Soal 1
Diketahui persamaan lingkaran \(\text{C}_1\) dan \(\text{C}_2\) berturut-turut adalah \(x^2 + y^2 = 25\) dan \((x-a)^2 + y^2 = r^2\). Lingkaran \(\text{C}_1\) dan \(\text{C}_2\) bersinggungan di titik \((5, 0)\). Jika garis \(l\) adalah garis singgung lingkaran \(\text{C}_1\) di titik \((3, 4)\) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran \(\text{C}_2\) di titik \(\text{ (m, n)}\), nilai \(\text{ m + n} = \dotso\)
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Jawaban: D
Mencari persamaan garis singgung lingkaran \(\text{C}_1\) di titik \((3, 4)\)
Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 25\) adalah \(x_1\cdot x + y_1\cdot y = 25\). Kemudian substitusikan titik \((3, 4)\) nya.
Persamaan garis singgung di \(\text{C}_1\) adalah \(3x +4y = 25\).
Persamaan garis singgung di \(\text{C}_1\) juga dapat dicari dengan cara lain, yaitu menggunakan rumus persamaan garis yang melalui dua buah titik yaitu titik (3, 4) dan titik (m, n)
\(\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
\(\dfrac{y – 4}{n – 4} = \dfrac{x – 3}{m – 3}\)
\((y – 4)(m – 3) = (n – 4)(x – 3)\)
\(my – 3y – 4m + 12 = nx – 3n – 4x + 12\)
\((m – 3)y – 4m = (n – 4)x – 3n\)
\((m – 3)y – (n – 4)x = 4m – 3n\dotso\dotso (1)\)
\(3x +4y = 25\dotso\dotso (2)\)
Samakan koefisien \(x\) dan \(y\) pada kedua persamaan di atas
\(m – 3 = 4\)
\(m = 7\)
\(-(n – 4) = 3\)
\(-n + 4 = 3\)
\(-n = 3 – 4\)
\(n = 1\)
Jadi nilai \(m + n = 7 + 1 = 8\)
Soal 2
Jika grafik fungsi kuadrat \(f(x) = (a – \sqrt{2})x^2 + (a- \sqrt{2})x + a – 1\) selalu berada di bawah sumbu \(x\) untuk \(a < m\), nilai \(3m = …\)
A. \(4 + \sqrt{2}\)
B. \(3 + \sqrt{2}\)
C. \(3 – \sqrt{2}\)
D. \(4 – \sqrt{2}\)
E. \(-3-\sqrt{2}\)
Jawaban: D
Karena grafik fungsi selalu berada di bawah sumbu \(x\) maka fungsi tersebut definit negatif artinya fungsinya selalu bernilai negatif.
Syarat definit negatif:
- a < 0
- b² − 4ac < 0, (nilai diskriminan negatif)
\(f(x) = (a – \sqrt{2})x^2 + (a- \sqrt{2})x + a – 1\)
- a \(= a – \sqrt{2}\)
- b \(= a – \sqrt{2}\)
- c \(= a – 1\)
Syarat 1: a < 0
\(a – \sqrt{2} < 0\)
\(a < \sqrt{2}\)
Syarat 2: b² − 4ac < 0
\((a – \sqrt{2})^2 – 4(a – \sqrt{2})(a – 1) < 0\)
\(a^2 – 2a\sqrt{2} + 2 -4(a^2 -a-a\sqrt{2} + \sqrt{2}) < 0\)
\(a^2 – 2a\sqrt{2}+ 2 -4a^2 +4a + 4a\sqrt{2} -4\sqrt{2}) < 0\)
\(a^2 -4a^2 – 2a\sqrt{2}+ 4a\sqrt{2} + 4a + 2 -4\sqrt{2} < 0\)
\(-3 a^2 + (2\sqrt{2}+ 4)a + 2 – 4\sqrt{2} < 0\)
\((-3a + 4 – \sqrt{2})(a – \sqrt{2}) < 0\)
\(\text{Pembuat nol:}\)
\(a = \sqrt{2} \text{ atau } a = \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\)
Iris penyelesaian dari syarat 1 dan syarat 2
Penyelesaian: \(a < \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\), sehingga \(m = \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\)
\(3m = 4 – \sqrt{2}\)
Soal 3
