \:-\:\left(-\dfrac{31}{8}\right)x + \dfrac{101}{32} = 0\)

\(32x^2 + 124x + 101 = 0\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(\color{purple} 32x^2 + 124x + 101 = 0\)

Soal 2

Diketahui \(p(x)\) dan \(g(x)\) adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan \(p(10) = m\) dan \(g(10) = n\). Jika \(p(x)\cdot h(x) = \left(\dfrac{p(x)}{g(x)}\:-\:1\right)(p(x) + g(x))\), \(h(10) = -\dfrac{16}{15}\), maka nilai maksimum dari \(|m + n| = \dotso\)

(A) 8

(B) 6

(C) 4

(D) 2

(E) 0

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(p(10)\cdot h(10) = \left(\dfrac{p(10)}{g(10)}\:-\:1\right)(p(10) + g(10))\)

\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \left(\dfrac{m}{n}\:-\:1\right)(m + n)\)

\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \left(\dfrac{m\:-\:n}{n}\right)(m + n)\)

\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \dfrac{m^2\:-\:n^2}{n}\)

\(-16mn = 15(m^2\:-\:n^2)\)

\(0 = 15m^2 + 16mn \:-\:15n^2\)

\(0 = (5m \:-\: 3n)(3m + 5n)\)

\(5m \:-\: 3n = 0\)

\(5m = 3n\)

\(\dfrac{m}{n} = \dfrac{3}{5}\)

Nilai \(m = 3\) dan \(n = 5\)

\(|m + n| = |3 + 5| = 8\)

\(3m + 5n = 0\)

\(3m = -5n\)

\(\dfrac{m}{n} = -\dfrac{5}{3}\)

Nilai \(m = -5\) dan \(n = 3\)

\(|m + n| = |-5 + 3| = 2\)

Jadi, nilai maksimum \(\color{purple}|m + n| = 8\)

Soal 3

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(\log|x + 1| \geq \log 3 + \log |2x \:-\:1|\) adalah…

(A) \(\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}, x \neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)

(B) \(\lbrace x \in R |\: \dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{4}{5}\rbrace\)

(C) \(\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}\rbrace\)

(D) \(\lbrace x \in R |\: x \leq -1 \text{ atau } x > \dfrac{1}{2}\rbrace\)

(E) \(\lbrace x \in R |\: x \leq \dfrac{4}{5}, x\neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Syarat numerus:

\(|x + 1| > 0\)

\(x \in R, x \neq 0\)

\(|2x \:-\:1| > 0\)

\(x \in R, x \neq \dfrac{1}{2}\)

\(\log|x + 1| \geq \log 3 + \log |2x \:-\:1|\)

\(\log|x + 1| \geq \log 3|2x \:-\:1|\)

\(|x + 1| \geq 3|2x\:-\:1|\)

kuadratkan kedua ruas,

\((x + 1)^2 \geq 9(2x\:-\:1)^2\)

\(x^2 + 2x + 1 \geq 9(4x^2 \:-\:4x + 1)\)

\(x^2 + 2x + 1 \geq 36x^2\:-\:36x + 9\)

\(0 \geq 35x^2 \:-\:38x + 8\)

\(0 \geq (5x \:-\: 4)(7x \:-\: 2)\)

pembuat nol:

\(5x \:-\: 4 = 0 \rightarrow x = \dfrac{4}{5}\)

\(7x \:-\: 2 = 0 \rightarrow x = \dfrac{2}{7}\)

Daerah penyelesaian di atas kemudian diiris dengan syarat numerus, sehingga diperoleh himpunan penyelesaian:

\(\color{purple}\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}, x \neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)

Soal 4

Diketahui suatu barisan aritmetika \(\lbrace a_n \rbrace\) memiliki suku awal \(a > 0\) dan \(2a_{10} = 5a_{15}\). Nilai \(n\) yang memenuhi agar jumlah \(n\) suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah…

(A) 16

(B) 17

(C) 18

(D) 19

(E) 20

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \(\color{blue} \text{U}_n = a + (n\:-\:1)b\)

\(2a_{10} = 5a_{15}\)

\(2(a + 9b) = 5(a + 14b)\)

\(2a + 18b = 5a + 70b\)

\(-3a = 52b\)

\(a = -\dfrac{52}{3}b\)

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{52}{-3}\)

\(a = 52\) dan \(b = -3\)

Barisan aritmetika tersebut adalah: \(52, 49, 46, 43, 40, \dotso\)

Jumlah n suku pertama dari barisan tersebut akan maksimum jika penjumlahannya dari suku pertama sampai dengan suku positif yang terakhir.

