Soal Latihan Tryout TKA Matematika SMP Tahap 2

Kunci Jawaban:
Opsi A ($-5^\circ\text{C}$)

1. Menghitung Durasi Waktu Pemadaman Listrik:

Hitung selang waktu dari pukul 13.15 sampai 14.30:

$\begin{align*} \text{Durasi waktu} &= 14.30 \:-\: 13.15 \\[6pt] &= 1\text{ jam } 15\text{ menit} \\[6pt] &= 60\text{ menit} + 15\text{ menit} = 75\text{ menit} \end{align*}$

2. Menghitung Frekuensi dan Total Kenaikan Suhu:

Karena suhu naik setiap 15 menit, maka banyaknya kenaikan suhu ($n$) adalah:

$\begin{align*} n &= \frac{75\text{ menit}}{15\text{ menit}} = 5\text{ kali} \\[6pt] \text{Total kenaikan suhu} &= 5 \times 3^\circ\text{C} = 15^\circ\text{C} \end{align*}$

3. Menghitung Suhu Akhir Kulkas:

$\begin{align*} \text{Suhu akhir} &= \text{Suhu awal} + \text{Total kenaikan suhu} \\[6pt] &= -20^\circ\text{C} + 15^\circ\text{C} \\[6pt] &= -5^\circ\text{C} \end{align*}$

Visualisasi Garis Waktu Perubahan Suhu:

Rendered by QuickLaTeX.com

Kunci Jawaban:
Opsi B ($385\% < 3\frac{6}{7}$)

1. Mengubah Seluruh Bilangan ke Bentuk Desimal:

Agar mudah diperbandingkan, ubah setiap nilai ke bentuk desimal hingga 3 angka di belakang koma:

$\begin{align*} 3\frac{6}{7} &= 3 + \frac{6}{7} \approx 3 + 0{,}8571 = 3{,}857 \\[6pt] \frac{29}{8} &= 3\frac{5}{8} = 3 + 0{,}625 = 3{,}625 \\[6pt] 385\% &= \frac{385}{100} = 3{,}850 \\[6pt] 3{,}71 &= 3{,}710 \end{align*}$

2. Mengurutkan Nilai dari Terkecil ke Terbesar:

$\begin{align*} 3{,}625 < 3{,}710 < 3{,}850 < 3{,}857 \\[6pt] \frac{29}{8} < 3{,}71 < 385\% < 3\frac{6}{7} \end{align*}$

3. Menguji Setiap Pilihan Pernyataan:

Pilihan A: $3\frac{6}{7} < \frac{29}{8} \iff 3{,}857 < 3{,}625$ (Salah).

Pilihan B: $385\% < 3\frac{6}{7} \iff 3{,}850 < 3{,}857$ (BENAR).

Pilihan C: $3{,}71 > 385\% \iff 3{,}710 > 3{,}850$ (Salah).

Pilihan D: $3{,}71 < \frac{29}{8} \iff 3{,}710 < 3{,}625$ (Salah).

Visualisasi Garis Bilangan:

Rendered by QuickLaTeX.com

Kunci Jawaban:
Opsi C ($2^3 \times 3^3 \times 5^2$)

1. Menentukan Faktorisasi Prima Masing-Masing Bilangan:

Faktorisasi 216:
$216 = 2 \times 108 = 2 \times 2 \times 54 = 2^3 \times 27 = \mathbf{2^3 \times 3^3}$
Faktorisasi 300:
$300 = 3 \times 100 = 3 \times 10^2 = 3 \times (2 \times 5)^2 = \mathbf{2^2 \times 3 \times 5^2}$
Faktorisasi 360:
$360 = 36 \times 10 = (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^3 \times 3^2 \times 5}$

2. Aturan Menentukan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil):

Untuk menentukan KPK, pilih seluruh faktor prima yang muncul dengan pangkat tertinggi:

Faktor $2$: pangkat tertinggi adalah $2^3$
Faktor $3$: pangkat tertinggi adalah $3^3$
Faktor $5$: pangkat tertinggi adalah $5^2$

$\begin{align*} \text{KPK} &= 2^3 \times 3^3 \times 5^2 \end{align*}$

Tabel Ringkasan Pangkat Faktor:

Bilangan	Faktor 2	Faktor 3	Faktor 5
216	2³	3³	–
300	2²	3¹	5²
360	2³	3²	5¹
KPK (Pangkat Tertinggi)	2³	3³	5²

Jadi, KPK dari ketiga bilangan tersebut adalah $2^3 \times 3^3 \times 5^2$ (Opsi C).

Kunci Jawaban:
Opsi A ($146\text{ m}^2$)

1. Memahami Bagian-Bagian Tenda yang Membutuhkan Kain:

Karena tenda dibuat tanpa alas dan bagian dalam tenda menyatu (tanpa sekat antara balok dan atap), maka luas kain tenda terdiri dari:

4 dinding tegak balok (2 dinding samping + 1 dinding depan + 1 dinding belakang).
2 dinding segitiga atap (segitiga depan + segitiga belakang).
2 sisi miring atap (atap kiri + atap kanan).

2. Menghitung Tinggi Atap Segitiga (Teorema Pythagoras):

Segitiga atap merupakan segitiga sama kaki dengan alas $6\text{ m}$ dan sisi miring $5\text{ m}$. Setengah panjang alas segitiga adalah $\frac{6}{2} = 3\text{ m}$:

$\begin{align*} t_{\text{segitiga}} &= \sqrt{5^2 \:-\: 3^2} \\[6pt] &= \sqrt{25 \:-\: 9} \\[6pt] &= \sqrt{16} = 4\text{ m} \end{align*}$

3. Menghitung Masing-Masing Luas Permukaan:

Luas 4 dinding tegak (balok):
$\begin{align*} L_{\text{dinding}} &= 2 \times (p \times t) + 2 \times (l \times t) \\[6pt] &= 2 \times (8 \times 1{,}5) + 2 \times (6 \times 1{,}5) \\[6pt] &= 2 \times 12 + 2 \times 9 \\[6pt] &= 24 + 18 = 42\text{ m}^2 \end{align*}$
Luas 2 sisi segitiga atap (depan dan belakang):
$\begin{align*} L_{\text{segitiga}} &= 2 \times \left(\frac{1}{2} \times \text{alas} \times t_{\text{segitiga}}\right) \\[6pt] &= 2 \times \left(\frac{1}{2} \times 6 \times 4\right) \\[6pt] &= 24\text{ m}^2 \end{align*}$
Luas 2 bidang miring atap (persegi panjang):
$\begin{align*} L_{\text{atap}} &= 2 \times (\text{panjang} \times \text{sisi miring}) \\[6pt] &= 2 \times (8 \times 5) \\[6pt] &= 80\text{ m}^2 \end{align*}$

4. Menghitung Total Luas Kain Tenda Minimum:

$\begin{align*} L_{\text{total}} &= L_{\text{dinding}} + L_{\text{segitiga}} + L_{\text{atap}} \\[6pt] &= 42 + 24 + 80 \\[6pt] &= 146\text{ m}^2 \end{align*}$

Kesimpulan:

Luas kain tenda minimum yang dibutuhkan adalah $146\text{ m}^2$ (Opsi A).

Kunci Jawaban:
Pernyataan 1, 2, dan 4 BENAR

1. Memahami Arti Skala $1 : 200$:

Skala $1 : 200$ artinya setiap jarak $1\text{ cm}$ pada denah mewakili ukuran sebenarnya sebesar:

$\begin{align*} 1\text{ cm pada peta} &= 200\text{ cm sebenarnya} = 2\text{ meter} \end{align*}$

2. Analisis Kamar Tidur Pertama:

Berdasarkan garis dimensi pada denah:

Panjang pada peta $= 3{,}00\text{ cm}$ (sesuai dimensi samping kanan baris atas).
Lebar pada peta $= 2{,}50\text{ cm}$ (sesuai dimensi atas).