Jika \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\) merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut:
\(\begin{cases}4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x \\\\2x=1+5y \end{cases}\)
Nilai \(2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 = \dotso\)
A. −7
B. −6
C. −5
D. −4
E. −3
Jawaban: D
Substitusikan \(x = \dfrac{1 + 5y}{2}\) ke dalam persamaan \(4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x\)
\(4(\dfrac{1+5y}{2})^2 + 15y + 3 = 9(\dfrac{1 + 5y}{2})y + 2y^2 + 8(\dfrac{1 + 5y}{2})\)
\(\cancel{4}\cdot\dfrac{(1+5y)^2}{\cancel{4}} + 15y + 3 = 9(\dfrac{1 + 5y}{2})y + 2y^2 + \cancelto{4}{8}(\dfrac{1 + 5y}{\cancelto{1}{2}})\)
\(1 + 10y + 25y^2 + 15y + 3 = \frac{9}{2}(y + 5y^2) + 2y^2 + 4 + 20y\)
\( 25y^2 + 25y + \cancel{4} = \frac{9}{2}(y + 5y^2) + 2y^2 + \cancel{4} + 20y\)
\( 23y^2 + 5y = \frac{9}{2}(y + 5y^2)\)
\( 46y^2 + 10y = 9(y + 5y^2)\)
\( 46y^2 + 10y = 9y + 45y^2\)
\( y^2 + y = 0\)
\(y(y + 1) = 0\)
\(y_1 = 0, \rightarrow x_1 = \dfrac{1 + 5(0)}{2} = \dfrac{1}{2}\)
\(y_2 = -1, \rightarrow x_1 = \dfrac{1 + 5(-1)}{2} = -2\)
\(2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 = 2(\frac{1}{2}) + 0 + 2(-2) – 1 = -4\)
Soal 4
Jika suku banyak \(f(x)\) dibagi oleh \((x – 2)\) menghasilkan sisa \(10\), sisa pembagian suku banyak \(f(x)\) oleh \(x^2 – 3x + 2\) adalah…
A. \(f(1)(2-x) – 10(x – 1)\)
B. \(f(1)(x – 2) + 10(x – 1)\)
C. \(f(1)(x – 2) – 10(x + 1)\)
D. \(f(1)(2-x) + 10(x – 1)\)
E. \(f(1)(2-x) – 10(x + 1)\)
Jawaban: D
\(f(x)\) dibagi oleh \((x – 2)\) menghasilkan sisa \(10 \rightarrow f(2) = 10\)
Misalkan sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x^2 – 3x + 2\) adalah \(ax+b\)
\(f(x)= \text{pembagi} \times \text{ hasil bagi + sisa}\)
\(f(x) = (x^2 – 3x + 2)\text{H}(x) + (ax+ b)\)
\(f(x) = (x – 2)(x – 1)\text{H}(x) + (ax+ b)\)
- Untuk \(x = 2 \rightarrow f(2) = (2 – 2)(x – 1)\text{H}(2) + (2a+ b)\)
\(f(2) = 2a + b\)
\(10 = 2a + b\dotso\dotso (1)\)
- Untuk \(x = 1 \rightarrow f(1) = (x – 2)(1- 1)\text{H}(1) + (a+ b)\)
\(f(1) = a + b \dotso \dotso (2)\)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh:
\(a = 10 – f(1) \)
\(b = 2f(1) – 10\)
Substitusikan nilai \(a\) dan \(b\) ke dalam persamaan sisa = \(ax+b\)
Sisa = \((10 – f(1))x + 2f(1) – 10\)
Sisa = \(10x – f(1)x + 2f(1) – 10\)
Sisa = \(2f(1)- f(1)x + 2f(1) + 10x – 10\)
Sisa = \(f(1)(2 – x) + 10(x – 1)\)
Soal 5
Penyelesaian dari pertidaksamaan:
\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}} \leqslant x\) adalah…
A. \(x \geqslant \sqrt{5} – 2\)
B. \(x \geqslant \sqrt{5} – 1\)
C. \(x \geqslant \sqrt{5}\)
D. \(x \geqslant \sqrt{5} + 1\)
E. \(x \geqslant \sqrt{5} + 2\)
Jawaban: A
\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\sqrt{(x + 2)^2}} \leqslant x\:\:\:\:\:\color{blue}\sqrt{a^2} = \lvert a\lvert\)