Suku positif terakhir:

\(\text{U}_n > 0\)

\(a + (n\:-\:1)b > 0\)

\(52 + (n\:-\:1)(-3) > 0\)

\(52 \:-\:3n + 3 > 0\)

\(55 \:-\:3n > 0\)

\(-3n > -55\)

\(n < \dfrac{55}{3}\)

\(n < 18,333\)

Suku positif terakhir adalah suku ke-18

Jadi, nilai \(n\) yang memenuhi adalah 18

Soal 5

Misalkan diberikan vektor \(\vec{b} = (y, -2z, 3x)\) dan \(\vec{c} = (2z, 3x, -y)\). Diketahui vektor \(\vec{a}\) membentuk sudut tumpul dengan sumbu \(y\) dan \(||\vec{a}|| = 2 \sqrt{3}\). Jika \(\vec{a}\) membentuk sudut yang sama dengan \(\vec{b}\) maupun \(\vec{c}\), dan tegak lurus dengan \(\vec{d} = (1, -1, 2)\), maka \(\vec{a} = \dotso\)

(A) \((1, 0, -1)\)

(B) \((-2, -2, -2)\)

(C) \((2, 0, -2)\)

(D) \((-2, 0, 2)\)

(E) \((2, -2, -2)\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Perhatikan bahwa panjang vektor \(\vec{a}\) haruslah \(2 \sqrt{3}\)

Dari pilihan jawaban yang tersedia terdapat dua opsi jawaban (B) \((-2, -2, -2)\) atau (E) \((2, -2, -2)\), karena vektor-vektor tersebut memiliki panjang \(2 \sqrt{3}\).

Diketahui juga bahwa \(\vec{a}\) tegak lurus dengan \(\vec{d}\)

Syarat dua buah vektor saling tegak lurus adalah \(\vec{a}\cdot \vec{d} = 0\)

Opsi B salah,

\((-2, -2, -2)\cdot (1, -1, 2) \neq 0\)

Opsi E benar,

\((2, -2, -2)\cdot (1, -1, 2) = 0\)

Jadi, vektor \(\color{purple} \vec{a} = (2, -2, -2)\)

Soal 6

Banyaknya nilai x dengan \(0 \leq x \leq 2014\pi\) yang memenuhi \(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0\) adalah…

(A) 1006

(B) 1007

(C) 1008

(D) 2012

(E) 2014

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0\)

\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\left(\dfrac{\cos x + 1}{2}\right) = 0\)

\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:2\cos x \:-\: 2 = 0\)

\((\cos x + 1)(\cos^2 x \:-\:2) = 0\)

\(\cos x + 1 = 0\)

\(\cos x = -1\)

\(\cos x = \cos \pi\)

Penyelesaian 1

\(x = \pi + k\cdot 2\pi\)

\(k = 0 \rightarrow x = \pi\)

\(k = 1 \rightarrow x = 3\pi\)

\(k = 2 \rightarrow x = 5\pi\)

\(k = 3 \rightarrow x = 7\pi\)

\(k = 4 \rightarrow x = 9\pi\)

\(\dotso\)

\(k =1006 \rightarrow x = 2013\pi\)

Perhatikan bahwa nilai-nilai x yang memenuhi membentuk barisan aritmetika.

\(\text{U}_n = a + (n \:-\:1)b\)

\(2013\pi = \pi + (n\:-\:1)2\pi\)

\(2013 = 1 + 2n \:-\:2\)

\(2013 = 2n\:-\:1\)

\(2014 = 2n\)

\(n = 1007\)

Penyelesaian 2

\(x = -\pi + k\cdot 2\pi\)

\(k = 1 \rightarrow x = \pi\)

\(k = 2 \rightarrow x = 3\pi\)

\(k = 3 \rightarrow x = 5\pi\)

\(k = 4 \rightarrow x =7\pi\)

\(\dotso\)

\(k =1007 \rightarrow x = 2013\pi\)

solusi yang diperoleh dari penyelesaian 2 ini sudah ada di penyelesaian 1

Jadi, terdapat 1007 nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Soal 7

Semua nilai x yang memenuhi \(^{\sin x}\log \left(\dfrac{1}{2}\sin 2x\right) = 2\) adalah…

(A) \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(B) \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(C) \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(D) \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(E) \(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Pada persamaan logaritma, terdapar syarat basis dan syarat numerus.

Syarat basis:

\(\sin x > 0 \text{ dan } \sin x \neq 1\)

Syarat numerus:

\(\sin 2x > 0\)

Selanjutnya, ubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponen.

\(\color{blue} ^a\log b = c \rightarrow b = a^c\)

\(\dfrac{1}{2}\sin 2x = \sin^2 x\)

\(\dfrac{1}{2}\cdot 2 \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x\)

\(\sin x \cdot \cos x = \sin^2 x\)

\(0 = \sin^2 x \:-\: \sin x \cdot \cos x\)

\(0 = \sin x (\sin x \:-\:\cos x)\)

\(\sin x = 0 \text{ tidak memenuhi}\)

\(\sin x = \cos x\)

\(\sin x = \sin (\frac{\pi}{2}\:-\:x)\)

solusi 1

\(x = \frac{\pi}{2}\:-\:x + k\cdot 2\pi\)

\(2x = \frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{\pi}{4} + k\cdot \pi\)

Agar memenuhi syarat basis dan numerus, maka dipilih konstanta \(2k\), sehingga solusi persamaan logaritma tersebut adalah \(\color{purple} x = \frac{\pi}{4} + 2k\cdot \pi\)

Soal 8

Jika \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{\frac{1}{3}Ax^3 + \frac{1}{2}Bx^2 \:-\:3x}{x^3\:-\:2x^2\:-\:8x + 16} = -\dfrac{3}{10}\), maka nilai \(20A + 15B = \dotso\)

(A) 99

(B) 72

(C) 45

(D) 32

(E) 16

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Bentuk awal hasil limit tersebut setelah mengganti x dengan 2 adalah \(\dfrac{0}{0}\), artinya nilai pembilangnya sama dengan nol.