Sehingga ukuran kamar tidur pertama pada peta adalah $3{,}00\text{ cm} \times 2{,}50\text{ cm}$ (Pernyataan 1 BENAR).

Menghitung ukuran sebenarnya:

$\begin{align*} p_{\text{sebenarnya}} &= 3{,}00 \times 2\text{ m} = 6\text{ m} \\[6pt] l_{\text{sebenarnya}} &= 2{,}50 \times 2\text{ m} = 5\text{ m} \\[6pt] \text{Luas sebenarnya} &= 6\text{ m} \times 5\text{ m} = 30\text{ m}^2 \end{align*}$

Karena luas sebenarnya adalah $30\text{ m}^2$, maka pernyataan yang menyebutkan $20\text{ m}^2$ bernilai (Pernyataan 3 SALAH).

3. Analisis Kamar Mandi:

Berdasarkan dimensi pada denah:

Panjang pada peta $= 2{,}00\text{ cm}$
Lebar pada peta $= 1{,}5\text{ cm}$

Menghitung ukuran sebenarnya:

$\begin{align*} p_{\text{sebenarnya}} &= 2{,}00 \times 2\text{ m} = 4\text{ m} \\[6pt] l_{\text{sebenarnya}} &= 1{,}5 \times 2\text{ m} = 3\text{ m} \end{align*}$

Menghitung keliling sebenarnya:

$\begin{align*} K &= 2 \times (p_{\text{sebenarnya}} + l_{\text{sebenarnya}}) \\[6pt] &= 2 \times (4\text{ m} + 3\text{ m}) \\[6pt] &= 2 \times 7\text{ m} = 14\text{ m} \quad (\text{\color{teal}\bfseries Pernyataan 2 BENAR}) \end{align*}$

Menghitung luas sebenarnya:

$\begin{align*} L &= p_{\text{sebenarnya}} \times l_{\text{sebenarnya}} \\[6pt] &= 4\text{ m} \times 3\text{ m} = 12\text{ m}^2 \quad (\text{\color{teal}\bfseries Pernyataan 4 BENAR}) \end{align*}$

Kesimpulan:

Pernyataan yang bernilai benar adalah:

Ukuran kamar tidur pertama pada peta adalah $3{,}00\text{ cm} \times 2{,}50\text{ cm}$
Keliling kamar mandi sebenarnya adalah $14\text{ m}$
Luas kamar mandi sebenarnya adalah $12\text{ m}^2$

Kunci Jawaban:
Opsi C (8 jam)

1. Menghitung Total Beban Pekerjaan:

Beban pekerjaan dapat dinyatakan dalam satuan mesin-jam:

$\begin{align*} \text{Total beban kerja} &= 6\text{ mesin} \times 10\text{ jam} = 60\text{ mesin}\cdot\text{jam} \end{align*}$

2. Menghitung Sisa Beban Pekerjaan:

Keenam mesin telah bekerja selama 2 jam:

$\begin{align*} \text{Pekerjaan selesai} &= 6\text{ mesin} \times 2\text{ jam} = 12\text{ mesin}\cdot\text{jam} \\[6pt] \text{Sisa pekerjaan} &= 60\text{ mesin}\cdot\text{jam} \:-\: 12\text{ mesin}\cdot\text{jam} = 48\text{ mesin}\cdot\text{jam} \end{align*}$

3. Menghitung Waktu Penyelesaian Sisa Pekerjaan:

Pabrik menambah 2 mesin baru, sehingga jumlah mesin yang beroperasi menjadi:

$\begin{align*} \text{Jumlah mesin} &= 6 + 2 = 8\text{ mesin} \\[6pt] \text{Waktu tambahan} &= \frac{\text{Sisa pekerjaan}}{\text{Jumlah mesin}} = \frac{48\text{ mesin}\cdot\text{jam}}{8\text{ mesin}} = 6\text{ jam} \end{align*}$

4. Menghitung Total Waktu dari Awal Hingga Selesai:

Lama waktu keseluruhan dari awal pengerjaan adalah:

$\begin{align*} t_{\text{total}} &= t_{\text{awal}} + t_{\text{tambahan}} \\[6pt] &= 2\text{ jam} + 6\text{ jam} = 8\text{ jam} \end{align*}$

Visualisasi Alur Kerja Mesin:

Rendered by QuickLaTeX.com

Pernyataan	Benar	Salah
(1) \(2P \:-\: Q = 3x \:-\: 8\)	…	…
(2) \(P \:-\: 2Q = -13\)	…	…
(3) \(2P + 2Q = 6x + 5\)	…	…

Kunci Jawaban:
Benar, Benar, Salah

1. Pembuktian Pernyataan (1): $2P \:-\: Q$

Substitusikan $P = 2x \:-\: 1$ dan $Q = x + 6$:

$\begin{align*} 2P \:-\: Q &= 2(2x \:-\: 1) \:-\: (x + 6) \\[6pt] &= 4x \:-\: 2 \:-\: x \:-\: 6 \\[6pt] &= (4x \:-\: x) + (-2 \:-\: 6) \\[6pt] &= 3x \:-\: 8 \end{align*}$

Hasil sesuai dengan pernyataan $\implies$ BENAR.

2. Pembuktian Pernyataan (2): $P \:-\: 2Q$

Substitusikan nilai $P$ dan $Q$:

$\begin{align*} P \:-\: 2Q &= (2x \:-\: 1) \:-\: 2(x + 6) \\[6pt] &= 2x \:-\: 1 \:-\: 2x \:-\: 12 \\[6pt] &= (2x \:-\: 2x) + (-1 \:-\: 12) \\[6pt] &= 0 \:-\: 13 = -13 \end{align*}$

Hasil sesuai dengan pernyataan $\implies$ BENAR.

3. Pembuktian Pernyataan (3): $2P + 2Q$

Substitusikan nilai $P$ dan $Q$:

$\begin{align*} 2P + 2Q &= 2(2x \:-\: 1) + 2(x + 6) \\[6pt] &= 4x \:-\: 2 + 2x + 12 \\[6pt] &= (4x + 2x) + (-2 + 12) \\[6pt] &= 6x + 10 \end{align*}$

Karena hasil perhitungan adalah $6x + 10$ (bukan $6x + 5$) $\implies$ SALAH.

Tabel Jawaban Akhir:

Pernyataan	Benar	Salah
(1) $2P \:-\: Q = 3x \:-\: 8$	✔	–
(2) $P \:-\: 2Q = -13$	✔	–
(3) $2P + 2Q = 6x + 5$	–	✔

Pernyataan	Benar	Salah
(1) \(\dfrac{\sqrt{200} \:-\: \sqrt{8}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{8}} = \sqrt{2}\)	…	…
(2) \(\sqrt{32} \:-\: 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)	…	…
(3) \(\sqrt{20} \times 6\sqrt{5} \:-\: \sqrt{169} = 47\)	…	…

Kunci Jawaban:
Benar, Salah, Benar

1. Pembuktian Pernyataan (1):

Sederhanakan bagian pembilang dan penyebut:

$\begin{align*} \text{Pembilang} &= \sqrt{200} \:-\: \sqrt{8} \\[6pt] &= \sqrt{100 \times 2} \:-\: \sqrt{4 \times 2} \\[6pt] &= 10\sqrt{2} \:-\: 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \\[8pt] \text{Penyebut} &= 2\sqrt{2} \times \sqrt{8} \\[6pt] &= 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8 \end{align*}$

Bagi pembilang dengan penyebut:

$\begin{align*} \frac{8\sqrt{2}}{8} &= \sqrt{2} \end{align*}$

Hasil perhitungan sama dengan $\sqrt{2}$ $\implies$ BENAR.