\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\lvert x + 2 \lvert} \leqslant x\:\:\:\:\:\color{blue}\frac{\lvert a\lvert}{\lvert b\lvert} = \lvert\frac{a}{b}\lvert \)
\(\lvert \dfrac{1 – 2x}{x + 2 }\lvert \leqslant x\)
\(\color{blue}\lvert x \lvert \leqslant a \Leftrightarrow -a \leqslant x \leqslant a\)
\(-x \leqslant \dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)
\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2}\geqslant -x \text{ dan } \dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)
\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2}\geqslant -x\)
\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} + x \geqslant 0\)
\(\dfrac{1 – 2x + x(x + 2)}{x + 2}\geqslant 0\)
\(\dfrac{x^2 + 1}{x + 2} \geqslant 0\)
\(x^2 + 1 \text{ definit positif (selalu bernilai positif)}\)
\(x > -2\dotso\dotso (1)\)
\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)
\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} – x \leqslant 0\)
\(\dfrac{1 – 2x – x(x + 2)}{x + 2} \leqslant 0\)
\(\dfrac{1 – 2x – x^2 – 2x}{x + 2} \leqslant 0\)
\(\dfrac{-(x^2 + 4x – 1)}{x + 2} \leqslant 0\)
\(\dfrac{(x^2 + 4x – 1)}{x + 2} \geqslant 0\)
\(\text{Akar-akar } x^2 + 4x – 1 \) adalah \(-2 – \sqrt{5}\) dan \(-2 + \sqrt{5}\)
\(-2 – \sqrt{5} \leqslant x < – 2\text{ atau } x \geqslant -2 + \sqrt{5}\dotso\dotso (2)\)
Irisan penyelesaian (1) dan (2) adalah \(x \geqslant -2 + \sqrt{5}\)
Soal 6
Diberikan deret geometri
\(1-(a + 3) + (a + 3)^2 – (a + 3)^3 + \dotso = 2a + 9\) dengan \(-4 < a < -2\). Jika \(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru, nilai \(2a + b = \dotso\)
A. 7
B. 0
C. −7
D. −14
E. −21
Jawaban: E
Langkah 1: Menghitung rasio dari deret geometri
\(r = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1}\)
\(r = \dfrac{-(a + 3)}{1} = -a – 3\)
Langkah 2: Menghitung nilai \(a\)
Nilai \(a\) dapat dihitung dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga
\(s_{\infty} = \dfrac{a}{1 – r}\)
\(2a + 9 = \dfrac{1}{1 – (-a – 3)}\)
\(2a + 9 = \dfrac{1}{a + 4}\)
\((2a + 9)(a + 4) = 1\)
\(2a^2 + 8a + 9a + 36 = 1\)
\(2a^2 + 17a + 35 = 0\)
\((2a + 7)(a + 5) = 0\)
\(2a + 7 = 0 \rightarrow a = -\frac{7}{2}\)
\(a + 5 = 0 \rightarrow a = -5\)
Tidak memenuhi karena -4 < a < -2
Langkah 3: Menghitung nilai \(b\)
\(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru
\(\dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{\text{U}_3}{\text{U}_2}\)
\(\dfrac{-7}{a} = \dfrac{b}{-7}\)
\(\dfrac{-7}{-\frac{7}{2}} = \dfrac{b}{-7}\)
\(\dfrac{2}{1} = \dfrac{b}{-7}\)
\( b = -14\)
Langkah 4: Menghitung nilai \(2a + b\)
\(2a + b = 2(-\frac{7}{2}) + (-14) = -21\)
Soal 7
Jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan:
\(6\cos x – 2\cos x \sin 2x – 4 \cos^2 x + 3\sin 2x – 2\sin x – 2 = 0\) untuk \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi\)
adalah…
A. \(-\frac{\pi}{2}\)
B. \(-\frac{\pi}{3}\)
C. \(0\)
D. \(\frac{\pi}{3}\)