\(\frac{1}{3}Ax^3 + \frac{1}{2}Bx^2 \:-\:3x = 0\)

Substitusi x = 2

\(\frac{1}{3}A(2)^3 + \frac{1}{2}B(2)^2 \:-\:3(2) = 0\)

\(\frac{8}{3}A + 2B \:-\:6 = 0\)

Kali kedua ruas dengan \(\frac{15}{2}\)

\(20A + 15B \:-\:45= 0\)

Jadi, nilai \(\color{purple} 20A + 15B = 45\)

Soal 9

Misalkan \(f(1) = 2, f'(1) = -1, g(1) = 0\) dan \(g'(1) = 1\). Jika \(F(x) = f(x)\cos(g(x))\), maka \(F'(1)=\dotso\)

(A) 2

(B) 1

(C) 0

(D) \(-1\)

(E) \(-2\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(F(x) = f(x)\cos(g(x))\)

\(F'(x) = f'(x)\cdot \cos (g(x)) + f(x)\cdot \sin (g(x)) \cdot g'(x)\)

\(F'(1) = f'(1)\cdot \cos (g(1)) + f(1)\cdot \sin (g(1)) \cdot g'(1)\)

\(F'(1) = -1_\cdot \cos 0 + 2\cdot \sin 0 \cdot 1\)

\(F'(1) = -1_\cdot 1 + 2\cdot 0 \cdot 1\)

\(F'(1) = -1\)

Soal 10

Diberikan fungsi \(f\) dan \(g\) yang memenuhi sistem

\(\begin{cases}\int_{0}^{1} f(x)\: dx + \left(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\right)^2 = 3& x = 0\\\\f(x) = 3x^2+ 4x + \int_{0}^{2} g(x)\: d(x) & x > 0\end{cases}\)

dengan \(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x) \neq 0\). Nilai \(f(1) = \dotso\)

(A) \(-6\)

(B) \(-3\)

(C) \(0\)

(D) \(3\)

(E) \(6\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Misalkan \(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x) = p\) dengan \(p \neq 0\), maka

\(f(x) = 3x^2+ 4x + \int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\)

\(f(x) = 3x^2+ 4x + p\)

\(\int_{0}^{1} f(x)\: dx + \left(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\right)^2 = 3\)

\(\int_{0}^{1} (3x^2+ 4x + p)\: dx + p^2 = 3\)

\(\left.x^3 + 2x^2 + px \right|_0^1 + p^2 = 3\)

\(1 + 2 + p + p^2 = 3\)

\(p^2 + p = 0\)

\(p(p + 1) = 0\)

Karena \(p \neq 0\) maka \(p = -1\) yang dipilih

\(f(x) = 3x^2 + 4x\:-\:1\)

\(f(1) = 3(1)^2 + 4(1) \:-\:1\)

Jadi, nilai \(\color{purple}f(1) = 6\)

03/09/2022
Bahasa Indonesia 2016

Soal nomor 1 sampai dengan nomor 5 berdasarkan Bacaan I

Bacaan I

(1) Sebelum primata yang berkembang belakangan menyalipnya, lumba-lumba mungkin hewan berotak terbesar. (2) Hewan ini juga diperkirakan sebagai hewan tercerdas di dunia. (3) Berdasarkan persentase berat terhadap tubuh, otak lumba-lumba salah satu otak terbesar dalam dunia hewan.

(4) Lumba-lumba adalah hewan berordo cetacea. (5) Cetacea, seperti lumba-lumba, memisahkan diri dari mamalia lainnya sekitar 55 juta tahun lalu dan dari primata sejak 95 juta tahun yang lalu. (6) Pemisahan tersebut menghasilkan dua jenis tubuh dan dua macam otak yang berbeda. (7) Primata memiliki lobus frontalis besar untuk pengambilan keputusan, merencanakan sesuatu, dan penggunaan bahasa isyarat. (8) Lumba-lumba memiliki lobus frontalis kecil, namun memiliki kemampuan mengesankan dalam menyelesaikan masalah. (9) Lumba-lumba juga diperkirakan mampu merencanakan masa depan. (10) Selain itu, lumba-lumba juga memiliki sistem paralimbik yang sangat berkembang untuk memproses emosi. (11) Hal itu mungkin penting bagi ikatan emosional dan sosial yang sangat erat dalam masyarakat lumba-lumba.