2. Pembuktian Pernyataan (2):

Sederhanakan bentuk $\sqrt{32}$ lalu selesaikan operasi penjumlahan/pengurangannya:

$\begin{align*} \sqrt{32} \:-\: 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} &= \sqrt{16 \times 2} \:-\: 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} \\[6pt] &= 4\sqrt{2} \:-\: 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} \\[6pt] &= (4 \:-\: 2 + 6)\sqrt{2} \\[6pt] &= 8\sqrt{2} \end{align*}$

Karena hasil perhitungan adalah $8\sqrt{2}$ (bukan $6\sqrt{2}$) $\implies$ SALAH.

3. Pembuktian Pernyataan (3):

Kerjakan operasi perkalian terlebih dahulu, kemudian lakukan pengurangan:

$\begin{align*} \sqrt{20} \times 6\sqrt{5} \:-\: \sqrt{169} &= 6\sqrt{20 \times 5} \:-\: 13 \\[6pt] &= 6\sqrt{100} \:-\: 13 \\[6pt] &= 6(10) \:-\: 13 \\[6pt] &= 60 \:-\: 13 \\[6pt] &= 47 \end{align*}$

Hasil perhitungan sama dengan $47$ $\implies$ BENAR.

Tabel Jawaban Akhir:

Pernyataan	Benar	Salah
(1) $\dfrac{\sqrt{200} \:-\: \sqrt{8}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{8}} = \sqrt{2}$	✔	–
(2) $\sqrt{32} \:-\: 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$	–	✔
(3) $\sqrt{20} \times 6\sqrt{5} \:-\: \sqrt{169} = 47$	✔	–

Kunci Jawaban:
Opsi B (Rp15.000.000,00)

1. Menentukan Sisa Pinjaman Pokok (Hutang Pokok):

Besar hutang pokok adalah harga tunai dikurangi uang muka (DP):

$\begin{align*} \text{Hutang Pokok } (M) &= \text{Harga Tunai} \:-\: \text{DP} \\[6pt] &= \text{Rp}14.000.000,00 \:-\: \text{Rp}8.000.000,00 \\[6pt] &= \text{Rp}6.000.000,00 \end{align*}$

2. Menghitung Total Bunga Pinjaman Selama 20 Bulan:

Suku bunga adalah $10\%$ per tahun dan lama angsuran $20\text{ bulan}$:

$\begin{align*} \text{Bunga } (B) &= M \times \text{persentase bunga} \times \frac{\text{bulan}}{12} \\[6pt] &= 6.000.000 \times \frac{10}{100} \times \frac{20}{12} \\[6pt] &= 600.000 \times \frac{5}{3} \\[6pt] &= \text{Rp}1.000.000,00 \end{align*}$

3. Menghitung Total Harga Handphone Secara Kredit:

Total biaya yang dikeluarkan adalah jumlah uang muka ditambah seluruh cicilan (pokok + bunga):

$\begin{align*} \text{Total Harga} &= \text{Harga Tunai} + \text{Total Bunga} \\[6pt] &= \text{Rp}14.000.000,00 + \text{Rp}1.000.000,00 \\[6pt] &= \text{Rp}15.000.000,00 \end{align*}$

Atau melalui skema cicilan:
Total Cicilan $= M + B = 6.000.000 + 1.000.000 = \text{Rp}7.000.000,00$.
Total Biaya $= \text{DP} + \text{Total Cicilan} = 8.000.000 + 7.000.000 = \mathbf{\text{Rp}15.000.000,00}$.

Kesimpulan:

Total harga handphone yang dibeli Arini secara kredit adalah Rp15.000.000,00 (Opsi B).

Kunci Jawaban:
Opsi A (Rp645.000,00)

1. Menghitung Besar Diskon dan Harga 1 Jaket Setelah Diskon:

Harga awal 1 jaket adalah $\text{Rp}450.000,00$ dengan diskon $30\%$:

$\begin{align*} \text{Besar diskon} &= 30\% \times \text{Rp}450.000,00 \\[6pt] &= \frac{30}{100} \times 450.000 = \text{Rp}135.000,00 \\[8pt] \text{Harga 1 jaket setelah diskon} &= \text{Rp}450.000,00 \:-\: \text{Rp}135.000,00 \\[6pt] &= \text{Rp}315.000,00 \end{align*}$

Cara Cepat: Karena mendapat diskon $30\%$, maka persentase harga yang harus dibayar adalah $100\% \:-\: 30\% = 70\%$:
$\text{Harga} = 70\% \times 450.000 = \mathbf{\text{Rp}315.000,00}$.

2. Menghitung Harga Pembelian 2 Jaket:

Bimbim membeli 2 potong jaket:

$\begin{align*} \text{Total harga 2 jaket} &= 2 \times \text{Rp}315.000,00 \\[6pt] &= \text{Rp}630.000,00 \end{align*}$

3. Menghitung Total Pembayaran (Termasuk Ongkos Kirim):

Jumlahkan harga kedua jaket dengan biaya ongkir:

$\begin{align*} \text{Total pengeluaran} &= \text{Total harga 2 jaket} + \text{Ongkir} \\[6pt] &= \text{Rp}630.000,00 + \text{Rp}15.000,00 \\[6pt] &= \text{Rp}645.000,00 \end{align*}$

Kesimpulan:

Total uang yang harus dikeluarkan Bimbim adalah Rp645.000,00 (Opsi A).

Kunci Jawaban:
Opsi D (10)

1. Menyelesaikan Nilai $x$ dari Persamaan:

Buka tanda kurung di ruas kanan menggunakan sifat distributif perkalian:

$\begin{align*} 20 \:-\: 3x &= -4(2x + 5) \\[6pt] 20 \:-\: 3x &= -8x \:-\: 20 \end{align*}$

Kumpulkan suku bervariabel $x$ ke ruas kiri dan konstanta ke ruas kanan:

$\begin{align*} -3x + 8x &= -20 \:-\: 20 \\[6pt] 5x &= -40 \\[6pt] x &= \frac{-40}{5} \\[6pt] x &= -8 \end{align*}$

2. Menghitung Nilai $2 \:-\: x$:

Substitusikan nilai $x = -8$ ke dalam ekspresi yang ditanyakan:

$\begin{align*} 2 \:-\: x &= 2 \:-\: (-8) \\[6pt] &= 2 + 8 \\[6pt] &= 10 \end{align*}$

Kesimpulan:

Nilai dari $2 \:-\: x$ adalah $10$ (Opsi D).