E. \(\frac{\pi}{2}\)
Jawaban: A
Ubah \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
\(6\cos x – 2\cos x \sin 2x – 4 \cos^2 x + 3\sin 2x – 2\sin x – 2 = 0\)
\(6\cos x – 2\cos x (2 \sin x \cos x) – 4 \cos^2 x + 3(2 \sin x \cos x)- 2\sin x – 2 = 0\)
\(6\cos x – 4\cos^2 x \sin x – 4 \cos^2 x + 6 \sin x \cos x- 2\sin x – 2 = 0\)
\(- 4\cos^2 x \sin x – 4 \cos^2 x + 6\cos x + 6 \sin x \cos x- 2\sin x – 2 = 0\)
\(- 4\cos^2 x (\sin x + 1) + 6\cos x(\sin x + 1)- 2(\sin x + 1) = 0\)
\((\sin x + 1)(- 4\cos^2 x + 6\cos x – 2) = 0\)
\((\sin x + 1)(- 4\cos x + 2)(\cos x – 1) = 0\)
- \(\sin x + 1 = 0 \rightarrow \sin x = -1 \rightarrow x = -\frac{\pi}{2}\)
- \(- 4\cos x + 2 = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}\)
- \(\cos x – 1 = 0 \rightarrow \cos x = 1 \rightarrow x = 0\)
Jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi =
\(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{2}\)
Soal 8
Jika \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\), maka
\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(f(x) – 3)((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{((f(x)^2 +f(x) – 12)(x – 1)}= \dotso\)
A. −4
B. −2
C. −1
D. 0
E. 1
Jawaban: B
\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(f(x) – 3)((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{((f(x)^2 +f(x) – 12)(x – 1)}\)
\(\lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(f(x) – 3)}((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{\cancel{(f(x)-3)}(f(x) + 4)(x – 1)}\)
\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(3^2 – 4(3) + 1)(x + 5)}{(3 + 4)(x – 1)}\)
\(\dfrac{-2(2 + 5)}{7(2 -1)}\)
\(\dfrac{-14}{7}\)
\(-2\)
Soal 9
Jika \(\int_a^b f'(x)f(x)\:\mathrm{d}x = 10\) dan \(f(a) = 2 + f(b)\), nilai \(f(b) = \dotso\)
A. −2
B. −4
C. −6
D. −8
E. −10
Jawaban: C
$$\bbox[yellow, 5px]{\int [f(x)]^n \:\mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1}\cdot \frac{1}{f'(x)} [f(x)]^{n + 1} + \text{c}}$$
\(\int_a^b f'(x)[f(x)]^1\:\mathrm{d}x = 10\)
\(\left. \cancel{f'(x)}\cdot \dfrac{1}{1 + 1} \cdot \dfrac{1}{\cancel{f'(x)}} \cdot [f(x)]^{1 + 1}\right|_a^b= 10\)
\(\left. \dfrac{1}{2}[f(x)]^2\right|_a^b= 10\)
\(\frac{1}{2}[f(b)]^2 – \frac{1}{2}[f(a)]^2 = 10\)
\([f(b)]^2 – [f(a)]^2 = 20\)
\([f(b)]^2 – [2 + f(b)]^2 = 20\)
\(\cancel{[f(b)]^2} – (4 + 4f(b) + \cancel{[f(b)]^2}) = 20\)
\(-4 – 4f(b) = 20\)
\(-4f(b) = 24\)
\(f(b) = -\dfrac{24}{4}\)
\(f(b) = -6\)
Soal 10
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Titik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah dari EH, FG, AD, dan BC. Jika bidang PQRS dan ACH berpotongan di garis MN, perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus adalah…
A. \(\sqrt{3} : 16\)
B. \(\sqrt{3} : 18\)
C. \(\sqrt{3} : 24\)
D. \(\sqrt{3} : 48\)
E. \(\sqrt{3} : 50\)
Jawaban: D