(12) Lumba-lumba adalah hewan yang tidak dapat hidup sendiri. (13) Untuk berkomunikasi dan menerima rangsang, lumba-lumba memiliki sistem sonar. (14) Lumba-lumba harus menjadi bagian dari jaringan sosial yang kompleks yang bahkan melebihi manusia. (15) Ketika lumba-lumba mengalami masalah, kawanannya memperlihatkan solidaritas yang jarang terlihat pada kelompok hewan lain. (16) Jika ada satu yang sakit dan menuju air dangkal, seluruh kawanan kadang-kadang mengikuti.

Soal 1

Penulisan kata yang SALAH dalam bacaan di atas adalah…

(A) primata

(B) cetacea

(C) lobus frontalis

(D) paralimbik

(E) sonar

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

kata lobus frontalis berasal dari bahasa asing, sehingga ditulis miring lobus frontalis

Soal 2

Gagasan utama pada kalimat (15) adalah…

(A) Lumba-lumba mengalami masalah

(B) Solidaritas jarang terlihat

(C) Kawanannya memerlihatkan solidaritas

(D) Ketika lumba-lumba mengalami masalah kawanannya memerlihatkan solidaritas

(E) Lumba-lumba memiliki solidaritas

Pembahasan Antruwet

Jawaban: C

Soal 3

Pernyataan yang TIDAK sesuai dengan isi bacaan adalah…

(A) Lumba-lumba bukanlah hewan berotak besar

(B) Evolusi memisahkan lumba-lumba dengan primata

(C) Pada awalnya, lumba-lumba merupakan primata

(D) Lumba-lumba adalah hewan yang asosial

(E) Lumba-lumba berkomunikasi dengan sistem sonar

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Soal 4

Kalimat yang TIDAK efektif dalam bacaan di atas adalah kalimat…

(A) (1)

(B) (5)

(C) (7)

(D) (11)

(E) (14)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Soal 5

Kata berimbuhan yang TIDAK tepat adalah…

(A) menyalip pada kalimat (1)

(B) menyelesaikan pada kalimat (8)

(C) memproses pada kalimat (10)

(D) menerima pada kalimat (13)

(E) memerlihatkan pada kalimat (15)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

memerlihatkan seharusnya memperlihatkan

Soal nomor 6 sampai dengan nomor 10 berdasarkan Bacaan 2

Bacaan 2

(1) Potensi sumber daya air Indonesia sebenarnya cukup besar, yaitu 3.960 miliar meter kubik. (2) Kalimantan, Papua, dan Sumatra, merupakan area dengan potensi air permukaan sebesar 82 persen dari seluruh air permukaan di Indonesia. (3) Sementara itu, Pulau Jawa hanya mempunyai 4 persen, tetapi dihuni hampir 60 persen penduduk Indonesia. (4) Hal tersebut menyiratkan adanya potensi kelangkaan air.

(5) Kekeringan dan kelangkaan air adalah dua hal yang berbeda. (6) Kekurangan air secara alami akibat iklim dinamakan kekeringan. (7) Kekurangan air akibat pengurangan air oleh manusia dinamakan kelangkaan air.

(8) Ketersediaan air per kapita di Jawa adalah 1.168 meter kubik/orang/tahun, padahal batas ambang ideal adalah 1.700 meter kubik/orang/tahun. Karena itu, perlu dilakukan strategi penanggulangan kekeringan dengan mitigas kekeringan, manajemen kebutuhan air, dan manajemen alokasi air. (10) Pengelolaan sumber daya air dengan pendekatan Integrated Water Resources Management atau IWRM. (11) Selain itu, dilakukan prediksi kekeringan hidrologi, prediksi kelangkaan air, dan perkembangan iptek untuk mengatasi kelangkaan air.

(12) Pemerintah juga berencana membangun 49 bendungan di seluruh Indonesia untuk membantu memenuhi kebutuhan air masyarakat. (13) Selain sejumlah strategi yang disebutkan di atas, pemerintah, melalui Kementerian Pekerjaan Umum dan Perumahan Rakyat, akan bekerja sama dengan Kementerian Lingkungan Hidup dan Kehutanan, Kementerian Perindustrian, pemda setempat, masyarakat, serta Lembaga swadaya masyarakat.

Soal 6

Gagasan pokok seluruh bacaan di atas adalah…

(A) potensi sumber daya air dan kelangkaan air di Indonesia

(B) perbedaan kekeringan dan kelangkaan air di Indonesia

(C) cara-cara penanggulangan kelangkaan air di Indonesia

(D) rencana pemerintah untuk dalam penanggulangan kekeringan

(E) kerja sama antarinstansi dalam rangka mengatasi kekeringan

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Soal 7

Kata potensi dalam kalimat (4) bermakna…

(A) kecenderungan

(B) kemampuan

(C) perbedaan

(D) keberadaan

(E) permasalahan

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Soal 8

Kalimat perbaikan dari kalimat (10) adalah…

(A) pengelolaan sumber daya air melalui pendekatan Integrated Water Resources Management atau IWRM.