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Harga \(1\text{ kg}\) rambutan adalah Rp20.000,00	…	…
(2) Harga \(1\text{ kg}\) apel adalah Rp30.000,00	…	…
(3) Harga \(1\text{ kg}\) apel ditambah \(1\text{ kg}\) rambutan adalah Rp50.000,00	…	…

Kunci Jawaban:
Salah, Benar, Salah

1. Membuat Model Matematika (SPLDV):

Misalkan harga $1\text{ kg}$ rambutan $= r$ dan harga $1\text{ kg}$ apel $= a$:

$\begin{align*} 3r + 2a &= 105.000 \quad \text{...(Persamaan 1)} \\[6pt] a &= r + 15.000 \quad \text{...(Persamaan 2)} \end{align*}$

2. Menentukan Harga Masing-Masing Buah:

Substitusikan Persamaan (2) ke dalam Persamaan (1):

$\begin{align*} 3r + 2(r + 15.000) &= 105.000 \\[6pt] 3r + 2r + 30.000 &= 105.000 \\[6pt] 5r &= 105.000 \:-\: 30.000 \\[6pt] 5r &= 75.000 \\[6pt] r &= \frac{75.000}{5} = \text{Rp}15.000,00 \end{align*}$

Hitung harga $1\text{ kg}$ apel ($a$):

$\begin{align*} a &= r + 15.000 \\[6pt] &= 15.000 + 15.000 = \text{Rp}30.000,00 \end{align*}$

3. Menguji Setiap Pernyataan:

Pernyataan (1): Harga $1\text{ kg}$ rambutan adalah Rp20.000,00.
Harga yang benar adalah $\text{Rp}15.000,00$ $\implies$ SALAH.
Pernyataan (2): Harga $1\text{ kg}$ apel adalah Rp30.000,00.
Harga yang benar adalah $\text{Rp}30.000,00$ $\implies$ BENAR.
Pernyataan (3): Harga $1\text{ kg}$ apel ditambah $1\text{ kg}$ rambutan adalah Rp50.000,00.
$a + r = 30.000 + 15.000 = \text{Rp}45.000,00$ (bukan Rp50.000,00) $\implies$ SALAH.

Tabel Jawaban Akhir:

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Harga $1\text{ kg}$ rambutan adalah Rp20.000,00	–	✔
(2) Harga $1\text{ kg}$ apel adalah Rp30.000,00	✔	–
(3) Harga $1\text{ kg}$ apel ditambah $1\text{ kg}$ rambutan adalah Rp50.000,00	–	✔

Kunci Jawaban:
Opsi A ($16x \:-\: 2x^2$)

1. Mengidentifikasi Unsur yang Diperlukan:

Luas belah ketupat dihitung menggunakan panjang kedua diagonalnya:

Diagonal 1 ($d_1$) $= AC = 4x$
Diagonal 2 ($d_2$) $= BD = 8 \:-\: x$

Catatan: Informasi panjang sisi $AB = (7 \:-\: x)\text{ cm}$ merupakan data pengalih (distraktor) dan tidak diperlukan dalam perhitungan luas.

2. Menghitung Luas Belah Ketupat:

Gunakan rumus luas belah ketupat:

$\begin{align*} L &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\[6pt] &= \frac{1}{2} \times (4x) \times (8 \:-\: x) \\[6pt] &= 2x(8 \:-\: x) \\[6pt] &= 16x \:-\: 2x^2 \end{align*}$

Kesimpulan:

Luas belah ketupat $ABCD$ tersebut adalah $16x \:-\: 2x^2$ (Opsi A).

Nama Pekerja	Total Waktu Bekerja (Jam)	Total Upah Diterima (Rp)
Alif	47	\(x\)
Raka	44	2.860.000
Aldo	\(y\)	3.400.000
Rinto	52	3.580.000

Kunci Jawaban:
Pernyataan 1 dan 3 BENAR

1. Membuat Model Matematika:

Misalkan upah pokok per minggu (untuk $40\text{ jam}$) adalah $G_0$ dan upah lembur per jam adalah $L$:

Raka ($44\text{ jam}$): Jam lembur $= 44 \:-\: 40 = 4\text{ jam}$
$G_0 + 4L = 2.860.000 \quad \text{…(Persamaan 1)}$
Rinto ($52\text{ jam}$): Jam lembur $= 52 \:-\: 40 = 12\text{ jam}$
$G_0 + 12L = 3.580.000 \quad \text{…(Persamaan 2)}$

2. Menentukan Upah Lembur per Jam ($L$) dan Gaji Pokok ($G_0$):

Eliminasi Persamaan (2) dan Persamaan (1):

$\begin{align*} (G_0 + 12L) \:-\: (G_0 + 4L) &= 3.580.000 \:-\: 2.860.000 \\[6pt] 8L &= 720.000 \\[6pt] L &= \frac{720.000}{8} = \text{Rp}90.000,00/\text{jam} \end{align*}$

(Pernyataan 2 yang menyebutkan Rp80.000,00/jam adalah SALAH)

Substitusikan nilai $L = 90.000$ ke Persamaan (1):

$\begin{align*} G_0 + 4(90.000) &= 2.860.000 \\[6pt] G_0 + 360.000 &= 2.860.000 \\[6pt] G_0 &= 2.860.000 \:-\: 360.000 \\[6pt] G_0 &= \text{Rp}2.500.000,00 \end{align*}$

(Pernyataan 1 yang menyebutkan gaji pokok Rp2.500.000,00 adalah BENAR)

3. Menghitung Upah Alif ($x$) dan Total Jam Kerja Aldo ($y$):

Upah Alif (bekerja $47\text{ jam}$ $\implies$ lembur $7\text{ jam}$):

$\begin{align*} x &= G_0 + 7L \\[6pt] &= 2.500.000 + 7(90.000) \\[6pt] &= 2.500.000 + 630.000 = \text{Rp}3.130.000,00 \end{align*}$

(Pernyataan 3 yang menyebutkan upah Alif Rp3.130.000,00 adalah BENAR)

Jam Kerja Aldo (upah diterima $\text{Rp}3.400.000,00$):

$\begin{align*} \text{Upah lembur Aldo} &= 3.400.000 \:-\: 2.500.000 = \text{Rp}900.000,00 \\[6pt] \text{Jam lembur Aldo} &= \frac{900.000}{90.000} = 10\text{ jam} \\[6pt] y &= 40\text{ jam} + 10\text{ jam} = 50\text{ jam} \end{align*}$

(Pernyataan 4 yang menyebutkan waktu kerja Aldo 48 jam adalah SALAH, seharusnya 50 jam)

Kesimpulan:

Pernyataan yang bernilai benar adalah:

Gaji pokok tanpa lembur setiap minggunya adalah Rp2.500.000,00
Total upah yang diterima Alif adalah Rp3.130.000,00

Kunci Jawaban:
Opsi D (64)

1. Mengidentifikasi Suku Pertama dan Beda Barisan:

Barisan yang diberikan merupakan barisan aritmetika dengan:

$\begin{align*} a &= -10 \\[6pt] b &= -7 \:-\: (-10) = -7 + 10 = 3 \end{align*}$

2. Menghitung Nilai Suku ke-10 ($U_{10}$) dan Suku ke-20 ($U_{20}$):

Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $U_n = a + (n \:-\: 1)b$:

$\begin{align*} U_{10} &= -10 + (10 \:-\: 1) \times 3 \\[6pt] &= -10 + 9 \times 3 \\[6pt] &= -10 + 27 = 17 \\[8pt] U_{20} &= -10 + (20 \:-\: 1) \times 3 \\[6pt] &= -10 + 19 \times 3 \\[6pt] &= -10 + 57 = 47 \end{align*}$

3. Menghitung Jumlah $U_{10} + U_{20}$:

$\begin{align*} U_{10} + U_{20} &= 17 + 47 \\[6pt] &= 64 \end{align*}$

Kesimpulan:

Jumlah suku ke-10 dan suku ke-20 adalah 64 (Opsi D).