Segitiga AMN adalah segitiga sama sisi, karena panjang AM dan AN adalah setengah panjang diagonal bidang kubus = \(\sqrt{2}\)
Sedangkan MN dapat dicari menggunakan pythagoras dari segitiga siku-siku MRN
\(\text{MN}^2 = \text{RN}^2 + \text{RM}^2\)
\(\text{MN}^2 = 1^2 + 1^2\)
\(\text{MN} = \sqrt{2}\)
Perhatikan segitiga AMN,
Tinggi segitiga AMN dapat dicari menggunakan rumus pythagoras
\(\text{MO}^2 + t^2 = \text{AM}^2\)
\((\frac{1}{2}\sqrt{2})^2 + t^2 = (\sqrt{2})^2\)
\(\frac{1}{2} + t^2 = 2\)
\( t^2 = 2 – \frac{1}{2}\)
\( t^2 = \frac{3}{2}\)
\(t = \sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(t = \frac{1}{2}\sqrt{6}\)
\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{2}\cdot \text{MN}\cdot t\)
\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{6}\)
\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{4}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
\(\text{Luas permukaan kubus} = 6\cdot r^2\)
\(\text{Luas permukaan kubus} = 6\cdot 2^2 = 24\)
Perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus = \(\frac{1}{2}\sqrt{3} : 24 = \sqrt{3} : 48\)
Soal 11
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Titik P adalah titik tengah rusuk AB. Jika titik Q adalah titik perpotongan BE dan PF, jarak antara titik Q dan titik C adalah…
A. \(4\sqrt{11}\)
B. \(3\sqrt{11}\)
C. \(2\sqrt{11}\)
D. \(\sqrt{11}\)
E. \(\frac{1}{2}\sqrt{11}\)
Jawaban: C
Langkah 1: Perhatikan kesebangunan antara segitiga PBQ dengan segitiga FEQ
\(\dfrac{\text{PB}}{\text{FE}} = \dfrac{\text{BQ}}{\text{EQ}}\)
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{BQ}}{\text{EQ}}\)
\(\text{BQ} : \text{EQ} = 1 : 2\)
\(\text{BQ} = \dfrac{1}{1 + 2}\cdot \text{BE}\)
\(\text{BQ} = \dfrac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
Langkah 2: Perhatikan segitiga siku-siku QBC
Panjang CQ dapat dihitung dengan rumus pythagoras
\(\text{BQ}^2 + \text{BC}^2 = \text{CQ}^2\)
\((2\sqrt{2})^2 + 6^2 = \text{CQ}^2\)
\(8 + 36 = \text{CQ}^2\)
\(44 = \text{CQ}^2\)
\(\text{CQ} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}\text{ cm}\)
Soal 12
Diketahui \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 – 5x + c = 0, a \neq 0\). Jika \(p, q, \dfrac{1}{8pq}\) membentuk barisan geometri dan \(^a\log 18 + ^a\log p = 1\), nilai \(a + c = \dotso\)
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. 3
D. 5
E. 7
Jawaban: E
Langkah 1: Menyelesaikan persamaan logaritma
\(^a\log 18 + ^a\log p = 1\)
\(^a\log 18p = 1\)
\(18p = a\)
\(p = \dfrac{a}{18}\)
Langkah 2: Menghitung nilai \(q\)
\(p, q, \dfrac{1}{8pq}\) membentuk barisan geometri
\(\dfrac{q}{p} = \dfrac{\frac{1}{8pq}}{q}\)
\(q^2 = \dfrac{\cancel{p}}{8\cancel{p}q}\)
\(q^3 = \dfrac{1}{8}\)
\(q = \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2}\)
Langkah 3: Menyelesaikan persamaan kuadrat
\(ax^2 – 5x + c = 0\) memiliki akar-akar \(p\) dan \(q\)
\(p + q = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{5}{a}\)