(B) pengelolaan sumber daya air dilakukan dengan pendekatan Integrated Water Resources Management atau IWRM.

(C) pengelolaan sumber daya air melakukan strategi Integrated Water Resources Management atau IWRM.

(D) strategi pengelolaan sumber daya air dengan melakukan Integrated Water Resources Management atau IWRM.

(E) strategi pengelolaan sumber daya air melakukan cara Integrated Water Resources Management atau IWRM.

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Soal 9

Kata tersebut pada kalimat (4) merujuk pada…

(A) persentase penduduk yang menghuni Pulau Jawa dibandingkan pulau lain

(B) perbandingan keadaan di Pulau Jawa dan pulau-pulau lain di Indonesia

(C) perbandingan potensi air permukaan dengan penduduk di Pulau Jawa

(D) potensi air permukaan yang menunjukkan perbedaan yang mencolok

(E) potensi air permukaan yang menyebabkan kelangkaan air di Pulau Jawa

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Soal 10

Simpulan bacaan di atas adalah…

(A) Penanggulangan kekeringan dan kelangkaan air di Indonesia perlu dilakukan sesegera mungkin

(B) Penanggulangan kekeringan dan kelangkaan air akan melibatkan pemerintah dan banyak pihak

(C) Penanggulangan kekeringan dan kelangkaan air merupakan dua hal penting yang bentuknya berbeda

(D) Penanggulangan kekeringan dan kelangkaan air merupakan bantuan dari pemerintah dan masyarakat

(E) Penanggulangan kekeringan dan kelangkaan air merupakan dua hal yang sangat penting dan mendesak

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Soal 11

Restorasi ekosistem itu merupakan upaya memulihkan hutan Gunung Tilu yang pernah dibuka oleh perambah. Kata restorasi dalam kalimat di atas memiliki keterkaitan makna dengan kata-kata berikut, KECUALI…

(A) pembangunan

(B) pemulihan

(C) pemugaran

(D) pengembalian

(E) perbaikan

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Soal 12

(1) “Anak adalah kehidupan karena hidup, sesungguhnya, dimulai dari kandungan.” (2) Itulah kalimat yang sesuai untuk mengisahkan perjalanan hidup Azalea Ayuningtyas. (3) Wanita ini menyisiri pelosok-pelosok desa untuk meningkatkan gizi dan nutrisi ibu hamil. (4) Kemampuannya membaca medan sehingga sebuah solusi yang nyata terlahir. Kata berimbuhan yang terdapat pada paragraf di atas memiliki makna kiasan, KECUALI…

(A) kandungan pada kalimat (1)

(B) perjalanan pada kalimat (2)

(C) menyisiri pada kalimat (3)

(D) terlahir pada kalimat (4)

(E) membaca pada kalimat (4)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Soal 13

(1) Hampir satu setengah abad lalu, Dewi Sartika dan R.A. Kartini memperjuangkan emansipasi. (2) Perjuangan mereka terbatas pada hak perempuan terhadap akses pendidikan, bukan lainnya. (3) Buah perjuangan mereka dapat kita rasakan, saat ini. (4) Kaum perempuan sekarang mempunyai akses yang luas terhadap pendidikan; dari pendidikan dasar hingga universitas. (5) Benarkah semangat perjuangan kedua perempuan tersebut tetap berada pada jalurnya? (6) Kali ini, dalam rangka memperingati hari lahir R.A. Kartini, kami akan membicarakan kiprah sejumlah wanita Indonesia.

Dua tanda baca yang SALAH dalam paragraf di atas adalah…

(A) tanda koma sesudah kata lalu kalimat (1) dan tanda koma sesudah kata pendidikan pada kalimat (2)

(B) tanda koma sesudah kata rasakan pada kalimat (3) dan tanda titik koma sesudah kata pendidikan pada kalimat (4)

(C) tanda titik pada kata A. Kartini pada kalimat (1) dan tanda titik pada kalimat (3)

(D) tanda koma sesudah kata ini dan tanda koma sesudah kata Kartini pada kalimat (6).

(E) tanda titik pada kalimat (2) dan tanda tanya pada kalimat (5)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Soal 14

(1) Setiap hari Minggu digelar sebuah lapak yang merupakan tempat belajar bahasa isyarat Indonesia atau Bisindo di Kawasan Bunderan Hotel Indonesia, Jakarta. (2) Phieter, penanggung jawab program belajar ini, mengatakan bahwa kaum tunarungu/tuli sering mendapat perlakuan diskriminatif karena ketidaktersediaan akses terhadap bahasa isyarat. (3) Keterbatasan akses bahasa tersebut merupakan kendala utama kaum tunarungu/tuli dalam mencapai kehidupan yang sejahtera. (4) Mereka sering tidak dilibatkan dalam kegiatan-kegiatan sosial karena hambatan komunikasi dengan orang lain. (5) Dengan adanya program belajar Bisindo tersebut, masyarakat umum diharapkan dapat mengetahui dan menghargai hak berbahasa kaum tunarungu/tuli.