Kunci Jawaban:
Opsi A (376 buah)

1. Menghitung Banyak Kubus pada Setiap Pola:

Amati pola susunan kubus (tinggi tumpukan vertikal dan cabang mendatar):

Pola 1 ($U_1$): $1$ kubus
Pola 2 ($U_2$): $3\text{ (vertikal)} + 1\text{ (mendatar)} = 4$ kubus
Pola 3 ($U_3$): $5\text{ (vertikal)} + 2\text{ (mendatar)} = 7$ kubus
Pola 4 ($U_4$): $7\text{ (vertikal)} + 3\text{ (mendatar)} = 10$ kubus

Barisan banyak kubus per pola membentuk barisan aritmetika: $1, \; 4, \; 7, \; 10, \; \dots$

2. Menentukan Rumus Suku ke-$n$ ($U_n$) dan Pola ke-16:

Suku pertama $a = 1$ dan beda $b = 3$:

$\begin{align*} U_n &= a + (n \:-\: 1)b \\[6pt] &= 1 + (n \:-\: 1)3 = 3n \:-\: 2 \\[8pt] U_{16} &= 3(16) \:-\: 2 = 48 \:-\: 2 = 46\text{ buah} \end{align*}$

3. Menghitung Total Kubus Satuan Hingga Pola ke-16 ($S_{16}$):

Karena yang ditanyakan adalah total kubus yang dibutuhkan untuk menyusun hingga pola ke-16, gunakan rumus deret aritmetika ($S_n$):

$\begin{align*} S_n &= \frac{n}{2} (a + U_n) \\[6pt] S_{16} &= \frac{16}{2} (1 + 46) \\[6pt] &= 8 \times 47 \\[6pt] &= 376\text{ buah} \end{align*}$

Kesimpulan:

Total kubus satuan yang dibutuhkan adalah 376 buah (Opsi A).

Kunci Jawaban:
Pernyataan 1, 3, dan 4 BENAR

1. Menentukan Nilai Sudut $a$ (Hubungan Sudut Sehadap):

Tanda panah pada ruas garis $EB$ dan $CD$ menunjukkan bahwa kedua garis tersebut saling sejajar ($EB \parallel CD$).

Garis lurus $ABC$ memotong kedua garis sejajar tersebut, sehingga sudut $\angle ABE$ dan sudut $\angle BCD$ merupakan pasangan sudut sehadap yang memiliki besar sudut sama:

$\begin{align*} a^\circ &= \angle BCD \\[6pt] a^\circ &= 50^\circ \implies a = 50^\circ \quad (\text{\color{teal}\bfseries Pernyataan 1 BENAR}) \end{align*}$

2. Menentukan Nilai Sudut $b$ (Sudut Berpelurus):

Ruas garis $ABC$ adalah garis lurus dengan sudut $180^\circ$. Jumlah ketiga sudut di titik $B$ saling berpelurus:

$\begin{align*} a^\circ + 60^\circ + b^\circ &= 180^\circ \\[6pt] 50^\circ + 60^\circ + b^\circ &= 180^\circ \\[6pt] 110^\circ + b^\circ &= 180^\circ \\[6pt] b^\circ &= 180^\circ \:-\: 110^\circ \\[6pt] b^\circ &= 70^\circ \implies b = 70^\circ \end{align*}$

(Pernyataan 2 yang menyebutkan $b = 60^\circ$ adalah SALAH)

3. Menentukan Nilai Sudut $c$ (Sudut Dalam Berseberangan):

Ruas garis $BD$ memotong dua garis sejajar $EB \parallel CD$. Sudut $\angle EBD$ dan sudut $\angle BDC$ merupakan pasangan sudut dalam berseberangan, sehingga besarnya sama:

$\begin{align*} c^\circ &= \angle EBD \\[6pt] c^\circ &= 60^\circ \implies c = 60^\circ \end{align*}$

(Dapat juga diuji dari jumlah sudut $\Delta BCD$: $c = 180^\circ \:-\: (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ$).

4. Menguji Hubungan Penjumlahan Sudut:

Nilai $a + c$:
$\begin{align*} a + c &= 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ \quad (\bfseries Pernyataan 3 BENAR}) \end{align*}$
Nilai $b + c$:
$\begin{align*} b + c &= 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ \quad (\bfseries Pernyataan 4 BENAR}) \end{align*}$

Kesimpulan:

Pernyataan yang bernilai benar adalah:

Besar sudut $a = 50^\circ$
Besar sudut $a + c = 110^\circ$
Besar sudut $b + c = 130^\circ$

Kunci Jawaban:
Opsi B (15 m)

1. Mengidentifikasi Sifat Jajar Genjang $BCDF$:

Berdasarkan tanda panah pada gambar:

Ruas garis $BF \parallel CD$ (panah mengarah ke atas).
Ruas garis $FD \parallel BC$ (panah mengarah ke kanan atas).

Karena memiliki dua pasang sisi sejajar, bangun $BCDF$ adalah jajar genjang. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang:

$\begin{align*} CD &= BF = 5\text{ m} \\[6pt] BC &= AC \:-\: AB = 12\text{ m} \:-\: 3\text{ m} = 9\text{ m} \end{align*}$

2. Menghitung Panjang Sisi $CE$ Menggunakan Kesebangunan Segitiga:

Perhatikan segitiga $\Delta ABF$ dan $\Delta ACE$. Karena $BF \parallel CE$, maka kedua segitiga tersebut sebangun ($\Delta ABF \sim \Delta ACE$):

$\begin{align*} \frac{AB}{AC} &= \frac{BF}{CE} \\[6pt] \frac{3}{12} &= \frac{5}{CE} \\[6pt] \frac{1}{4} &= \frac{5}{CE} \\[6pt] CE &= 4 \times 5 = 20\text{ m} \end{align*}$

3. Menghitung Lebar Sungai ($DE$):

Lebar sungai merupakan panjang segmen $DE$, yaitu selisih panjang $CE$ dengan panjang $CD$:

$\begin{align*} DE &= CE \:-\: CD \\[6pt] &= 20\text{ m} \:-\: 5\text{ m} \\[6pt] &= 15\text{ m} \end{align*}$

Catatan: Opsi $20\text{ m}$ (Opsi D) adalah panjang keseluruhan garis $CE$, sedangkan lebar sungai yang diminta hanya segmen $DE$.

Kesimpulan:

Lebar sungai tersebut adalah $15\text{ m}$ (Opsi B).

Kunci Jawaban:
Pernyataan 2 dan 4 BENAR

1. Menentukan Pasangan Sudut yang Bersesuaian:

Hitung besar sudut ketiga pada segitiga $\Delta ABC$:

$\begin{align*} \angle ABC &= 180^\circ \:-\: (\angle BAC + \angle BCA) \\[6pt] &= 180^\circ \:-\: (77^\circ + 54^\circ) \\[6pt] &= 180^\circ \:-\: 131^\circ = 49^\circ \end{align*}$

(Pernyataan 3 yang menyebutkan $\angle ABC = 48^\circ$ adalah SALAH)

Karena kedua segitiga kongruen ($\Delta ABC \cong \Delta DEF$), maka besar sudut-sudut yang bersesuaian sama besar:

$\angle BAC = \angle DFE = 77^\circ$
$\angle BCA = \angle DEF = 54^\circ$ Pernyataan 4 BENAR
$\angle ABC = \angle FDE = 49^\circ$

2. Menentukan Pasangan Sisi yang Sama Panjang:

Sisi-sisi yang berada di hadapan sudut yang sama besar memiliki panjang yang sama:

Di depan sudut $77^\circ$:
$BC = DE = 7{,}6\text{ cm}$
Di depan sudut $54^\circ$:
$AB = FD = 6{,}3\text{ cm}$
Di depan sudut $49^\circ$:
$AC = FE = 5{,}8\text{ cm}$

(Pernyataan 1 yang menyebutkan $AC = 6{,}3\text{ cm}$ adalah SALAH, karena panjang $AC$ yang benar adalah $5{,}8\text{ cm}$)

3. Menguji Penjumlahan Panjang Sisi $AB + DE$:

$\begin{align*} AB + DE &= 6{,}3\text{ cm} + 7{,}6\text{ cm} \\[6pt] &= 13{,}9\text{ cm} \quad (\bfseries Pernyataan 2 BENAR}) \end{align*}$

Kesimpulan:

Pernyataan yang bernilai benar adalah:

Panjang $AB + DE = 13{,}9\text{ cm}$
Besar $\angle DEF = 54^\circ$

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Nilai \(x = 9\)	…	…
(2) Ukuran lukisan adalah \(72\text{ cm} \times 46\text{ cm}\)	…	…
(3) Luas karton yang tidak tertutup lukisan adalah \(1.944\text{ cm}^2\)	…	…

Kunci Jawaban:
Salah, Salah, Benar

1. Menentukan Ukuran Lukisan (Prinsip Kesebangunan):

Ukuran karton: lebar $L_k = 90\text{ cm}$ dan tinggi $T_k = 60\text{ cm}$.