\(\dfrac{a}{18} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{a}\)
\(\dfrac{a + 9}{18} = \dfrac{5}{a}\)
\(a^2 + 9a = 90\)
\(a^2 + 9a – 90 = 0\)
\((a + 15)(a – 6) = 0\)
\(a = -15 \:\:\:\color{red} \text{ tidak memenuhi}\)
\(a = 6 \:\:\:\color{blue}\text{ memenuhi}\)
Karena \(q = \dfrac{1}{2}\) adalah akar dari persamaan kuadrat \(6x^2 – 5x + c = 0\) maka:
\(6(\dfrac{1}{2})^2 – 5(\dfrac{1}{2}) + c = 0\)
\(\dfrac{3}{2} – \dfrac{5}{2} + c = 0\)
\(-1 + c = 0\)
\(c = 1\)
\(a + c = 6 + 1 = 7\)
Soal 13
Diketahui vektor
\(\text{u} = (1, 0, 2), \text{v} = (-1, 2, 0), \text{w} = (3, 1, 1),\text {dan } \text{x} = (6, -1, 5)\). Jika \(\text{x} = k\text{u} + l\text{v} + m\text{w}\) dan \(\text{y} = (k + l)\text{u}\)
maka…
(1) \(k + l + m = 2\)
(2) cosinus sudut antara u dan v adalah \(-\frac{1}{5}\)
(3) \(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = 4\)
(4) \(|\text{y}| = |\text{u}|\), tetapi y berlawanan arah dengan u
Membuktikan pernyataan ke-1
\(\text{x} = k\text{u} + l\text{v} + m\text{w}\)
\(\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right) = k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right) + l\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+ m\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}k-l+3m\\ 0+2l+m\\ 2k+0+m\end{array}\right)\)
\(\begin{cases}k-l+3m=6 & \dotso(1)\\\\2l+m = -1 & \dotso (2)\\\\2k+m = 5&\dotso (3)\end{cases}\)
Eliminasi ketiga persamaan di atas untuk mendapatkan nilai \(m = 1, l = -1, \text{ dan } k = 2\)
\(k + l + m = 2 – 1 + 1 = 2\)
Pernyataan ke-1 benar
Membuktikan pernyataan ke-2
\(\cos \theta = \dfrac{\text{u}\cdot \text{v}}{|\text{u}|\cdot |\text{v}|}\)
\(\cos \theta = \dfrac{\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2 \\ 0\end{array}\right)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2}\cdot \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2}}\)
\(\cos \theta = \dfrac{-1 + 0 + 0}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\)
\(\cos \theta = \dfrac{1}{5}\)
Pernyataan ke-2 benar
Membuktikan pernyataan ke-3
\(\text{y} = (k + l)\text{u}\)
\(\text{y} =(2-1)\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 2\end{array}\right)\)
\(\text{y} = \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 2\end{array}\right)\)
\(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = \sqrt{\left(\begin{array}{c}6\\-1\\5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\2\end{array}\right)}=\sqrt{6 + 0 + 10}\)
\(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = \sqrt{16} = 4\)
Pernyataan ke-3 benar
Membuktikan pernyataan ke-4
\(|\text{y}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
\(|\text{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
\(\text{Jadi, } |\text{y}| = |\text{u}|\)
y dan u adalah vektor yang sama, sehingga besar dan arahnya sama