Kata beragam nonformal pada paragraf di atas terdapat pada kalimat…

(A) (1)

(B) (2)

(C) (3)

(D) (4)

(E) (5)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

lapak adalah kata nonformal

Soal 15

(1) Dalam perkembangannya, hydrogen cyanide atau yang lebih dikenal dengan sianida digunakan sebagai senjata. (2) Pada zaman Romawi Kuno, sianida digunakan untuk meracuni anggota keluarga kerajaan dan orang-orang yang dianggap sebagai ancaman keamanan. (3) Selama Perang Dunia I, Prancis menggunakan zat ini sebagai senjata mereka dalam mengalahkan musuhnya. (4) Bahkan, senjata sianida ini dikembangkan secara lebih lanjut dalam bentuk cairan dengan efek yang mematikan. (5) Di Jerman, menjelang berakhirnya Perang Dunia II, sianida digunakan oleh Adolf Hitler, Eva Braun, serta beberapa pengikutnya untuk bunuh diri. (6) Sedangkan, di Jepang, zat tersebut digunakan oleh Chisako Kakehi untuk membunuh tujuh suaminya demi mendapatkan warisan.

Kata sambung yang TIDAK tepat pada paragraf di atas adalah…

(A) atau pada kalimat (1)

(B) dan pada kalimat (2)

(C) bahkan pada kalimat (4)

(D) serta pada kalimat (5)

(E) sedangkan pada kalimat (6)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Kata sedangkan seharusnya digunakan sebagai konjungsi intrakalimat

02/09/2022
Bahasa Indonesia 2021

Bacaan berikut ini dipergunakan untuk menjawab soal nomor 1 s.d. 3

(1) Rumah Banjar terdiri dari berbagai jenis. (2) Salah satunya adalah rumah Banjar Bubungan Tinggi karena menggunakan atap bubungan tinggi. (3) Rumahjenis ini merupakan jenis rumah yang bernilai paling tinggi di antara jenis-jenis rumah Banjar lainnya karena merupakan jenis rumah yang dipergunakan sebagai kediaman raja. (4) Oleh karena itu, rumah Bubungan Tinggi menjadi ikon dan maskot dari rumah tradisional Banjar.

(5) Seperti rumah adat lainnya di Nusantara, rumah adat Kalimantan Selatan ini juga memiliki nilai filosofis. (6) Rumah Banjar memiliki nilai filosofis dwitunggal semesta, yaitu kepercayaan bahwa rumah adalah tempat yang sakral karena dewata juga ikut mendiami tempat tersebut. (7) Hal ini terlihat pada keberadaan ukiran naga yang samar-samar pada badan rumah. (8) Ukiran naga tersebut merupakan perlambang alam bawah, sedangkan ukiran burung enggang gading melambangkan alam atas. (9) Selain itu, rumah Banjar yang atapnya membumbung tinggi merupakan perlambang pohon hayat. (10) Pohon hayat adalah simbol kosmis, yaitu cerminan berbagai dimensi yang menyatukan alam semesta. (11) Nilai filosofis lain juga terlihat pada atap rumah Banjar yang berbentuk seperti payung. (12) Payung dianggap sebagai simbol orientasi kekuasaan dan perlambang kebangsawanan.

Soal 1

Manakah pernyataan yang sesuai dengan isi bacaan di atas?

(A) Ukuran naga dan burung enggang gading merupakan simbol kekuasaan

(B) Atap rumah Banjar Bubungan Tinggi berbentuk persegi

(C) Simbol kosmis pada rumah Banjar diwujudkan dengan bentuk atapnya

(D) Rumah Banjar adalah simbol kebangsawanan

(E) Bubungan Tinggi adalah jenis rumah banjar yang paling tinggi

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Soal 2

Gagasan pokok kalimat (6) adalah…

(A) rumah Banjar memiliki nilai filosofis

(B) rumah Banjar sakral

(C) dewata mendiami tempat tersebut

(D) rumah adalah tempat yang sakral

(E) rumah Banjar adalah tempat sakral

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Soal 3

Ide pokok yang menjadi gagasan pendahulu teks tersebut adalah…

(A) rumah ada di Kalimantan Selatan

(B) simbol-simbol pada rumah Banjar

(C) asal-usul rumah Banjar

(D) jenis-jenis rumah Banjar

(E) peran rumah Banjar dalam budaya Kalimantan

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Bacaan berikut ini dipergunakan untuk menjawab soal nomor 4 s.d. 7

(1) Saat ini, sebagian besar satwa liar di Indonesia terancam punah. (2) Penyebabnya adalah berkurang dan rusaknya habitat dan perdagangan satwa liar. (3) Berkurangnya luas hutan menjadi faktor penting penyebab terancam punahnya satwa liar Indonesia karena hutan menjadi habitat utama bagi satwa liar. (4) Daratan Indonesia pada tahun 1950-an dilaporkan sekitar 84% berupa hutan (sekitar 162 juta ha). (5) Kini, disebutkan bahwa luasan hutan Indonesia sekitar 138 juta hektar. (6) Konversi hutan menjadi perkebunan sawit, tanaman industri, dan pertambangan menjadi ancaman serius bagi kelestarian satwa liar, termasuk satwa langka.