Lebar lukisan ($L_l$):

$\begin{align*} L_l &= L_k \:-\: (\text{sisa kiri} + \text{sisa kanan}) \\[6pt] &= 90 \:-\: (9 + 9) \\[6pt] &= 90 \:-\: 18 = 72\text{ cm} \end{align*}$

Karena lukisan dan karton sebangun:

$\begin{align*} \frac{L_l}{L_k} &= \frac{T_l}{T_k} \\[6pt] \frac{72}{90} &= \frac{T_l}{60} \\[6pt] \frac{4}{5} &= \frac{T_l}{60} \\[6pt] T_l &= \frac{4 \times 60}{5} = 48\text{ cm} \end{align*}$

Sehingga ukuran lukisan adalah $72\text{ cm} \times 48\text{ cm}$.

(Pernyataan 2 yang menyebutkan $72\text{ cm} \times 46\text{ cm}$ adalah SALAH)

2. Menentukan Nilai $x$ (Sisa Karton Bagian Bawah):

Tinggi karton merupakan penjumlahan dari sisa atas, tinggi lukisan, dan sisa bawah:

$\begin{align*} T_k &= \text{sisa atas} + T_l + x \\[6pt] 60 &= 2 + 48 + x \\[6pt] 60 &= 50 + x \\[6pt] x &= 60 \:-\: 50 = 10\text{ cm} \end{align*}$

(Pernyataan 1 yang menyebutkan nilai $x = 9$ adalah SALAH, karena nilai $x$ yang benar adalah $10$)

3. Menghitung Luas Karton yang Tidak Tertutup Lukisan:

$\begin{align*} \text{Luas karton} &= 90\text{ cm} \times 60\text{ cm} = 5.400\text{ cm}^2 \\[6pt] \text{Luas lukisan} &= 72\text{ cm} \times 48\text{ cm} = 3.456\text{ cm}^2 \\[8pt] \text{Luas sisa karton} &= \text{Luas karton} \:-\: \text{Luas lukisan} \\[6pt] &= 5.400 \:-\: 3.456 = 1.944\text{ cm}^2 \end{align*}$

(Pernyataan 3 yang menyebutkan luas tidak tertutup $1.944\text{ cm}^2$ adalah BENAR)

Tabel Jawaban Akhir:

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Nilai $x = 9$	–	✔
(2) Ukuran lukisan adalah $72\text{ cm} \times 46\text{ cm}$	–	✔
(3) Luas karton yang tidak tertutup lukisan adalah $1.944\text{ cm}^2$	✔	–

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Nilai \(a = 2\)	…	…
(2) Persamaan grafik fungsi \(f(x) = 2x \:-\: 4\)	…	…
(3) Nilai \(p = -3\)	…	…

Kunci Jawaban:
Benar, Salah, Benar

1. Menentukan Nilai Gradien ($a$):

Garis fungsi melalui dua titik koordinat yang diketahui dengan jelas, yaitu $(-1, 2)$ dan $(2, 8)$. Nilai koefisien $a$ merupakan gradien (kemiringan) garis:

$\begin{align*} a &= \frac{y_2 \:-\: y_1}{x_2 \:-\: x_1} \\[6pt] &= \frac{8 \:-\: 2}{2 \:-\: (-1)} \\[6pt] &= \frac{6}{3} = 2 \end{align*}$

Diperoleh nilai $a = 2$ $\implies$ Pernyataan (1) BENAR.

2. Menentukan Rumus Fungsi $f(x)$:

Substitusikan nilai $a = 2$ dan titik $(2, 8)$ ke dalam rumus fungsi $f(x) = ax + b$:

$\begin{align*} f(x) &= 2x + b \\[6pt] f(2) &= 2(2) + b = 8 \\[6pt] 4 + b &= 8 \\[6pt] b &= 8 \:-\: 4 = 4 \end{align*}$

Maka rumus fungsi yang benar adalah $f(x) = 2x + 4$.

Karena pernyataan menyebutkan $f(x) = 2x \:-\: 4$ $\implies$ Pernyataan (2) SALAH.

3. Menentukan Nilai $p$:

Titik $(p, -2)$ terletak pada garis grafik fungsi, yang berarti nilai $f(p) = -2$:

$\begin{align*} f(p) &= -2 \\[6pt] 2p + 4 &= -2 \\[6pt] 2p &= -2 \:-\: 4 \\[6pt] 2p &= -6 \\[6pt] p &= \frac{-6}{2} = -3 \end{align*}$

Diperoleh nilai $p = -3$ $\implies$ Pernyataan (3) BENAR.

Tabel Jawaban Akhir:

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Nilai $a = 2$	✔	–
(2) Persamaan grafik fungsi $f(x) = 2x \:-\: 4$	–	✔
(3) Nilai $p = -3$	✔	–

Kunci Jawaban:
Opsi C ($36.864\text{ cm}^3$)

1. Menentukan Tinggi Limas ($t_{\text{limas}}$):

Karena bagian bawah adalah kubus dengan rusuk $s = 32\text{ cm}$, maka tinggi kubus sama dengan panjang rusuknya ($t_{\text{kubus}} = 32\text{ cm}$).

Ruas garis $TK$ adalah tinggi total bangun gabungan dari dasar kubus hingga puncak limas. Maka, tinggi limas adalah:

$\begin{align*} t_{\text{limas}} &= TK \:-\: t_{\text{kubus}} \\[6pt] &= 44\text{ cm} \:-\: 32\text{ cm} \\[6pt] &= 12\text{ cm} \end{align*}$

2. Menghitung Volume Kubus ($V_{\text{kubus}}$):

$\begin{align*} V_{\text{kubus}} &= s^3 \\[6pt] &= 32^3 = 32 \times 32 \times 32 \\[6pt] &= 32.768\text{ cm}^3 \end{align*}$

3. Menghitung Volume Limas Segiempat ($V_{\text{limas}}$):

Alas limas berimpit dengan sisi atas kubus berukuran $32\text{ cm} \times 32\text{ cm}$:

$\begin{align*} V_{\text{limas}} &= \frac{1}{3} \times \text{Luas Alas} \times t_{\text{limas}} \\[6pt] &= \frac{1}{3} \times (32 \times 32) \times 12 \\[6pt] &= 1.024 \times 4 \\[6pt] &= 4.096\text{ cm}^3 \end{align*}$

4. Menghitung Volume Total Bangun Gabungan:

$\begin{align*} V_{\text{total}} &= V_{\text{kubus}} + V_{\text{limas}} \\[6pt] &= 32.768 + 4.096 \\[6pt] &= 36.864\text{ cm}^3 \end{align*}$

Kesimpulan:

Volume bangun gabungan tersebut adalah $36.864\text{ cm}^3$ (Opsi C).