Pernyataan ke-4 salah
Soal 14
Jika \(\sin 3^{\circ} = a\), maka…
(1) \(\sin 3^{\circ} – 2 \sin 63^{\circ} = \sqrt{3 – 3a^2}\)
(2) \(2\sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = 2a + \sqrt{3 – 3a^2}\)
(3) \(3 \sin 3^{\circ} – 2\sin 63^{\circ} = a – \sqrt{3 – 3a^2}\)
(4) \(2 \sin 3^{\circ} – 4\sin 63^{\circ} = -2\sqrt{3 – 3a^2}\)
$$\bbox[yellow, 5px]{\sin (a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b}$$
\( \sin 63^{\circ} = \sin (60^{\circ} + 3^{\circ}) = \sin 60^{\circ}\cdot \cos 3^{\circ} + \cos 60^{\circ}\cdot \sin 3^{\circ}\)
\( \sin 63^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \sqrt{1- a^2} + \frac{1}{2}\cdot a\)
\( \sin 63^{\circ} = \frac{1}{2}(\sqrt{3 – 3a^2} + a)\)
Membuktikan pernyataan ke-1
\(\sin 3^{\circ} – 2 \sin 63^{\circ} = a – \cancel{2}\cdot\frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) \neq \sqrt{3 – 3a^2}\)
Pernyataan ke-1 salah
Membuktikan pernyataan ke-2
\(2\sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = \cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) + a = 2a + \sqrt{3 – 3a^2}\)
Pernyataan ke-2 benar
Membuktikan pernyataan ke-3
\(3 \sin 3^{\circ} – 2\sin 63^{\circ} = 3a – \cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) \neq a – \sqrt{3 – 3a^2}\)
Pernyataan ke-3 salah
Membuktikan pernyataan ke-4
\(2 \sin 3^{\circ} – 4\sin 63^{\circ} = 2a – \cancelto{2}{4}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) = -2\sqrt{3 – 3a^2}\)
Pernyataan ke-4 benar
Soal 15
Jika \(f(x) = 2x – 3x^{\frac{2}{3}}\) dengan \(x \in[-1, 3]\) maka…
(1) nilai minimum \(f\) adalah \(-5\)
(2) nilai minimum \(f\) terjadi saat \(x = -1\)
(3) \(f\) naik pada interval (-1,0) atau (1,3)
(4) \(f\) turun pada interval (0, 1)
Membuktikan pernyataan ke-1
Titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)
\(2- 3\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} – 1} = 0\)
\(2 – 2x^{-\frac{1}{3}} = 0\)
\(2(1-x^{-\frac{1}{3}}) = 0\)
\(1 = x^{-\frac{1}{3}}\)
\(x = 1\)
\(f(1) = 2(1) – 3(1)^{\frac{2}{3}} = -1\)
cek juga nilai ujung-ujung interval [-1, 3]
\(f(-1) = 2(-1) – 3(-1)^{\frac{2}{3}} = -5\:\:\:\color{blue}\text{ nilai minimum}\)
\(f(3) = 2(3) – 3(3)^{\frac{2}{3}} = 6 – 3(3)^{\frac{2}{3}}\)
Pernyataan ke-1 benar
Membuktikan pernyataan ke-2
Nilai minimum \(f\) terjadi saat \(x = -1\)
Pernyataan ke-2 benar
Membuktikan pernyataan ke-3
\(f\) naik jika \(f'(x) > 0\)
\(2 – 2x^{-\frac{1}{3}} > 0\)
\(2(1-x^{-\frac{1}{3}}) > 0\)
\(1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}>0\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}>0\)
Karena \(x \in[-1, 3]\) maka \(f\) naik pada interval [-1,0) atau (1, 3].
Sehingga, pada interval (-1,0) atau (1, 3) fungsi \(f\) juga naik
Pernyataan ke-3 benar
Membuktikan pernyataan ke-4
\(f\) turun jika \(f'(x) < 0\)
\(f\) turun pada interval (0, 1)
Pernyataan ke-4 benar