(….)

(7) Berbagai jenis satwa yang dilindungi dan terancam punah masih diperdagangkan secara bebas di Indonesia. (8) Makin langka satwa tersebut, makin mahal pula harganya. (9) Sebanyak 40% satwa liar yang diperdagangkan tersebut mati akibat proses penangkapan yang menyakitkan. (10) Selain itu, sekitar 60% mamalia yang diperdagangkan di pasar burung adalah jenis yang langka dan dilindungi undang-undang. (11) Di sisi lain, sebanyak 70% primata dan kakatua yang dipelihara masyarakat menderita penyakit dan penyimpangan perilaku.

Soal 4

Apa gagasan pendukung yang tepat untuk melanjutkan paragraf 1?

(A) Ancaman kepunahan satwa liar ada di depan mata

(B) Sanksi perdagangan satwa liar kurang keras

(C) Perburuan menyebabkan kepunahan

(D) Penyusutan hutan merupakan penyebab kepunahan satwa liar

(E) Perdagangan satwa liar mengancam kelestarian satwa liar

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Soal 5

Apa gagasan pokok paragraf (1)?

(A) Satwa liar Indonesia terancam punah

(B) Satwa liar banyak diperdagangkan

(C) Alih fungsi hutan mengancam keberadaan satwa liar

(D) Penyebabnya adalah berkurangnya habitat dan perdagangan satwa liar

(E) Perdagangan satwa liar masih banyak terjadi

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Bacaan berikut ini dipergunakan untuk menjawab soal nomor 7 s.d. 9

(1) Negara Indonesia masih memiliki banyak masalah kesehatan. (2) Masalahnya kesehatan yang banyak ditemukan adalah persoalan gizi, baik kelebihan gizi, maupun kekurangan gizi. (3) Hal tersebut terjadi bukan hanya karena keterbatasan pangan, melainkan kurangnya pengetahuan terhadap kandungan gizi dalam makanan. (4) Masalah lain adalah tingkat kepedulian masyarakat Indonesia terhadap kebersihan dan kesehatan masih rendah. (5) Berdasarkan data Kementerian Kesehatan, hanya 20 persen dari total masyarakat Indonesia yang peduli terhadap kebersihan dan kesehatan. (6) Selain itu, terdapat masalah infrastruktur yang belum merata dan kurang memadai. (7) Sebagian besar puskesmas dan rumah sakit masih berpusat di kota-kota besar. (8) Masalah lain adalah masalah distribusi yang belum merata, khususnya tenaga kesehatan. (9) Beberapa daerah masih kekurangan tenaga kesehatan, terutama dokter spesialis.

(10) Masalah kesehatan tersebut dapat diatasi melalui kegiatan antara masyarakat, pemerintah, dan ahli kesehatan. (11) Peran dari masyarakat sekitar adalah ikut peduli dalam menjaga kesehatan diri sendiri, keluarga, dan lingkungannya. (12) Di sisi lain, ahli kesehatan masyarakat dapat berperan sebagai sumber informasi dengan cara memberikan penyuluhan kesehatan di wilayah-wilayah.

Soal 7

Kata kegiatan pada kalimat (10) tidak tepat sehingga harus diganti dengan kata…

(A)  aktivitas

(B)  kombinasi

(C)  gabungan

(D)  perpaduan

(E)  sinergi

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Soal 8

Manakah kalimat ringkasan yang tepat untuk bacaan di atas?

(A) Masalah kesehatan yang banyak ditemukan adalah persoalan gizi, yaitu kelebihan gizi yang menyebabkan obesitas dan kekurangan gizi yang menyebabkan stunting.

(B) Sebagian besar daerah di Indonesia masih belum memiliki sarana kesehatan dan tenaga kesehatan yang mumpuni

(C) Masalah kesehatan dapat diatasi melalui peran serta masyarakat dan ahli kesehatan

(D) Indonesia masih memiliki banyak masalah kesehatan yang hanya dapat diatasi secara bersama antara masyarakat, pemerintah, dan ahli kesehatan

(E) Salah satu masalah kesehatan di Indonesia adalah masalah distribusi sarana, prasarana, dan tenaga medis yang tidak merata

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Soal 9

Pemerintah juga harus membangun pusat pelayanan kesehatan masyarakat di seluruh wilayah.