Kunci Jawaban:
Opsi C ($287\text{ cm}^2$)

1. Menghitung Luas Persegi (Taman Keseluruhan):

Panjang sisi persegi adalah $s = 21\text{ cm}$:

$\begin{align*} L_{\text{persegi}} &= s^2 \\[6pt] &= 21^2 = 441\text{ cm}^2 \end{align*}$

2. Menentukan Diameter dan Luas 4 Kolam Lingkaran:

Garis pembagi pada gambar membagi sisi persegi $21\text{ cm}$ menjadi 3 bagian yang sama untuk lebar kolam:

Diameter setiap kolam ($d$) $= \frac{21}{3} = 7\text{ cm}$
Jari-jari setiap kolam ($r$) $= \frac{7}{2}\text{ cm} = 3{,}5\text{ cm}$

Menghitung total luas 4 kolam lingkaran:

$\begin{align*} L_{\text{4 kolam}} &= 4 \times \left(\pi \times r^2\right) \\[6pt] &= 4 \times \left(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\right) \\[6pt] &= 4 \times \frac{77}{2} = 154\text{ cm}^2 \end{align*}$

3. Menghitung Luas Daerah Rumput (Warna Hijau):

Luas rumput diperoleh dari luas persegi dikurangi luas keempat kolam:

$\begin{align*} L_{\text{rumput}} &= L_{\text{persegi}} \:-\: L_{\text{4 kolam}} \\[6pt] &= 441 \:-\: 154 \\[6pt] &= 287\text{ cm}^2 \end{align*}$

Kesimpulan:

Luas daerah taman yang ditanami rumput adalah $287\text{ cm}^2$ (Opsi C).

Kunci Jawaban:
Opsi C (6,5 meter)

1. Membuat Garis Bantu dan Membentuk Segitiga Siku-Siku:

Tarik garis mendatar horizontal dari titik $C$ menuju tiang $A$ hingga memotong di titik $E$. Terbentuk segitiga siku-siku $\Delta DEC$ dengan sudut siku-siku di $E$.

2. Menentukan Panjang Sisi-Sisi Penyiku:

Panjang sisi mendatar $CE$ sama dengan jarak antartiang $AB$:
$\begin{align*} CE &= AB = 6\text{ meter} \end{align*}$
Panjang sisi tegak $DE$ adalah selisih tinggi tiang $D$ dengan tinggi tiang $C$:
$\begin{align*} DE &= AD \:-\: BC \\[6pt] &= 5\text{ m} \:-\: 2{,}5\text{ m} = 2{,}5\text{ meter} \end{align*}$

3. Menghitung Panjang Kabel ($CD$) Menggunakan Teorema Pythagoras:

Panjang kabel $CD$ merupakan sisi miring (hipotenusa) dari segitiga siku-siku $\Delta DEC$:

$\begin{align*} CD &= \sqrt{CE^2 + DE^2} \\[6pt] &= \sqrt{6^2 + 2{,}5^2} \\[6pt] &= \sqrt{36 + 6{,}25} \\[6pt] &= \sqrt{42{,}25} \\[6pt] &= 6{,}5\text{ meter} \end{align*}$

Cara Cepat (Tripel Pythagoras): Kelipatan dari tripel dasar $5 – 12 – 13$ yang dikalikan dengan $0{,}5$:
$0{,}5 \times (5, \; 12, \; 13) = (\mathbf{2{,}5}; \; \mathbf{6}; \; \mathbf{6{,}5})$.

Kesimpulan:

Panjang kabel penghubung ($CD$) adalah $6{,}5\text{ meter}$ (Opsi C).

Kunci Jawaban:
Opsi C ($54\pi\text{ cm}^3$)

1. Menentukan Jari-Jari Kerucut dan Setengah Bola:

Diketahui diameter kerucut $d = 6\text{ cm}$ dan tinggi kerucut $t = 12\text{ cm}$:

$\begin{align*} r &= \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm} \end{align*}$

Jari-jari setengah bola sama dengan jari-jari kerucut, yaitu $r = 3\text{ cm}$.

2. Menghitung Volume Kerucut ($V_{\text{kerucut}}$):

$\begin{align*} V_{\text{kerucut}} &= \frac{1}{3} \times \pi r^2 t \\[6pt] &= \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 12 \\[6pt] &= \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 12 \\[6pt] &= 36\pi\text{ cm}^3 \end{align*}$

3. Menghitung Volume Setengah Bola ($V_{\text{setengah bola}}$):

$\begin{align*} V_{\text{setengah bola}} &= \frac{1}{2} \times \left(\frac{4}{3} \times \pi r^3\right) \\[6pt] &= \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 \\[6pt] &= \frac{2}{3} \times \pi \times 27 \\[6pt] &= 18\pi\text{ cm}^3 \end{align*}$

4. Menghitung Volume Es Krim Seluruhnya:

Volume total merupakan gabungan dari volume kerucut dan volume setengah bola:

$\begin{align*} V_{\text{total}} &= V_{\text{kerucut}} + V_{\text{setengah bola}} \\[6pt] &= 36\pi + 18\pi \\[6pt] &= 54\pi\text{ cm}^3 \end{align*}$

Kesimpulan:

Volume es krim seluruhnya adalah $54\pi\text{ cm}^3$ (Opsi C).

Kunci Jawaban:
Opsi D ($A'(-3, 10)$, $B'(-9, 6)$, dan $C'(0, 4)$)

1. Membaca Koordinat Titik Awal dari Grafik:

Berdasarkan kedudukan titik pada sumbu Cartesius:

Titik $A$ berada pada absis $x = 2$ dan ordinat $y = 3$ $\implies A(2, 3)$
Titik $B$ berada pada absis $x = -4$ dan ordinat $y = -1$ $\implies B(-4, -1)$
Titik $C$ berada pada absis $x = 5$ dan ordinat $y = -3$ $\implies C(5, -3)$

2. Menerapkan Rumus Transformasi Translasi:

Translasi titik $P(x, y)$ oleh komponen $T(a, b) = T(-5, 7)$ dirumuskan dengan:

$\begin{align*} P'(x', y') &= (x + a, \; y + b) \\[6pt] &= (x \:-\: 5, \; y + 7) \end{align*}$

3. Menghitung Koordinat Bayangan Masing-Masing Titik:

Bayangan titik $A(2, 3)$:
$\begin{align*} A' &= (2 + (-5), \; 3 + 7) = (-3, 10) \end{align*}$
Bayangan titik $B(-4, -1)$:
$\begin{align*} B' &= (-4 + (-5), \; -1 + 7) = (-9, 6) \end{align*}$
Bayangan titik $C(5, -3)$:
$\begin{align*} C' &= (5 + (-5), \; -3 + 7) = (0, 4) \end{align*}$

Kesimpulan:

Koordinat bayangan hasil translasi adalah $A'(-3, 10)$, $B'(-9, 6)$, dan $C'(0, 4)$ (Opsi D).

Kunci Jawaban:
Pernyataan 2, 3, dan 4 BENAR

1. Membaca Data Diagram Batang Bertumpuk:

Pada diagram batang bertumpuk:

Bagian biru menunjukkan jumlah penduduk laki-laki.
Bagian merah menunjukkan jumlah penduduk perempuan.
Panjang total batang menunjukkan jumlah total penduduk (laki-laki + perempuan) di daerah tersebut.

Estimasi nilai penduduk berdasarkan garis grid pandu:

Kab. Bantul: Laki-laki $\approx 492.000$ (berada jelas sebelum garis $500.000$), Total Penduduk $\approx 986.000$ (berada sebelum garis $1.000.000$).
Kab. Gunungkidul: Laki-laki $\approx 368.000$ (berada jauh di bawah garis $500.000$).
Kota Yogyakarta: Laki-laki $\approx 181.000$, Total Penduduk $\approx 373.000$ (berada di bawah garis $500.000$).