Posisi yang tepat untuk kalimat berikut dalam paragraf adalah…

(A) sesudah kalimat (8)

(B) sesudah kalimat (9)

(C) sesudah kalimat (7)

(D) sesudah kalimat (5)

(E) sesudah kalimat (4)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Bacaan berikut ini dipergunakan untuk menjawab soal nomor 10 s.d. 12

(1) Selama pandemi, hampir semua aktivitas dilakukan dengan menatap layar. (2) Bekerja dari rumah, berkoordinasi dengan rekan kerja, berinteraksi dengan keluarga maupun sahabat, bahkan belanja pun dilakukan melalui gawai. (3) Hal ini jelas mempengaruhi kesehatan mata. (4) Para ahli kesehatan menyatakan bahwa terjadi peningkatan pasien dengan keluhan pada area mata selama pandemi. (5) Keluhan yang muncul sangat beragam, mulai dari mata lelah hingga mata kering.

(6) Untuk itu, saat bekerja dari rumah, biasakan duduk dengan postur tubuh yang baik. (7) Selain itu, pencahayaan di ruang kerja juga harus sesuai yaitu, tidak terlalu terang atau terlalu gelap. (8) Saat berhadapan dengan komputer, kita harus sering berkedip. (9) Kedipan memperoduksi pelembap dan komponen penting lain yang dapat melindungi mata. (10) Jika sering menggunakan komputer, sebaiknya gunakan penyaring khusus pada layar monitor atau ponsel.

Soal 10

Penggunaan diksi yang salah terdapat pada kalimat…

(A) (2)

(B) (6)

(C) (7)

(D) (10)

(E) (9)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Pada kalimat (10) kata penyaring seharusnya pelindung

Soal 11

Penggunaan tanda baca yang salah terdapat pada kalimat…

(A) (1)

(B) (7)

(C) (6)

(D) (5)

(E) (10)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Tanda koma pada kalimat (7) harusnya sebelum kata yaitu

Soal 12

Manakah kalimat yang benar sebagai gabungan kalimat (8) dan (9)?

(A) Saat berhadapan dengan komputer, kita harus sering berkedip kendati kedipan yang memproduksi pelembap dan komponen penting lain dapat melindungi mata

(B) Saat berhadapan dengan komputer, kita harus sering berkedip hal ini karena kedipan memproduksi pelembap dan komponen penting lain yang dapat melindungi mata

(C) Saat berhadapan dengan komputer, kita harus sering berkedip karena kedipan memproduksi pelembap dan komponen penting lain yang dapat melindungi mata

(D) Saat berhadapan dengan komputer, selanjutnya kita harus sering berkedip disebabkan kedipan memproduksi pelembap dan komponen penting lain yang dapat melindungi mata

(E) Saat berhadapan dengan komputer, kita harus sering berkedip sehingga kedipan yang memproduksi pelembap dan komponen penting lain dapat melindungi mata

Pembahasan Anti ruwet

Jawaban: C

Soal 13

(1) Sepeda masuk ke Hindia Belanda pada tahun 1910-an. (2) Pada awalnya, sepeda digunakan oleh pegawai kolonial dan para bangsawan. (3) Selanjutnya, sepeda digunakan oleh para misionaris dan saudagar kaya. (4) Pada masa itu, harga sepeda sangat mahal. (5) Maka, penggunaannya pun berasal dari kalangan elit.

Penggunaan kata beragam nonformal terdapat pada kalimat…

(A) (5)

(B) (4)

(C) (3)

(D) (1)

(E) (2)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

elit seharusnya elite

Soal 14

(1) Gandrung adalah tarian khas Bumi Blambangan, sebutan ini bagi Banyuwangi. (2) Sebagai ikon Banyuwangi, ada di mana-mana. (3) Patung gandrung terpajang di berbagai sudut kota dan desa. (4) Namun, yang menakjubkan adalah Taman Gandrung Terakota di Kecamatan Licin. (5) Ratusan patung penari gandrung membentuk formasi indah di tengah persawahan terasering di kaki Gunung Ijen.

Kalimat yang tidak efektif pada paragraf di atas adalah kalimat…

(A) (2)

(B) (4)

(C) (5)

(D) (3)

(E) (1)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Kalimat 2 tidak memiliki subjek

Soal 15

Meskipun julukannya telephone mobile, tetapi bentuknya masih sangat besar sehingga harus ditenteng atau ditaruh di mobil.

Manakah perbaikan kalimat yang paling benar dari kalimat yang tidak efektif di atas?

(A) Meskipun julukannya telephone mobile, bentuknya masih sangat besar sehingga harus ditenteng atau ditaruh di mobil.

(B) Walaupun julukannya telephone mobile, namun bentuknya masih sangat besar hingga harus ditenteng atau ditaruh di mobil.

(C) Meskipun julukannya telephone mobile, namun bentuknya masih sangat besar sehingga harus ditenteng atau ditaruh di mobil.

(D) Meski julukannya telephone mobile, bentuknya masih sangat besar hingga harus ditenteng atau ditaruh di mobil.

(E) Meskipun julukannya telephone mobile, tetapi bentuknya masih sangat besar sehingga harus ditenteng atau ditaruh di mobil.

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Kalau sudah menggunakan kata meskipun, tidak perlu kata tetapi.

02/09/2022

0

Robot Pencari

Halo! Materi belajar apa yang ingin kamu cari hari ini?