2. Menguji Kebenaran Setiap Pernyataan:

Pernyataan 1: Banyak penduduk laki-laki di Kab. Gunung Kidul lebih dari 500.000 jiwa
Batang biru (laki-laki) Gunungkidul hanya mencapai kisaran $368.000$ (kurang dari garis pandu $500.000$) $\implies$ SALAH.
Pernyataan 2: Banyak penduduk laki-laki dan perempuan di Kab. Bantul kurang dari 1 jt jiwa
Ujung total batang Bantul berakhir sebelum garis batas $1.000.000$ ($\approx 986.000 < 1.000.000$) $\implies$ BENAR.
Pernyataan 3: Jumlah penduduk laki-laki di Kab. Bantul dan Kota Yogyakarta lebih dari 500.000 jiwa
Penduduk laki-laki Bantul saja sudah mencapai $\approx 492.000$. Ditambah penduduk laki-laki Kota Yogyakarta ($\approx 181.000$):

$\begin{align*} 492.000 + 181.000 = 673.000 > 500.000 \quad (\bfseries BENAR}) \end{align*}$
Pernyataan 4: Selisih penduduk Kab. Bantul dan Kota Jogja lebih dari 500.000 jiwa
Total penduduk Bantul $\approx 986.000$ dan total penduduk Kota Yogyakarta $\approx 373.000$:

$\begin{align*} \text{Selisih} &= 986.000 \:-\: 373.000 = 613.000 > 500.000 \quad (\bfseries BENAR}) \end{align*}$

Kesimpulan:

Pernyataan yang bernilai benar adalah:

Banyak penduduk laki-laki dan Perempuan di Kab. Bantul kurang dari 1 jt jiwa
Jumlah penduduk laki-laki di Kab. Bantul dan Kota Yogyakarta lebih dari 500.000 jiwa
Selisih penduduk Kab. Bantul dan Kota Jogja lebih dari 500.000 jiwa

Nilai	50	60	70	80	90	100
Frekuensi	6	7	3	\(x\)	5	3

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Jumlah murid kelas 9Z adalah 30	…	…
(2) Nilai modus data tersebut adalah 80	…	…
(3) Nilai median data tersebut adalah 75	…	…

Kunci Jawaban:
Salah, Benar, Benar

1. Menentukan Nilai $x$ dari Nilai Rata-Rata:

Hitung jumlah frekuensi ($\sum f$) dan jumlah perkalian nilai dengan frekuensi ($\sum (f \cdot x)$):

$\begin{align*} \sum f &= 6 + 7 + 3 + x + 5 + 3 = 24 + x \\[6pt] \sum (f \cdot x) &= (50 \times 6) + (60 \times 7) + (70 \times 3) + (80 \cdot x) + (90 \times 5) + (100 \times 3) \\[6pt] &= 300 + 420 + 210 + 80x + 450 + 300 \\[6pt] &= 1.680 + 80x \end{align*}$

Substitusikan ke dalam rumus rata-rata ($\bar{x} = 72{,}5$):

$\begin{align*} \bar{x} &= \frac{\sum (f \cdot x)}{\sum f} \\[6pt] 72{,}5 &= \frac{1.680 + 80x}{24 + x} \\[6pt] 72{,}5(24 + x) &= 1.680 + 80x \\[6pt] 1.740 + 72{,}5x &= 1.680 + 80x \\[6pt] 1.740 \:-\: 1.680 &= 80x \:-\: 72{,}5x \\[6pt] 60 &= 7{,}5x \\[6pt] x &= \frac{60}{7{,}5} = 8 \end{align*}$

2. Analisis Jumlah Siswa, Modus, dan Median:

Dengan $x = 8$, diperoleh data lengkap frekuensi:

Total Murid: $\sum f = 24 + 8 = 32\text{ murid}$.
(Pernyataan 1 yang menyebutkan 30 murid adalah SALAH)
Nilai Modus: Nilai dengan frekuensi terbanyak adalah 80 (muncul sebanyak 8 kali).
(Pernyataan 2 yang menyebutkan modus adalah 80 adalah BENAR)
Nilai Median: Banyak data genap ($N = 32$), posisi median di antara data ke-16 dan data ke-17:
- Data ke-1 s.d. 6 = nilai $50$
- Data ke-7 s.d. 13 = nilai $60$
- Data ke-14 s.d. 16 = nilai $70$ $\implies \text{Data ke-16} = 70$
- Data ke-17 s.d. 24 = nilai $80$ $\implies \text{Data ke-17} = 80$
$\begin{align*} \text{Median} &= \frac{\text{Data}_{16} + \text{Data}_{17}}{2} \\[6pt] &= \frac{70 + 80}{2} = \frac{150}{2} = 75 \end{align*}$

(Pernyataan 3 yang menyebutkan median adalah 75 adalah BENAR)

Visualisasi Diagram Batang Distribusi Frekuensi:

Rendered by QuickLaTeX.com

Tabel Jawaban Akhir:

Pernyataan	Benar	Salah
(1) Jumlah murid kelas 9Z adalah 30	–	✔
(2) Nilai modus data tersebut adalah 80	✔	–
(3) Nilai median data tersebut adalah 75	✔	–

Kunci Jawaban:
Opsi C ($\dfrac{3}{12}$)

1. Menentukan Banyak Ruang Sampel ($n(S)$):

Koin memiliki 2 sisi: $\{A, G\}$
Dadu memiliki 6 sisi: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Banyak seluruh kemungkinan hasil pelemparan koin dan dadu secara bersamaan:

$\begin{align*} n(S) &= 2 \times 6 = 12 \end{align*}$

2. Menentukan Titik Sampel Kejadian ($n(E)$):

Kejadian yang diharapkan adalah muncul sisi Angka ($A$) dan mata dadu prima.

Mata dadu bilangan prima adalah: $\{2, 3, 5\}$
Pasangan hasil yang memenuhi kejadian $E$:
$\begin{align*} E &= \{(A, 2), \; (A, 3), \; (A, 5)\} \\[6pt] n(E) &= 3 \end{align*}$

3. Menghitung Peluang Kejadian:

Gunakan rumus peluang klasik:

$\begin{align*} P(E) &= \frac{n(E)}{n(S)} \\[6pt] &= \frac{3}{12} \end{align*}$

Kesimpulan:

Peluang munculnya sisi Angka dan mata dadu prima adalah $\dfrac{3}{12}$ (Opsi C).

Kunci Jawaban:
Opsi D ($\dfrac{10}{36}$)

1. Menentukan Banyak Ruang Sampel Dua Dadu:

Banyak seluruh kemungkinan hasil pelemparan 2 buah dadu bermata 6 adalah:

$\begin{align*} n(S) &= 6 \times 6 = 36 \end{align*}$

2. Mendaftar Pasangan Mata Dadu yang Berjumlah Kurang dari 6:

Jumlah mata dadu yang kurang dari 6 adalah 2, 3, 4, dan 5:

Jumlah = 2: $(1, 1)$ $\implies 1\text{ titik sampel}$
Jumlah = 3: $(1, 2), \; (2, 1)$ $\implies 2\text{ titik sampel}$
Jumlah = 4: $(1, 3), \; (2, 2), \; (3, 1)$ $\implies 3\text{ titik sampel}$
Jumlah = 5: $(1, 4), \; (2, 3), \; (3, 2), \; (4, 1)$ $\implies 4\text{ titik sampel}$

Total banyak titik sampel kejadian ($n(E)$):

$\begin{align*} n(E) &= 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \end{align*}$

3. Menghitung Peluang Kejadian:

$\begin{align*} P(E) &= \frac{n(E)}{n(S)} \\[6pt] &= \frac{10}{36} \end{align*}$

Kesimpulan:

Peluang munculnya jumlah mata dadu kurang dari 6 adalah $\dfrac{10}{36}$ (Opsi D).